平面幾何入門教學(xué)策略淺談

■袁冬華

平面幾何是整個(gè)幾何學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的必要途徑。學(xué)生剛剛步入初中階段，正經(jīng)歷從數(shù)到形、從運(yùn)算到推理的轉(zhuǎn)變，尤其是學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)對(duì)象的變化，導(dǎo)致學(xué)生感覺幾何學(xué)習(xí)困難重重。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生入門一直是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。多年來，筆者在平面幾何入門教學(xué)方面做了一些嘗試和探索，以供大家參考。

一、重視生活經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)幾何直觀

幾何直觀是指在解題的過程中，運(yùn)用圖表進(jìn)行問題分析和描述。教師采用幾何直觀的方式，可將抽象問題形象化，幫助學(xué)生厘清解決問題的思路。在平面幾何入門教學(xué)中，教師要先讓學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)有一定的感性理解，然后在題目分析的基礎(chǔ)上，通過對(duì)所給幾何圖形的位置關(guān)系、形狀大小等進(jìn)行具體分析，逐級(jí)逐步抽象出本質(zhì)特征，舍棄非本質(zhì)特征。

例1 如圖1，已知∠AOC和∠BOD都是直角。

（1）在∠DOC=30°的情況下，∠AOB是多少度？

（2）在圖中還有哪些角是相等的？如果∠DOC≠30°，它們還仍然相等嗎？

（3）如 果∠DOC度 數(shù) 減 小 了，那 么∠AOB的大小會(huì)發(fā)生什么變化？

例1 的設(shè)計(jì)主要是依照學(xué)生的心理活動(dòng)順序來進(jìn)行的，從特殊到一般，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。在解答問題（2）時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所給的不變的角，來對(duì)變化的角度關(guān)系進(jìn)行研究；對(duì)于問題（3），不僅要指出變化的規(guī)律，還要解釋該規(guī)律成立的原因，這恰好利用幾何直觀的支架，感受空間觀念的合理設(shè)計(jì)。教師在分析和解答的過程中，要幫助學(xué)生深入探究問題，抓住圖形的本質(zhì)，提升他們的幾何直觀能力和推理能力。

二、重視教學(xué)語言，強(qiáng)調(diào)精準(zhǔn)表達(dá)

1.字斟句酌，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何概念、定理的理解

在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，幾何概念、定理是重要的基礎(chǔ)知識(shí)。在進(jìn)行相關(guān)概念及定理的教學(xué)過程中，教師要一字一句地講解，對(duì)于核心的字句重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，在黑板上用不同顏色的粉筆畫出；在反饋環(huán)節(jié)，盡量采用選擇題和判斷題的方式來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念及定理的理解。比如，教授“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”時(shí)，教師可以提醒學(xué)生對(duì)比“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”，用不同顏色的粉筆在黑板上進(jìn)行重點(diǎn)標(biāo)記，在“直線外”這三個(gè)字下方畫波浪線，同時(shí)把“外”字進(jìn)行重點(diǎn)圈出，幫助學(xué)生正確區(qū)分這兩個(gè)基本事實(shí)。

2.關(guān)注符號(hào)語言、圖形語言、文字語言之間的轉(zhuǎn)化

在平面幾何的入門學(xué)習(xí)階段，學(xué)生對(duì)圖形的了解僅是圖形的直觀性認(rèn)識(shí)，對(duì)于圖形的表示方法還沒有進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)，也很難進(jìn)行幾何圖形的推理以及相關(guān)的語言表達(dá)。因此，教師要根據(jù)圖形特征，幫助學(xué)生理解幾何常用語，正確理解文字語言的圖形表達(dá)，逐步引導(dǎo)學(xué)生將文字語言翻譯成圖形語言及符號(hào)語言。在實(shí)際教學(xué)中，教師可通過填寫規(guī)范句培養(yǎng)學(xué)生幾何語言的運(yùn)用能力，重點(diǎn)讓學(xué)生通過自身對(duì)于圖形的感受、練習(xí)題目的實(shí)踐來對(duì)圖形的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行全面的把握。

例如，“線段的中點(diǎn)”三種語言相互轉(zhuǎn)化：

文字語言：點(diǎn)M把線段AB分成兩條相等的線段AM和MB，點(diǎn)M叫作線段AB的中點(diǎn)。

三、重視圖形教學(xué)，強(qiáng)調(diào)畫圖識(shí)圖

平面幾何中的圖形主要由一些基本圖形組成，教師可以運(yùn)用多媒體或者實(shí)物操作等手段讓學(xué)生直觀地感受圖形平移、軸對(duì)稱以及旋轉(zhuǎn)等變化，全面了解幾何圖形的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱的美，體會(huì)圖形之間的變化美，提升學(xué)習(xí)興趣。

在研究平面幾何問題時(shí)，準(zhǔn)確、清晰地畫圖、識(shí)圖可以幫助學(xué)生更快地找到解題思路。畫圖雖說是技能問題，但更需要教師的悉心指導(dǎo)。教師在指導(dǎo)學(xué)生畫圖時(shí)，應(yīng)做到一邊示范畫圖，一邊精心講解，對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤可采取個(gè)別指導(dǎo)和全班講解相結(jié)合的方法，培養(yǎng)學(xué)生依照數(shù)學(xué)語言或者文字語言來畫相關(guān)圖形的能力。例如，畫圖時(shí)不能把問題所需要的一般圖形畫成特殊圖形，相等的幾何量看上去差異不能太大，要在畫出的圖形上標(biāo)注題目中已知的信息等。

