基于隨機(jī)場理論的土質(zhì)邊坡可靠度分析

閻 龍,王 勤,劉利嬌,張?，?左淑紅

(黑龍江大學(xué) 建筑工程學(xué)院,哈爾濱 150080)

0 引 言

作為天然材料,±體經(jīng)過沉積條件、應(yīng)力歷史和風(fēng)化等其他地質(zhì)作用呈現(xiàn)出空間變異性。常用的模擬邊坡±體參數(shù)變異性的方法有兩種：①單變量分析方法及隨機(jī)變量模型[1];②可以表征±體參數(shù)空間變異性的隨機(jī)場模型。 為了更有效、真實地描述±體的變異性,需引入隨機(jī)場理論。 空間變異性分析時,經(jīng)常采用理論自相關(guān)函數(shù)來描述±體中任意兩點的自相關(guān)性,自相關(guān)函數(shù)中的計算參數(shù)即自相關(guān)距離是表征參數(shù)空間變異性的相關(guān)程度[2]。 工程中,通常需要確定合適的自相關(guān)函數(shù)和±體參數(shù)的相關(guān)距離,來定量表征±體參數(shù)的不確定性。 此外,±體參數(shù)的變異系數(shù)作為邊坡可靠度設(shè)計的另一個重要參數(shù),在可靠度設(shè)計時取定值參數(shù)并不合理,應(yīng)該對變異水平進(jìn)行分級研究,以便可以根據(jù)變異水平的不同進(jìn)行邊坡工程可靠性分析。

為此,許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。 王棋等[3]研究了可靠度隨坡高和抗剪強(qiáng)度參數(shù)變異系數(shù)的變化規(guī)律,并進(jìn)行了路基邊坡可靠度分析。 薛亞東等[4]通過局部平均理論離散二維各向異性隨機(jī)場,采用強(qiáng)度折減法和Monte-Carlo 相結(jié)合,求得邊坡安全系數(shù)及其可靠度。 蔣水華等[5]提出了考慮自相關(guān)函數(shù)影響高效參數(shù)敏感性分析的多重二階響應(yīng)面法。 白桃等[6]提出了考慮空間變異性對Monte-Carlo 與LHS+Cholesky 分解方法計算失效概率的效率進(jìn)行評估。 上述文獻(xiàn)在分析及研究時,僅考慮了單一方向的相關(guān)距離變化;其次僅考慮了單一參數(shù)的空間變異性,而忽略了±體參數(shù)間的互相關(guān)性和不同變異水平下邊坡可靠度的變化。

本文采用喬列斯基分解的中點法模擬相關(guān)非高斯隨機(jī)場,利用Matlab 與Geostudio 對接批量求解安全系數(shù),然后進(jìn)行邊坡可靠度分析。 同時,考慮±體參數(shù)的自相關(guān)性和空間變異性,生成黏聚力和內(nèi)摩擦角隨機(jī)場,探討不同相關(guān)距離變化對邊坡可靠度的影響以及黏聚力、內(nèi)摩擦角不同互相關(guān)系數(shù)和變異系數(shù)下可靠度和安全系數(shù)均值的變化。

1 非高斯隨機(jī)場

1.1 土體參數(shù)的空間變異性

通常采用合適的自相關(guān)函數(shù)來表征±體參數(shù)的空間變異性,本文采用應(yīng)用較為廣泛的指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)來描述±體任意兩點的自相關(guān)性。對于指數(shù)型自相關(guān)函數(shù),自相關(guān)距離是相關(guān)距離δh、δv的0.5 倍。 公式如下：

式中：a為自相關(guān)距離;τx、τy分別為±體中任意兩點水平和豎直相對距離,,其中x、y分別為任意兩個計算網(wǎng)格的絕對坐標(biāo);δh、δv分別為水平和豎直方向的相關(guān)距離,黏性±±體參數(shù)水平相關(guān)距離約為3～80m,豎直相關(guān)長度約為0.1～7.14m[2]。

1.2 LHS 抽樣

作為一種多維分層抽樣方法,拉丁超立方抽樣最早于1979 年由Mckay 等提出,在蒙特卡羅抽樣方法的基礎(chǔ)上,對采樣策略進(jìn)行了改進(jìn),保持顯著性的同時減小了采樣規(guī)模。 相比于其他抽樣法,該方法的優(yōu)點是：具有均勻分層隨機(jī)的特性;可以在抽取樣本數(shù)較小的情況下,得到首尾部樣本值;可以避免普通分層抽樣樣本集中現(xiàn)象。 LHS 抽樣步驟如下[7]：

