Na原子高激發(fā)里德堡態(tài)輻射壽命的理論計算

馬 果 ,張云云 ,賈 曉 ,汪 寶

(1.南陽理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院 河南 南陽 473004;2.南陽理工學(xué)院信息工程學(xué)院 河南 南陽 473004)

里德堡原子具有很高的電子躍遷軌道,因此它具有能級壽命較長、半徑尺寸較大、譜線寬度較窄、極化率較大等特點[1];并且里德堡原子間存在強(qiáng)的相互作用,從而可以產(chǎn)生激發(fā)阻塞效應(yīng)。這些特點使得里德堡原子成為研究的熱點,在半導(dǎo)體物理、表面物理、光譜學(xué)以及量子信息、量子計算[2,3]等眾多領(lǐng)域中都扮演著極其重要的角色;除此之外,由于里德堡原子自身的奇異特性,使得它產(chǎn)生的電磁感應(yīng)透明(EIT)效應(yīng)更是具有區(qū)別于一般EIT的重要特點,從而里德堡原子在量子糾纏、量子邏輯門[4]、單光子源制備及其量子精密測量[5]等領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用前景。

能級壽命作為里德堡原子的基本屬性之一,可以提供能級信息,進(jìn)而反映原子結(jié)構(gòu),在原子結(jié)構(gòu)理論、激光同位素分離、天體光譜分析、氣體放電等眾多領(lǐng)域存在廣泛應(yīng)用[6]。處于高激發(fā)里德堡態(tài)的堿金屬原子是一種類氫原子,結(jié)構(gòu)相對簡單,其能級輻射壽命的理論研究可以為相關(guān)實驗測量提供參考數(shù)據(jù),本文以Na原子為例,基于Marinescu提出的單電子模型勢[7]公式,采用數(shù)值積分計算了Na原子高n里德堡態(tài)的徑向矩陣元,進(jìn)而計算了Na原子在不同溫度下高n里德堡態(tài)的輻射壽命。

1 理論模型

1.1 Na原子里德堡態(tài)能級

里德堡原子的能級可以根據(jù)里德堡公式[8]進(jìn)行計算。

(1)

式(1)中的n、l、j分別為主量子數(shù)、軌道角動量量子數(shù)和總角動量量子數(shù);Ry=(me/m+me)R∞為里德堡常數(shù),其中me為電子質(zhì)量,m為原子實的質(zhì)量;δn,l,j表示量子數(shù)虧損,可通過經(jīng)驗公式求得[9]。

(2)

其中δ0,δ2,δ4…是通過擬合實驗精確測量原子能級得到的Rydberg-Ritz關(guān)聯(lián)系數(shù)[9]。對于Na原子而言,圖1給出了不同量子態(tài)的量子數(shù)虧損。從圖1中可以看出,對于Na原子而言,當(dāng)軌道角動量量子l一定時,量子數(shù)虧損隨n的變化并不明顯。

圖1 Na原子的量子數(shù)虧損

1.2 里德堡原子波函數(shù)

基于Marinescu提出的單電子模型勢[7],忽略Na原子的自旋軌道耦合,采用原子單位制,系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

(3)

其中V(r)即為單電子的模型勢,這里采用Marinescu提出的核心電勢的表達(dá)式

(4)

Zl(r)=1+(z-1)e-a1r-r(a3+a4r)e-a2r

(5)

式(5)中a1、a2、a3、a4是和軌道量子數(shù)l相關(guān)的模型化參數(shù)[7],其數(shù)值如表1所示。

表1 Na原子單電子模型勢的參數(shù)

為計算Na原子的壽命,需要計算定態(tài)薛定諤方程的徑向躍遷矩陣元,對于能量本征值為E的本征態(tài)ψ(r)而言,滿足方程(6)

(6)

由于勢場V(r)為中心勢場,因此上述方程的解在球坐標(biāo)系下展開可以表示為

(7)

(8)

根據(jù)上述徑向方程和里德堡能級的信息即可數(shù)值計算相應(yīng)的徑向波函數(shù)。

1.3 徑向波函數(shù)的數(shù)值求解

(9)

其中,函數(shù)g(x)的表達(dá)式定義為

(10)

[1-T(x+h)]X(x+h)+[1-T(x-h)]X(x-h)=

[2+10T(x)]X(x)+o(h6)

(11)

1.4 Na原子里德堡態(tài)的能級壽命

Na原子的能級壽命取決于愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)[12]和黑體輻射[13]的影響。

(12)

其中Γ0為絕對溫度下,不考慮黑體輻射的影響時,愛因斯坦自發(fā)輻射對原子能級壽命的貢獻(xiàn)。

(13)

其中A即為從能級|nl〉向能級|n′l〉躍遷時的愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù),可以根據(jù)偶極躍遷矩陣來確定。

(14)

(15)

由于里德堡原子能級間隔很小,黑體輻射會對能級壽命帶來一定的影響。式(10)中ΓBBR即為一定溫度下,黑體輻射的貢獻(xiàn)。根據(jù)普朗克黑體輻射公式,可得輻射光子的能量分布為

(16)

結(jié)合上式(14)、(16)即可得到

(17)

對上式(17)求和的過程中,n′,l′也包括在能量上更高的狀態(tài),因為黑體輻射可以驅(qū)動這些躍遷的發(fā)生。

2 結(jié)果分析

圖2 以Na原子30S1/2→nP1/2,3/2的躍遷為例,自發(fā)輻射()和黑體輻射()對能級壽命的貢獻(xiàn)。

根據(jù)(12)至(17)式,可以計算Na原子不同能級的壽命,圖3給出T=0 K,T=30 K,T=100 K和T=300 K時,能級壽命隨主量子數(shù)n的變化,可以看出,溫度一定時,能級壽命隨量子數(shù)n的增大而增大。圖4給出了確定里德堡態(tài)下,溫度對能級壽命的影響?？梢钥闯?主量子數(shù)n越大,能級壽命受溫度的影響越大,當(dāng)主量子數(shù)n比較小時,能級壽命隨溫度的變化極小。

圖3 不同溫度下量子數(shù)n對Na原子能級壽命的影響

圖4 不同里德堡態(tài),溫度對Na原子能級壽命的影響

3 總結(jié)

基于單電子模型勢,采用數(shù)值積分計算了Na原子的能級波函數(shù),以此可以求得不同能級間躍遷的偶極矩陣元,Na原子能級壽命的計算,同時考慮了原子的自發(fā)輻射和黑體輻射。經(jīng)過數(shù)值計算,分析了溫度和主量子數(shù)對能級壽命的影響,并發(fā)現(xiàn):(1)特定溫度下,能級壽命隨主量子數(shù)n的增大而增大;(2)對于主量子數(shù)n較小的里德堡態(tài),能級壽命隨溫度的變化很小;(3)對于主量子數(shù)n較大的里德堡態(tài),能級壽命受溫度的影響較大,并隨溫度的增大而減小。