多維地震作用下結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法

徐漢勇, 何澤, 余志武, 李玲瑤

(1.長(zhǎng)沙學(xué)院 土木工程學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410022; 2.珠海市建筑工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司,廣東 珠海 519000; 3.中南大學(xué) 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室,湖南 長(zhǎng)沙 410083)

瑞利阻尼模型廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的抗震計(jì)算中,瑞利阻尼系數(shù)取值會(huì)對(duì)瑞利阻尼模型和結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生顯著影響。因此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)瑞利阻尼系數(shù)的計(jì)算方法展開了研究。

第一類瑞利阻尼系數(shù)的計(jì)算方法是通過對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析,提取前若干階模態(tài),選取任意二階振型頻率作為指定頻率,根據(jù)瑞利阻尼模型求得的該二階振型阻尼比與事先假定阻尼比相等的原則確定瑞利阻尼系數(shù)。CHOPRA A K[1]、CRUZ C等[2]、ERDURAN E[3]和樓夢(mèng)麟等[4]指出,該類阻尼系數(shù)計(jì)算方法只能考慮二階指定頻率對(duì)阻尼系數(shù)的影響,在應(yīng)用時(shí),除指定頻率外,其余各階頻率對(duì)應(yīng)的阻尼比都存在誤差,且指定頻率的選擇對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響顯著。

第二類瑞利阻尼系數(shù)的計(jì)算方法是先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析,提取N階振型,建立由事先指定的該N階振型阻尼比、振型阻尼比變化量平方的權(quán)重系數(shù)、質(zhì)量瑞利阻尼系數(shù)和剛度瑞利阻尼系數(shù)表示結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化量平方的表達(dá)式,并根據(jù)響應(yīng)誤差最小的原則得到阻尼系數(shù)優(yōu)化計(jì)算式。相比第一類瑞利阻尼系數(shù)的計(jì)算方法,第二類計(jì)算方法能夠考慮多階頻率對(duì)阻尼系數(shù)的影響,其關(guān)鍵是權(quán)重系數(shù)的構(gòu)建與計(jì)算。按照響應(yīng)類別,已有的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法可分為基于節(jié)點(diǎn)位移[5-11]、基底剪力[12]和結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能響應(yīng)[13-15]3種。按照所采用的方法類別,已有的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法可分為時(shí)程分析法[5-9,12-14]、多維組合法[10]和多維虛擬激勵(lì)法[11,15]3種。按照激勵(lì)維數(shù),已有的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法可分為基于單維地震激勵(lì)[5-9,12]和多維地震激勵(lì)[10-11,13-15]兩種。

在已有的第二類瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法中,對(duì)于由節(jié)點(diǎn)位移或基底剪力組成的權(quán)重系數(shù),節(jié)點(diǎn)序號(hào)或位移方向或基底剪力方向的改變,勢(shì)必會(huì)影響阻尼系數(shù)的取值,進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)。相比之下,結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能響應(yīng)不受此影響。同時(shí),作用于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的地震激勵(lì)是多維的。因此,用多維地震激勵(lì)作用時(shí)的結(jié)構(gòu)整體應(yīng)變能響應(yīng)構(gòu)建權(quán)重系數(shù)更合理,如文獻(xiàn)[13-14]。但文獻(xiàn)[13-14]中的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法需要先構(gòu)建以振型頻率和振型阻尼比為動(dòng)力特性的單自由度體系,并計(jì)算出該體系在各向地震波作用下的偽速度反應(yīng)譜。顯然,當(dāng)振型階次發(fā)生變化時(shí),振型頻率勢(shì)必發(fā)生改變,致使各向偽速度反應(yīng)譜也發(fā)生變化。以實(shí)際工程中常用的塔式結(jié)構(gòu)[16]或大跨空間結(jié)構(gòu)[17]為例,在振型分析時(shí),所取振型數(shù)目常在60階及以上,以使各向振型質(zhì)量參與系數(shù)累計(jì)數(shù)滿足《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2010(2016年版))[18](以下簡(jiǎn)稱《規(guī)范》)要求,并假設(shè)承受三維平動(dòng)地震激勵(lì),在利用文獻(xiàn)[13-14]中的權(quán)重系數(shù)計(jì)算方法時(shí),需要利用時(shí)間步積分法求得各階振型對(duì)應(yīng)的3個(gè)偽速度反應(yīng)譜,共計(jì)180個(gè)及以上偽速度反應(yīng)譜,計(jì)算量略大。文獻(xiàn)[15]中構(gòu)建了多維激勵(lì)振型參與系數(shù)矩陣,并以此提出了計(jì)算多維激勵(lì)應(yīng)變能響應(yīng)的虛擬激勵(lì)法和瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法,但計(jì)算過程均較復(fù)雜。因此,本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上,先后利用CQC振型組合法和SRSS多維組合法求得應(yīng)變能響應(yīng),并提出應(yīng)用更方便的瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法,且以帶樓板的多塔結(jié)構(gòu)和不帶樓板的空間結(jié)構(gòu)為例,對(duì)瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用算法、文獻(xiàn)[13-14]算法和文獻(xiàn)[15]算法求得的節(jié)點(diǎn)位移和桿件內(nèi)力進(jìn)行對(duì)比分析。應(yīng)注意的是,在已有瑞利阻尼系數(shù)優(yōu)化計(jì)算方法中[5-15],均以利用基于事先擬定振型阻尼比的振型分解法求得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn),本文也以此來確定標(biāo)準(zhǔn)。

