基于新型B-N窗和改進分區(qū)法的三相不平衡度檢測

周綱,黃瑞,劉謀海,李丹,胡軍華,高云鵬

(1.國網湖南省電力有限公司,長沙 410004; 2.智能電氣量測與應用技術湖南省重點實驗室,長沙 410004;3.湖南大學,長沙 410082)

0 引 言

三相不平衡是衡量電能質量的重要指標[1]。隨著當前智能電網各種沖擊性和非線性負載的大量應用,電能質量不斷惡化,電壓或電流中存在大量負序分量,不僅影響供電質量,也給電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行帶來隱患[2]。為降低電網不平衡給系統(tǒng)帶來的危害,減少因供電質量下降而造成的不必要損失,需對電網三相不平衡進行準確檢測與分析[3]。

遵循國標《電能質量 三相電壓不平衡》和國際大電網委員會定義,三相不平衡度分為線電壓和相電壓兩種計算方法,在實際檢測裝置中,通常只能得到相電壓的幅值與相角,經過換算才得到線電壓,計算過程繁瑣[4],而相電壓計算方法中相序分量求取涉及平方運算,且相序間相角求取易受電網電壓噪聲影響,嵌入式系統(tǒng)計算準確性和實時性亟待提高。

檢測三相不平衡度分為兩個階段,首先檢測電壓基波分量的幅值和相位,再應用對稱分量法檢測出基波分量中的正序、負序和零序相序分量。在基波測量方面,快速FFT變換是常用算法,但非同步采樣時存在頻譜混疊、頻譜泄漏等影響。為此文獻[5]提出基于三維空間法向量的三相電壓幅值檢測算法,但因含有濾波器存在時延,且缺乏相位檢測信息。文獻[6]提出混合基FFT算法計算基波分量,結合對稱分量法計算不平衡度,但采樣點基數(shù)有限。文獻[7]提出改進的S變換檢測電壓的幅值和相位,但涉及調節(jié)參數(shù),難以兼顧檢測精度和速度;在相序分量測量方面,因最小二乘法[8]、卡爾曼濾波法[9]易受噪聲影響,使相角計算出現(xiàn)誤差。文獻[10]提出瞬時序分量提取方法獲得序列分量幅值相位,但依賴于鎖相環(huán)精度?；阪i相環(huán)檢測法響應時間過長和易受電壓分量不平衡的影響,文獻[11]提到采用雙二階廣義積分器的正序電流分量檢測方法,并對分離正序電流跟蹤補償。文獻[12-13]提出假設檢驗檢測理論,并應用廣義似然比求解系統(tǒng)頻率的近似極大似然估計值,但受電網頻率波動影響大。文獻[14]利用向量測量單元進行三相不平衡檢測,給出非正常頻率下的相序分量的模型和假設檢驗的框架,但嵌入式系統(tǒng)實現(xiàn)復雜。文獻[15]提出基于FBD基波正負序檢測算法,但依賴于低通濾波器改進。文獻[16-17]提出相量快速算法來計算不平衡度,但對于基波分量的求取精度未做太多介紹,文獻[18]提出準同步采樣算法和相量快速算法結合來實現(xiàn)不平衡度測量,但遞推過程繁瑣。文獻[19]采用加窗快速傅里葉變換和坐標分區(qū)法結合計算不平衡度,解決信號的頻譜泄露和柵欄效應等問題,但現(xiàn)有窗函數(shù)對于基波分量的求取精度不高。

因此,為實現(xiàn)三相不平衡度的準確檢測,文中構建Blackman-Harris窗和Nuttall窗互卷積新型窗函數(shù),其頻譜性能結合兩窗的旁瓣優(yōu)勢,具有較低的旁瓣峰值,更快的旁瓣衰減速率,推導了新型B-N卷積窗的三譜線改進FFT修正算式,并在原有的坐標分區(qū)法基礎上增加分區(qū)數(shù)目,提出改進坐標分區(qū)法實現(xiàn)相序分量與不平衡度求解,據此提出基于新型B-N卷積窗和改進分區(qū)法的三相不平衡度檢測方法,提高了基波計算精度,同時避免復雜開方運算和三角函數(shù)運算最后采用仿真實驗對文中提出的方法進行驗證與分析。

1 三相不平衡度計算

負序電壓不平衡度為電壓基波負序分量有效值與基波正序分量有效值的比值,零序電壓不平衡度為電壓基波零序分量有效值與基波正序分量有效值的比值,表達式分別為:

(1)

(2)