假設(shè)每一維進(jìn)行的都是均勻抽樣。

1)首先確認(rèn)抽樣次數(shù)M。

2)將變量的概率分布函數(shù)等分成M個互不重疊的子區(qū)間,每段區(qū)間長度為。

3)隨后在M段的每個子區(qū)間進(jìn)行獨(dú)立的等概率抽樣。 為了滿足所抽取的隨機(jī)數(shù)來自各個區(qū)間,第i個子區(qū)間的隨機(jī)數(shù)Vi應(yīng)滿足。

4)每個子區(qū)間產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù),然后通過逆變換法,得到M個某一概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量抽樣值。

5)最后對所抽取的樣本按照抽樣值所屬區(qū)間序號隨機(jī)排列。

以上幾個步驟便完成了拉丁超立方抽樣。

1.3 隨機(jī)場的實現(xiàn)

本文研究黏聚力和內(nèi)摩擦角參數(shù)模擬的互相關(guān)對數(shù)正態(tài)隨機(jī)場,首先假設(shè)模型網(wǎng)格數(shù)為N,抽樣數(shù)目即生成隨機(jī)場數(shù)目為M。

1)在每一維子區(qū)間隨機(jī)抽取的樣本點通過概率密度函數(shù)的反函數(shù),映射為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布樣本,然后生成黏聚力和內(nèi)摩擦角的初始樣本矩陣。 生成的樣本矩陣ξ,根據(jù)式(2)計算出相關(guān)系數(shù)矩陣;根據(jù)式(3)計算等效互相關(guān)系數(shù),構(gòu)成等效互相關(guān)系數(shù)矩陣ρo(m×m)。

式中：i、j為矩陣ξ的行和列;cov(li,lj)為li和ji的協(xié)方差;σ(li),σ(lj)為li和ji的標(biāo)準(zhǔn)差。

式中：covc、covφ為黏聚力、內(nèi)摩擦角的變異系數(shù)。

2)對ρo矩陣進(jìn)行喬列斯基分解,滿足ρo=L1LT1,得到下三角矩陣L1,然后與樣本矩陣ξ相乘,得到G(n×m)=ξLT1 相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)樣本矩陣。

3)根據(jù)所采用的自相關(guān)函數(shù)和計算得到的隨機(jī)場單元中點坐標(biāo),計算出自相關(guān)系數(shù)矩陣C,然后對矩陣C進(jìn)行喬列斯基分解,得到下三角矩陣L2(n×n),最后通過式(4)得到相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)場。

4)因為±體參數(shù)一般不服從高斯分布,可以對相關(guān)高斯隨機(jī)場取指數(shù)。 通過式(5),將相關(guān)高斯隨機(jī)場轉(zhuǎn)化為相關(guān)非高斯隨機(jī)場,可得到c和φ的相關(guān)對數(shù)正態(tài)隨機(jī)場。

其中：

式中：μi、σi為對數(shù)正態(tài)變量(本文為黏聚力和內(nèi)摩擦角)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差;μlni,σlni分別為正態(tài)變量lni的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

將上述步驟通過編程,可得到±體參數(shù)的相關(guān)非高斯隨機(jī)場。

2 邊坡可靠度分析

對于邊坡功能函數(shù),一般取g(x)=Fs-1,通過式(6)計算失效概率,通過式(7)、式(8)計算邊坡可靠度β。

采用Geostudio 軟件中Geocmd 命令行實用程序,利用Matlab 編寫腳本生成大量的項目文件報告,對接Geocmd 處理大量數(shù)據(jù)文件。 相關(guān)軟件實現(xiàn)步驟如下：

1)利用Geostudio 軟件建立邊坡模型并劃分網(wǎng)格,提取各網(wǎng)格節(jié)點的坐標(biāo)信息和單元的節(jié)點信息,利用Matlab 計算出各單元網(wǎng)格的中點坐標(biāo)。

2)確定所建立隨機(jī)場的參數(shù)(均值、標(biāo)準(zhǔn)差選取合適的相關(guān)距離、互相關(guān)系數(shù)、變異系數(shù)),根據(jù)1.3 一節(jié)所述步驟編寫Matlab 程序,生成N組黏聚力和內(nèi)摩擦角的互相關(guān)對數(shù)正態(tài)隨機(jī)場。

3)Matlab 和Geostudio 結(jié)合,進(jìn)行材料參數(shù)的批量賦值和計算,并提取N組隨機(jī)場下各工況所計算出的結(jié)果文件,統(tǒng)計整理N個安全系數(shù)值。

4)根據(jù)所提取的安全系數(shù)值,利用Matlab 編寫程序計算失效概率,反求可靠度指標(biāo)。

3 算例分析

3.1 模型建立

利用Geostudio 軟件建立模型,見圖1,坡高15m,坡度1 ∶2。 模型劃分為810 個單元網(wǎng)格以及971 個節(jié)點,其中包括20 個三角形網(wǎng)格,其余均為正方形網(wǎng)格,尺寸1m×0.5m。 采用常用的摩爾-庫倫算法構(gòu)建±體模型,且不考慮孔隙水壓力。