1 SRSS多維組合應(yīng)變能響應(yīng)計(jì)算

(1)

取前N階振型,記φi為第i階振型的節(jié)點(diǎn)位移幅值向量,qi(t)為位移振型坐標(biāo),根據(jù)振型疊加原理和振型正交規(guī)則,得平衡方程為:

(2)

利用式(2)求得qi(t),并得到結(jié)構(gòu)在x向地震激勵(lì)下的應(yīng)變能時(shí)程響應(yīng)Wx(t)為:

(3)

式中:φj為第j階振型的節(jié)點(diǎn)位移幅值向量;qj(t)為第j階位移振型坐標(biāo)。

利用振型正交性,可將式(3)變?yōu)?

(4)

式中Ei為第i階振型應(yīng)變能。

(5)

對(duì)于非隔震土木工程結(jié)構(gòu),常用材料阻尼比較小,根據(jù)文獻(xiàn)[19],可得振型坐標(biāo)qi(t)最大值為:

(6)

將式(6)代入式(4)的累加項(xiàng),可得累加項(xiàng)最大值。應(yīng)注意的是,式(4)中累加項(xiàng)值僅取決于相應(yīng)單階振型。因此,可將累加項(xiàng)最大值看作相應(yīng)單階振型對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)變能Eimax,

(7)

在式(7)基礎(chǔ)上,只需利用振型組合方式便可求得單維地震激勵(lì)作用下的應(yīng)變能響應(yīng)值。按照《規(guī)范》給出的CQC振型組合方式,得到x向地震激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能響應(yīng)Wx:

(8)

式中:ρij為振型相關(guān)系數(shù)[18];Ejmax為第j階振型對(duì)應(yīng)的最大應(yīng)變能;Ej為第j階振型應(yīng)變能;rxj為沿x向第j階振型參與系數(shù);axj為第j階振型對(duì)應(yīng)的地震影響系數(shù);ωj為第j階振型圓頻率。

類似式(8),可分別求得y向和z向地震激勵(lì)單獨(dú)作用下的應(yīng)變能響應(yīng)Wy和Wz:

(9)

(10)

式中:ryi、ryj分別為第i階振型和第j階振型的y向振型參與系數(shù);rzi、rzj分別為第i階振型和第j階振型的z向振型參與系數(shù);ayi、azi分別為以第i階振型頻率和振型阻尼比為特性的單自由度體系對(duì)應(yīng)的水平y(tǒng)向和豎直z向地震影響系數(shù),其中ayi與axi相等。

當(dāng)考慮多維地震激勵(lì)作用時(shí),根據(jù)SRSS多維組合法規(guī)則,可得結(jié)構(gòu)應(yīng)變能響應(yīng)W的平方為:

(11)

2 瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法

按照瑞利阻尼模型構(gòu)造原理,阻尼矩陣C[1]為

C=αM+βK。

(12)

式中:α為質(zhì)量阻尼系數(shù);β為剛度阻尼系數(shù)。

文獻(xiàn)[6-7]構(gòu)建了結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化量Qk與瑞利阻尼系數(shù)的優(yōu)化方程:

(13)

提取式(11)的后面累加項(xiàng),可得

(14)

則

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

3 工程案例

3.1 塔式結(jié)構(gòu)

相比文獻(xiàn)[13-14],式(8)—(19)所示的瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法不需要計(jì)算各向地震波各階振型對(duì)應(yīng)的偽速度反應(yīng)譜,只需結(jié)合《規(guī)范》給出顯式曲線來計(jì)算地震影響系數(shù)。相比文獻(xiàn)[15],該計(jì)算過程簡(jiǎn)單,且SRSS多維組合法是在工程實(shí)踐中得到認(rèn)可的計(jì)算方法。為進(jìn)一步說明各類阻尼系數(shù)計(jì)算方法的差異,分別以常用的帶樓板鋼筋混凝土塔式結(jié)構(gòu)和不帶樓板的K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)作為案例進(jìn)行分析。