式中εn為負序不平衡度;ε0為零序不平衡度;Up為基波電壓正序分量;Un為基波電壓負序分量;U0為基波電壓零序分量。

根據對稱分量法原理,可得系統(tǒng)三相相電壓和相序分量的關系,表達式為:

(3)

式中α為旋轉算子,α=ej2π/3

設三相電壓基波幅值分別為|Ua|、|Ub|、|Uc|,相位分別為φa、φb、φc,則相序分量與基波分量的關系可表示為

j(|Ua|sinφa+|Ub|sin(φb)+|Uc|sin(φc)

(4)

(5)

(6)

通過式(4)～式(6)計算,獲得相序分量的有效值與相位,再經過式(1)與式(2)可計算出三相不平衡度。

2 新型B-N窗基波分量求解

基波幅值和相位準確檢測是相序分量計算與三相不平衡準確檢測的基礎,而基于優(yōu)化窗函數(shù)改進FFT修正可有效提高基波分量的檢測精度。4項Blackman-Harris窗旁瓣峰值電平為-92 dB,4項5階Nuttall窗旁瓣衰減速率為42 dB/oct,旁瓣峰值電平較小,具有良好的旁瓣性能。因此文中采用4項5階Nuttall窗與Blackman-Harris窗構造新型B-N混合互卷積窗,分析其歸一化頻譜,并推導三譜線插值修正計算式。

4項Blackman-Harris窗和4項5階Nuttall窗均屬于余弦窗,其時域表達式為:

(7)

式中M為窗函數(shù)項數(shù),n=0,1,….N-1;Blackman-Harris窗的b0=0.358 75,b1=0.488 29,b2=0.141 28,b3=0.011 68;4項5階Nuttall窗的b0=0.312 5,b1=0.468 75,b2=0.187 5,b3=0.031 25。

通過性能優(yōu)良的窗函數(shù)互卷積構建新型混合卷積B-N窗時域表達式為:

(8)

根據時域卷積定理,獲得新型B-N互卷積窗的頻域表達式為:

WB-N(ω)=WB(ω)·WN(ω)

(9)

Blackman-Harris窗、4項5階Nuttall窗及本文構建新型B-N窗的歸一化對數(shù)頻譜如圖1所示。

圖1 窗函數(shù)的歸一化對數(shù)頻譜

由圖1可知,與Blackman-Harris窗和Nuttall窗相比,新型B-N卷積窗具有更低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速率,顯著提升了余弦窗的旁瓣性能,能更好抑制頻譜泄露,提高檢測結果的準確度。

設電壓信號含有H次諧波,以采樣頻率fs對單相信號采樣后得:

(10)

用卷積窗對x(n)進行處理,可得加窗后的離散傅里葉表達式為:

(11)

式中Δf=fs/N為信號平均采樣間隔。由于非同步采樣和柵欄效應影響,信號實際峰值頻點khΔf很難正好位于采樣頻點,為使電壓基波分量計算精度更高,本文利用實際峰值點及其附近兩條譜線,計算新型B-N互卷積窗插值下的電壓基波分量。

信號頻譜最高點對應橫坐標為kh,但由于非同步采樣,該點并未被采集到,而采集到其附近最大值對應的譜線km,與其靠近右側和左側的兩根譜線分別為km+1和km-1,令ε=kh-km,則-0.5<ε<0.5,三根譜線對應的幅值分別為y1=|X(km-1Δf)|,y2=|X(kmΔf)|,y3=|X(km+1Δf)|,記:

(12)

將參數(shù)ε代入式(12),可得:

(13)

記β=f(ε),求得ε=f-1(β),用函數(shù)近似求解擬合法獲得參數(shù)ε,根據頻率與實際頻譜最高點間對應關系,可獲得頻率計算式為:

fh=(kh+ε)Δf

(14)

通過加權設置,可得到電壓基波幅值和相位修正式分別為:

A1=

(15)

(16)

同理,用逼近方法求解多項式g(e),經多次擬合求得新型B-N互卷積窗三譜線插值參數(shù)e和g(e)計算式分別為:

ε=1.76925764β-0.12413716β3+0.01825458β5-0.00327175β7

(17)

g(ε)=2.31811912+0.32870923β2+0.02421399β4+0.00125990β6

(18)

3 改進分區(qū)法三相不平衡度檢測

相序分量求取結果與三相基波電壓的幅值和相位的精度直接相關,由式(4)～式(6)可知,相序分量需經過三相電壓相量的和求模獲得,通常求相量和的模有兩種方法,即公式法與坐標法,而公式法運算量大,故本文選取建立新型坐標系的坐標法來計算相序分量,在原有以3和4為基底的坐標分區(qū)法基礎上通過增加分區(qū)數(shù)建立改進分區(qū)法,實現(xiàn)以5為基底,并進一步推導得出5分區(qū)、10分區(qū)和15分區(qū)的不平衡度,比較三個分區(qū)下不平衡度檢測結果,據此驗證構建改進分區(qū)法的準確性和有效性。