圖1 邊坡模型及安全系數(shù)

在進(jìn)行確定性分析時,不考慮±體參數(shù)的空間變異性,利用Geostudio 軟件自動搜索滑移面,按表1 設(shè)置參數(shù),得到安全系數(shù)為1.112。

表1 土體模型參數(shù)

3.2 參數(shù)敏感性分析

由于不同空間位置的±壤性質(zhì)是相互聯(lián)系而不是相互獨(dú)立的,本研究考慮±體參數(shù)的相關(guān)性,分析過程中ρ(c,φ)取定值-0.5,圖2 分別為邊坡可靠度和安全系數(shù)均值隨豎直相關(guān)距離和水平相關(guān)距離變化曲線。

圖2 β 和μFs 隨豎直和水平相關(guān)距離變化曲線

由圖2 可知,隨著水平或豎直相關(guān)距離的增大,β呈現(xiàn)下降趨勢,而μFs數(shù)值變化幅度很小,β對水平或豎直相關(guān)距離變化更為敏感。 當(dāng)δh=40m、δv由1m 增長至7m 時,可靠度指標(biāo)由2.65下降至2. 46;當(dāng)δv=4m、δh由30m 增長至60m時,可靠度指標(biāo)由2.75 下降至2.41。 由圖2 還可發(fā)現(xiàn),豎直相關(guān)距離比水平相關(guān)距離對邊坡可靠度的影響更顯著。 當(dāng)β提升4.88%,豎直相關(guān)距離需要從3m 增加至7m(水平相關(guān)距離為40m),而水平相關(guān)距離需要從40m 增加至50m。此外,圖2(a)、圖2(b)可靠度始末兩點斜率絕對值分別為0.031、0.011,也表明可靠度指標(biāo)對豎直相關(guān)距離的變化更加敏感。

由于±壤性質(zhì)的相關(guān)性存在不確定性,本文簡要研究c和φ的相關(guān)系數(shù)對邊坡可靠度的影響。 由文獻(xiàn)[8]可知,c和φ的相關(guān)系數(shù)變化范圍可取(-0.7,0.25)。

由圖3 可以看出,c和φ的相關(guān)系數(shù)由-0.7增長至0.2 時,β下降42.7%、μFs下降0.73%,表明c和φ相關(guān)系數(shù)變化會對β和μFs均產(chǎn)生影響,且可靠度指標(biāo)相對于安全系數(shù)均值對相關(guān)系數(shù)變化更加敏感。 此外,c和φ的負(fù)相關(guān)程度越強(qiáng),可靠度指標(biāo)和安全系數(shù)均值越大,這與文獻(xiàn)[9]所得結(jié)論一致。

圖3 β、μFs 隨c 和φ 互相關(guān)系數(shù)變化曲線

基于文獻(xiàn)[10]中黏聚力變異系數(shù)波動范圍在0.26～0. 78、內(nèi)摩擦角變異系數(shù)波動范圍在0.15～0.73,圖4 分別為β、μFs隨c和φ變異系數(shù)變化曲線。 由圖4 可知,β、μFs隨c和φ變異系數(shù)的增大逐漸降低。 當(dāng)covφ=0.2、covc從0.1 增長至0.7 時,β、μFs分別下降53.09%和2.43%;當(dāng)covc=0.3、covφ由0.2 增長至0.5 時,β、μFs分別下降62.4%和2.03%。 此外,圖4(a)、圖4(b)的可靠度始末兩點斜率分別為5.26 和5.36。 綜上可知,可靠度指標(biāo)對c和φ變異系數(shù)變化更加敏感,且內(nèi)摩擦角變異系數(shù)相比于黏聚力變異系數(shù)對可靠度影響更加顯著。

圖4 β、μFs 隨covc 和covφ 變化曲線

4 結(jié) 論

1)可靠度隨著水平或豎直相關(guān)距離的增大而逐漸減小,但對安全系數(shù)均值影響較小,且豎直相關(guān)距離變化對可靠度影響更大。

2)可靠度和安全系數(shù)均值隨著黏聚力和內(nèi)摩擦角互相關(guān)系數(shù)的增大而減小,可靠度對互相關(guān)系數(shù)變化更加敏感,且當(dāng)黏聚力和內(nèi)摩擦角具有強(qiáng)負(fù)相關(guān)時,可靠度會變得越大。

3)可靠度和安全系數(shù)均值隨著黏聚力或內(nèi)摩擦角變異系數(shù)的增大而減小,可靠度對變異系數(shù)變化更加敏感,而內(nèi)摩擦角變異系數(shù)對可靠度影響更大。