塔式結(jié)構(gòu)如圖1所示,底盤一層,塔樓1與塔樓3、塔樓2與塔樓4在幾何位置、構(gòu)件幾何尺寸和材料強(qiáng)度等方面都滿足水平雙向?qū)ΨQ要求。記各塔樓各層樓面質(zhì)量分別為M1、M2、M3和M4,構(gòu)建比值為1∶1∶1∶1的水平雙向?qū)ΨQ、1∶1∶2∶1的水平單向偏心以及1∶1∶2∶2和1∶1∶2∶4的水平雙向偏心多塔結(jié)構(gòu)。利用ANSYS軟件構(gòu)建有限元模型,用beam4單元模擬梁柱,用shell63單元模擬樓板,進(jìn)行模態(tài)分析和提取振型參與質(zhì)量比值。選取了水平雙向?qū)ΨQ(1∶1∶1∶1)和水平雙向偏心(1∶1∶2∶4)最顯著的多塔結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,結(jié)果如圖2所示。

圖1 四塔結(jié)構(gòu)

由圖2可知,無論對(duì)于帶樓板的雙向?qū)ΨQ多塔結(jié)構(gòu),還是對(duì)于帶樓板的雙向偏心多塔結(jié)構(gòu),各向多階振型參與質(zhì)量顯著不為零,尤其是水平雙向偏心結(jié)構(gòu)更顯著。

3.2 空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)

K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)如圖3所示,所有環(huán)向構(gòu)件、徑向構(gòu)件采用的材料強(qiáng)度、幾何尺寸以及底部支座約束均滿足球?qū)ΨQ條件。假設(shè)球面質(zhì)量集中分布在構(gòu)件交點(diǎn)上,并按照集中質(zhì)量大小將球面分成4個(gè)區(qū)域,集中質(zhì)量分別記為M1、M2、M3和M4,構(gòu)建1∶1∶1∶1的水平雙向?qū)ΨQ、1∶2∶1∶1和1∶1∶2∶1的水平單向?qū)ΨQ和1∶2∶3∶4的水平雙向偏心的空間結(jié)構(gòu)。利用ANSYS有限元軟件的beam4單元模擬環(huán)向和徑向構(gòu)件,mass21模擬集中質(zhì)量點(diǎn),建立數(shù)值模型,并進(jìn)行模態(tài)分析和提取前100階振型的振型參與質(zhì)量比值。選取了水平雙向?qū)ΨQ(1∶1∶1∶1)和水平雙向偏心(1∶2∶3∶4)的網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析,結(jié)果如圖4所示。

圖3 K8單層球面網(wǎng)殼質(zhì)量分布

圖4 K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)振型參與質(zhì)量比值分布

由圖4可知,不帶樓板的雙向?qū)ΨQ和雙向偏心K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),多階振型的參與質(zhì)量也顯著大于零,偏心結(jié)構(gòu)更顯著。

4 算法比較

假設(shè)各類塔式結(jié)構(gòu)和各類K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)均位于Ⅱ類場(chǎng)地,設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.10g,抗震設(shè)計(jì)分組為兩組。根據(jù)該地震環(huán)境,并結(jié)合《規(guī)范》,可繪制出動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜曲線。依據(jù)動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜曲線相似的原則,確定了Kobe波和Taft波的動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜曲線,如圖5所示。

圖5 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜曲線的比較

4.1 塔式結(jié)構(gòu)比較

按照文獻(xiàn)[13-14]算法、文獻(xiàn)[15]算法,以及本文提出的瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法的計(jì)算過程,并結(jié)合MATLAB軟件規(guī)則,編制各算法對(duì)應(yīng)的計(jì)算程序。對(duì)于各鋼筋混凝土塔式結(jié)構(gòu),根據(jù)《規(guī)范》,各振型阻尼比可擬定為0.05,利用各阻尼系數(shù)算法的計(jì)算程序求得相應(yīng)質(zhì)量阻尼系數(shù)α和剛度阻尼系數(shù)β(×10-3),結(jié)果見表1。對(duì)于文獻(xiàn)[13-14]算法,表中給出了各塔樓在Taft波作用下得到的阻尼系數(shù)。表中塔1、塔2、塔3和塔4分別表示M1∶M2∶M3∶M4為1∶1∶1∶1、1∶1∶2∶1、1∶1∶2∶2和1∶1∶ 2∶4的塔式結(jié)構(gòu)。

表1 基于不同算法的塔式結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)的比較

以基于擬定振型阻尼比求得的結(jié)構(gòu)三維平動(dòng)地震激勵(lì)時(shí)程響應(yīng)最大值為標(biāo)準(zhǔn),對(duì)基于各阻尼系數(shù)算法求得的結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)最大值進(jìn)行比較。響應(yīng)包括節(jié)點(diǎn)位移和桿件內(nèi)力,節(jié)點(diǎn)為各結(jié)構(gòu)塔樓1左下角第1列柱的13個(gè)節(jié)點(diǎn),并選取該列柱的12根桿件。圖6給出了塔1和塔4的響應(yīng)誤差比較結(jié)果,并按照文獻(xiàn)[13-14]阻尼系數(shù)算法,給出了圖7所示的以塔4結(jié)構(gòu)前60階振型頻率和振型阻尼為特性的單自由度體系在三維Kobe地震波作用下的偽速度反應(yīng)譜。