設有三相電壓相量,A、B、C三相電壓的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則有:

(19)

tanθ=(y1+y2+y3)/(x1+x2+x3)

(20)

式中θ為三相電壓相量和的模的相位,在直角坐標系中,若電壓A相幅值為Ua,相位為α,則相量A相坐標為(Uacosα,Uasinα),同理B相坐標為(Ubcosβ,Ubsinβ),C相坐標為(Uccosγ,Ucsinγ)。

由式(19)與式(20)可計算出三相電壓和的幅值與相位,但涉及開方與三角函數(shù)運算,計算量較大,為簡化運算,需建立新型直角坐標系。本文取a相所在相量為x軸,則A相坐標為(Ua,0),B相坐標為(Ubcos(φb-φa),Ubsin(φb-φa)),C相坐標為(Uccos(φc-φa),Ucsin(φc-φa)),在新坐標系中相序分量的求取能省去開方與三角函數(shù)計算,減少計算量,有效加快相量求取速度,以負序分量Un計算為例建立負序分量坐標圖如圖2所示。

圖2 計算負序分量坐標圖

由圖2可知,負序分量OUn的幅值即為所求負序分量值,而點Un到原點O的距離即為負序分量OUn的幅值。設負序分量Un坐標為(xn,yn),則:

(21)

假定xn>yn,在相量Unxn上任取一點C,延長線段OC到A點,使|OA=OUn|,為計算方便,作UnP⊥OA,BUn⊥OUn,則有:

|OUn|=|OA|=|OC|+|CP|+|PA|

(22)

由圖2可知,令θ為相量OUn與x軸的夾角,則θ=arctan(yn)/xn,x’軸為相量計算方便而選取軸,β為x’軸與x軸間的夾角,γ=θ-β,則相量|OC|、|CP|和|PB|分別表示為:

(23)

|CP|=(yn-xntanβ)sinβ

(24)

(25)

因A點位于相量PB之間,所以在相量PA與PB間必存在一個0與1間的系數(shù)η,使|PA=ηPB|,即:

(26)

式中η為比例因子,k0=1/cosβ,k1=sinβ,k2=η·

(cosβ)2。

由此可見,相量OUn求取轉化為三角函數(shù)求和形式,為進一步簡化計算量,本文將三角函數(shù)運算用簡單的線性函數(shù)代替,并依據本文提出的以5為基底的改進坐標分區(qū)法,進一步分析5分區(qū)、10分區(qū)及15分區(qū)相關系數(shù)和不平衡度的檢測結果。以xn值為基準建立正方形坐標區(qū)域,建立5分區(qū)法如圖3所示。

由圖3可知,在y軸上選取四個點,將y軸分為五等份,即yn1=yn2/2=…yn5/5=xn/5,設OUn在第i分區(qū),則有(i-1)xn/n≤yn≤ixn/n,β為i-1個分區(qū)所對應的夾角,有:

(27)

由圖2幾何關系可得,相量UnA為∠PUnB的角平分線,則:

(28)

式中γ=θ-β。為減少三角函數(shù)復雜運算,用一次線性函數(shù)y1=b1γ和y2=b2γ分別逼近tanγ、tan(γ/2),則:

(29)

由式(29)可得,η僅由b1和b2決定,不同分區(qū)數(shù)的η值不同,通過函數(shù)擬合得到不同分區(qū)的b1,b2和η值如表1所示。

表1 3個分區(qū)的b1、b2、η值

根據k0、k1、k2與β的三角函數(shù)關系,以5分區(qū)和10分區(qū)為例仿真,得到5分區(qū)和10分區(qū)k0、k1、k2值如表2所示。

表2 5分區(qū)和10分區(qū)幅值的系數(shù)

當n=5時,設|OUn|在1區(qū),由表2得k0=1.019 803 900,k1=0.196 116 135,k2=0.479 196 302,代入式(26),計算負序分量即|OUn|的值;若xn≤yn,可在x軸進行分區(qū)域計算,計算思路與xn>yn一致,依此原理可計算出正序分量與零序分量的值,代入式(1)與(2),計算得出不平衡度的最終結果。