教師還要重視和加強(qiáng)學(xué)生圖形識(shí)別能力的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，教師首先要結(jié)合題意準(zhǔn)確畫出幾何圖形，培養(yǎng)學(xué)生從文字、圖形中去直觀收集信息的思維習(xí)慣。比如看到兩條直線平行，學(xué)生在腦海中會(huì)立即浮現(xiàn)平行線性質(zhì)的相關(guān)概念。其次，在對(duì)復(fù)雜圖形的講解過程中，教師可以用彩色粉筆對(duì)復(fù)雜的圖形進(jìn)行描繪，幫助學(xué)生精準(zhǔn)判斷和識(shí)別，既要關(guān)注基本圖形的縱向拓展，又要關(guān)注基本圖形的橫向聯(lián)系。

四、重視推理教學(xué)，強(qiáng)調(diào)邏輯論證

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，一般包括演繹推理與合情推理。幾何推理是初學(xué)者不容易掌握的一個(gè)內(nèi)容。在教學(xué)時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生采用這樣的過程: 要證明什么→所需要的條件有哪些→題目中能夠得到哪些→除此之外還需要哪些條件→如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這些思路練習(xí)能夠有效提升學(xué)生的幾何推理能力，培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)的思維習(xí)慣，從而養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。

例2 如圖2，∠1=∠2，∠A=∠C，求證：AE//BC。

圖2

利用所學(xué)知識(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考在什么條件下可以得到兩條直線平行。要求證AE//BC，觀察圖形，發(fā)現(xiàn)AE、BC被DC所截，∠3 與∠C是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，如果能說明∠3=∠C，問題就迎刃而解了。但題目中沒有給出∠3=∠C，因此，考慮用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由∠1=∠2，可以得到AB//CD，進(jìn)而推出∠A=∠3，因?yàn)椤螦=∠C，等量代換就可得∠3=∠C，從而推導(dǎo)出AE//BC。

上述問題雖然簡(jiǎn)單，但教師要給學(xué)生提供有條理的思維表達(dá)方式，逐步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和能力。教師要結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，用“因?yàn)椤浴眮黹_展相關(guān)的推理，幫助學(xué)生進(jìn)行“因”與“果”的關(guān)系的理解，讓學(xué)生從“會(huì)思考”，到“會(huì)表達(dá)”，再到“會(huì)書寫”。因此，在平面幾何學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生首先要認(rèn)識(shí)線段的和差關(guān)系、角度的和差關(guān)系，理清步驟之間的邏輯關(guān)系，用填充形式規(guī)范推理過程。此外，針對(duì)學(xué)生作業(yè)中推理錯(cuò)誤的地方，教師要及時(shí)組織學(xué)生分析和討論，培養(yǎng)學(xué)生講道理、有條理的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。

五、重視方法提煉，強(qiáng)調(diào)思想滲透

新課標(biāo)要求以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，讓學(xué)生能夠?qū)W習(xí)相關(guān)的基本技能及基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)獲得基本經(jīng)驗(yàn)以及基本思想（簡(jiǎn)稱“四基”）。然而，數(shù)學(xué)基本思想的形成需要在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)、理解以及運(yùn)用的過程中開展，這是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的概括與抽象。教師可以鼓勵(lì)學(xué)生參加相關(guān)的課題活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和合作學(xué)習(xí)，從而漸漸地對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行感悟?qū)W習(xí)。

例如，在教授“線段和角”時(shí)，教師要滲透類比思想。類比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種常用思維方法，是指在兩個(gè)或多個(gè)問題中，能夠抓住問題的共性，用同一種方法，或同一種思維形式去解決這些問題，這樣就會(huì)使所學(xué)的知識(shí)形成體系，達(dá)到事半功倍的效果。比如通過角的學(xué)習(xí)類比線段的學(xué)習(xí)，從圖形、概念、性質(zhì)、度量、作圖等環(huán)節(jié)開展研究。在具體解題時(shí)還會(huì)遇到：數(shù)角和數(shù)線段的類比，角的平分線和線段的中點(diǎn)的類比等。分類也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常用到的一種數(shù)學(xué)思想。教師在教學(xué)活動(dòng)中，要讓學(xué)生逐步感受為什么要分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，通過反復(fù)思考和不斷積累，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

六、重視興趣培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)積極主動(dòng)

在平面幾何入門教學(xué)開展過程中，教師和學(xué)生要時(shí)刻互動(dòng)。學(xué)生是課堂的主體，教師是課堂的組織者、引導(dǎo)者。學(xué)生的學(xué)習(xí)是主動(dòng)思考、認(rèn)真實(shí)踐、自主探索發(fā)展的過程；教師的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。例如，教師可以通過對(duì)平面幾何章頭圖的閱讀分析，引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)他們所熟悉的幾何圖形，運(yùn)用現(xiàn)實(shí)生活素材，精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，體驗(yàn)生活中的圖形，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣，開闊學(xué)生的視野，提升核心素養(yǎng)。

總之，平面幾何入門教學(xué)中，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的幾何訓(xùn)練，著力攻破概念、語言、圖形和推理論證四大難關(guān)，逐步使學(xué)生形成技能，掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。課后教師可以通過問卷調(diào)查、面批作業(yè)、個(gè)別談話等方法，了解學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的具體問題，根據(jù)問題進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整，進(jìn)而使教學(xué)具有針對(duì)性。教師只有深入領(lǐng)悟教材，從學(xué)情出發(fā)，逐步引導(dǎo)，才能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入絢麗多彩的幾何大門，學(xué)好平面幾何。