圖6 在Taft、Kobe兩種地震波作用下基于不同算法的塔式結(jié)構(gòu)響應(yīng)誤差比較

圖7 三維Kobe地震波作用下的偽速度反應(yīng)譜

由圖6可知,對(duì)于塔式結(jié)構(gòu),基于本文瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用算法得到的節(jié)點(diǎn)位移誤差和桿件內(nèi)力誤差與基于文獻(xiàn)[13-14]算法得到的誤差相差不大,但明顯小于基于文獻(xiàn)[15]算法得到的誤差。這是由于塔樓底盤的強(qiáng)連接作用,致使局部塔的振動(dòng)引起其他位置塔的振動(dòng),表現(xiàn)為該類結(jié)構(gòu)的空間作用顯著。而本文瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用算法和文獻(xiàn)[13-14]算法本質(zhì)上都是基于SRSS多維組合法,文獻(xiàn)[15]算法中的系數(shù)矩陣缺乏足夠的理論依據(jù),致使該算法并不是基于SRSS多維組合法。此外,按照文獻(xiàn)[13-14]的計(jì)算方法,需要構(gòu)建以振型頻率和振型阻尼比為動(dòng)力特性的單自由度體系,并求得該體系在各向地震激勵(lì)作用下的各向偽速度反應(yīng)譜。顯然,當(dāng)振型階次發(fā)生變化時(shí),振型頻率也隨著改變,各向偽速度反應(yīng)譜也發(fā)生變化(圖7)。本文選取了兩條三維地震波,取了前60階振型,文獻(xiàn)[13-14]算法需要采用時(shí)間積分步法計(jì)算360個(gè)偽速度反應(yīng)譜,而本文的實(shí)用算法只需直接利用《規(guī)范》中的公式計(jì)算240個(gè)地震影響系數(shù)。因此,計(jì)算效率更高,應(yīng)用更方便。

4.2 空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)

擬定各類K8單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)各階振型阻尼比為0.02,表2給出了利用各類阻尼系數(shù)算法求得的質(zhì)量阻尼系數(shù)α和剛度阻尼系數(shù)β(×10-3),表中的殼1、殼2、殼3和殼4分別表示質(zhì)量比M1∶M2∶M3∶M4分別為1∶1∶1∶1、1∶2∶1∶1、1∶1∶2∶1和1∶2∶3∶4的K8網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),對(duì)于文獻(xiàn)[13-14]算法,表中給出了各網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)在Kobe波作用下得到的阻尼系數(shù)。

表2 基于不同算法的K8單層球面網(wǎng)殼阻尼系數(shù)比較

選取球面第1環(huán)的8個(gè)節(jié)點(diǎn)和該環(huán)的8根桿件進(jìn)行計(jì)算,圖8給出了殼1、殼4節(jié)點(diǎn)位移誤差和桿件內(nèi)力誤差的比較結(jié)果。

圖8 在Taft、Kobe兩種地震波作用下基于不同算法的K8單層球面網(wǎng)殼響應(yīng)誤差比較

由圖8可知,對(duì)于網(wǎng)殼結(jié)構(gòu),基于本文瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用算法、文獻(xiàn)[13-14]算法和文獻(xiàn)[15]算法求得的節(jié)點(diǎn)位移誤差和桿件內(nèi)力誤差均較小,未出現(xiàn)類似塔式結(jié)構(gòu)誤差顯著的現(xiàn)象。其原因?yàn)榫W(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件之間沒有通過鋼筋混凝土樓板相連,理論上局部振動(dòng)可以是獨(dú)立的。此外,在利用文獻(xiàn)[13-14]算法時(shí),取了前100階振型,累計(jì)求得600個(gè)偽速度反應(yīng)譜,在用本文實(shí)用算法時(shí),累計(jì)求得400個(gè)地震影響系數(shù)。

5 結(jié)論

1)結(jié)合應(yīng)變能響應(yīng)計(jì)算公式和SRSS多維組合法,構(gòu)建了振型阻尼比變化量平方的新型權(quán)重因子,并提出了能合理考慮多階振型和多維地震作用對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)影響的瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法。

2)基于瑞利阻尼系數(shù)實(shí)用計(jì)算方法得到的帶樓板塔式結(jié)構(gòu)和不帶樓板網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)誤差均較小,且相比已有基于應(yīng)變能響應(yīng)的瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法,計(jì)算過程更簡(jiǎn)便,應(yīng)用更方便。