4 仿真實驗與分析

為驗證文中提出的基于新型B-N窗和改進分區(qū)法的三相不平衡度檢測方法計算精度,取國標推薦方法為基準值,對三組含基波電壓信號和含有五次諧波及高斯白噪聲信號進行仿真,其中基波頻率為50 Hz,諧波頻率fh=hf1,采樣頻率為fs=8 kHz,采樣長度為N=2 048。

4.1 僅含基波的電壓信號仿真

對3組僅含基波的A、B、C三相電壓信號進行仿真分析,電壓信號幅值與相位如表3所示。采用GB/T 15543-2008推薦方法和本文方法求取電壓信號的基波分量和相序分量,進而求得三組信號的負序不平衡度(VUFn)和零序不平衡度(VUF0)結果如表4所示。

表3 三相基波電壓信號參數(shù)

表4 電壓不平衡度仿真結果

由表4可知,隨著分區(qū)數(shù)的增加,基于本文方法得到的不平衡度檢測結果與國標檢測結果接近,經十分區(qū)和十五分區(qū)仿真得到的結果更接近國標推薦方法的檢測值。

為比較不同分區(qū)下不平衡度的相對誤差,以GB/T 15543-2008方法為真值,不同分區(qū)的相對誤差表達式為:

(30)

式中R為不同分區(qū)下計算的實際值;I為國標推薦方法計算真值。對1-3組電壓信號仿真,所得相對誤差如圖4所示。

圖4 不平衡度的相對誤差圖

由圖4可知,五分區(qū)電壓不平衡度相對誤差最低為10-5%左右,而十分區(qū)、十五分區(qū)的不平衡度誤差可達到10-7%～10-6%之間,可見,采用十分區(qū)和十五分區(qū)得到的仿真效果更好。

為驗證文中提出的新型B-N卷積窗函數(shù)對不平衡度計算結果的影響,分別采用基于Hanning窗、Blackman-Harris窗和4項5階Nuttall窗以及本文構建的新型B-N卷積窗,以10分區(qū)為例,分別對上述電壓信號不平衡度進行計算,得到不同窗函數(shù)的電壓不平衡度測量相對誤差曲線如圖5所示。

圖5 不同窗函數(shù)的電壓不平衡度相對誤差

由圖5可知,四種窗函數(shù)仿真中Hanning窗得到的不平衡度相對誤差最大,應用本文新型B-N卷積窗得到不平衡度的相對誤差最小。由此可見,不同窗函數(shù)與改進分區(qū)法的結合影響不平衡度計算的結果,文中提出的新型B-N卷積窗改進分區(qū)法可降低不平衡度計算的相對誤差,提高測量的準確度。

4.2 含諧波信號的仿真

非線性負荷常給電網注入大量諧波,為驗證本文算法在電壓信號含有諧波情況下仍有很好的計算精度,向第四組電壓信號中加入七次諧波,仿真信號基波及各次諧波的幅值和相位如表5所示。

表5 含有諧波的三相電壓系數(shù)

分別以國標推薦方法和本文方法進行仿真得到的不平衡度結果如表6所示。

表6 不平衡度仿真結果

4.3 含噪聲信號的仿真

為驗證文中算法在含有噪聲情況下的計算精度,設第五組電壓信號含有3、5、7次諧波,各相電壓基波和諧波的幅值與相位參數(shù)如表7所示,A相、B相和C相分別加入信噪比為40 dB、18 dB和80 dB高斯白噪聲,分別以國標推薦方法和文章方法仿真得到的不平衡度結果如表8所示。

表8 不平衡度仿真結果

由表7和表8可知,文中提出算法在含有諧波和噪聲的電壓信號下檢測出的不平衡度可達到與GB/T方法相同的數(shù)量級,其中十分區(qū)法和十五分法計算出的電壓不平衡度與標準方法計算結果間的誤差不超過10-6%,驗證了文中算法在諧波和噪聲干擾的準確度。

5 結束語

文中提出基于新型B-N卷積窗和改進分區(qū)法的三相不平衡度檢測算法。新型B-N互卷積窗能準確計算出三相電壓的基波和幅值,比傳統(tǒng)優(yōu)化窗函數(shù)實現(xiàn)效果更好,以5為基底的改進分區(qū)法中10分區(qū)和15分區(qū)法計算出三相不平衡度的誤差更小,提高了不平衡度計算的準確度。從仿真實驗與分析的結果可知,文中提出的新型B-N卷積窗結合改進分區(qū)法的三相不平衡度檢測結果滿足GB/T15543-2008的準確度要求,同時避免復雜開方和三角函數(shù)運算,減少了運算時間,有效提高了檢測的準確性和實時性。