結(jié)合三次樣條插值函數(shù)的地鐵地表沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)模型

蘇超威，丁克良，2，周命端，2，劉 淼

(1．北京建筑大學(xué)測(cè)繪與城市空間信息學(xué)院，北京100044;2．現(xiàn)代城市測(cè)繪國家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044)

一、引 言

地表沉降監(jiān)測(cè)是地鐵變形監(jiān)測(cè)中一項(xiàng)重要的監(jiān)測(cè)內(nèi)容，其目的是為了保障地鐵施工及運(yùn)營管理的安全，通過沉降監(jiān)測(cè)發(fā)現(xiàn)沉降異常和安全隱患［1］。鑒于地鐵地表沉降監(jiān)測(cè)干擾因素多，安全隱患大，應(yīng)嚴(yán)格按照規(guī)范測(cè)量。沉降監(jiān)測(cè)過程中，單次測(cè)量一般不超限，符合測(cè)量規(guī)范，然而隨著時(shí)間的增加，變形速率的不確定性導(dǎo)致累計(jì)沉降量可能變化很大，容易出現(xiàn)突發(fā)事故，因此，必須要做好地表沉降監(jiān)測(cè)工作，對(duì)沉降趨勢(shì)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)，為安全施工提供數(shù)據(jù)支撐。

本文針對(duì)某地鐵工程在施工期間進(jìn)行地表沉降監(jiān)測(cè)，采用拓普康DL-501電子水準(zhǔn)儀進(jìn)行二等水準(zhǔn)測(cè)量，經(jīng)內(nèi)業(yè)平差處理獲得了多天的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)資料，運(yùn)用Matlab語言編寫三次樣條插值函數(shù)擬合外推預(yù)測(cè)程序，并針對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)量和時(shí)間間隔兩種因素建立了兩種不同的預(yù)測(cè)模型，對(duì)比分析插值擬合和外推預(yù)測(cè)的精度。

二、三次樣條插值函數(shù)原理

三次樣條插值函數(shù)是最常用的插值曲線擬合函數(shù)，其良好的收斂性、可靠的穩(wěn)定性以及具有二階光滑度等優(yōu)點(diǎn)使其在函數(shù)逼近、微積分和微分方程等科學(xué)計(jì)算中應(yīng)用廣泛，在工程數(shù)據(jù)處理中也起到非常重要的作用。

若函數(shù)S(x)∈C2[ a，b]，且在每個(gè)小區(qū) 間[ xj，xj+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b是給定節(jié)點(diǎn)，則稱S(x)是節(jié)點(diǎn)x0，x1，x2，…，xn上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)xj上給定函數(shù)值yj=f(xi)(j=0，1，…，n)，并成立S(xj)=yj(j=0，1，2，…，n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)［3-6］。

常見的三次樣條插值函數(shù)邊界條件有3種情況［3-6］

三、應(yīng)用實(shí)例

為分析三次樣條插值函數(shù)應(yīng)用于地鐵地表沉降監(jiān)測(cè)的預(yù)報(bào)精度情況，利用某地鐵沿線地表沉降監(jiān)測(cè)某M點(diǎn)的部分實(shí)測(cè)觀測(cè)資料為例，運(yùn)用Matlab編程，分別從相同時(shí)間間隔且不同觀測(cè)數(shù)據(jù)量和相同觀測(cè)數(shù)據(jù)量且不同時(shí)間間隔兩種情況建立3種不同的沉降監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型［7-9］，并進(jìn)行對(duì)比分析。某M點(diǎn)的部分實(shí)測(cè)沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)見表1。

表1 某M點(diǎn)的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)資料

為分析相同時(shí)間間隔、不同觀測(cè)數(shù)據(jù)量構(gòu)建的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型在地表沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)中內(nèi)插與外推的預(yù)測(cè)精度及效果，本文采用時(shí)間間隔為5天、觀測(cè)數(shù)據(jù)量分別為30天和60天的沉降觀測(cè)資料建立兩種不同的預(yù)報(bào)模型(依次簡(jiǎn)記為預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一和預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二)，利用三次樣條插值函數(shù)方法對(duì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)。

預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一:當(dāng)采用時(shí)間間隔為5天，且觀測(cè)數(shù)據(jù)量具有30天的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型時(shí)，內(nèi)插第23天M點(diǎn)的地表沉降量以及外推第2天和第4天(即第32天和第34天)M點(diǎn)的地表沉降量，將獲得的第23天及第32天和第34天的地表預(yù)測(cè)沉降量分別與其對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

建立的Matlab預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一代碼如下:

t=［0，5，10，15，20，25，30］;

H=［0，2．200，7．016，6．963，1．237，－4．721，－10．415］;

New_t=0:5:35;

New_H=spline(t，H，New_t);

plot(t，H，'－－o'，New_t，New_H);

應(yīng)用Matlab編程建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一運(yùn)行結(jié)果如圖1所示，其中，內(nèi)插第85天和外推第5天(即第155天)M點(diǎn)地表預(yù)測(cè)沉降量與實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析結(jié)果見表2所示。

表2 間隔10天、累計(jì)觀測(cè)30天的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

圖1 間隔5天、累計(jì)觀測(cè)30天的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一運(yùn)行結(jié)果

預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二:當(dāng)采用時(shí)間間隔為5天，且觀測(cè)數(shù)據(jù)量具有60天的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型時(shí)，內(nèi)插第23天M點(diǎn)的地表沉降量以及外推第2天和第4天(即第62天和第64天)M點(diǎn)的地表沉降量，將獲得的第23天及第62天和第64天的地表預(yù)測(cè)沉降量分別與其對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

建立的Matlab預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二代碼如下:

t=［0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60］;

H=［0，2．200，7．016，6．963，1．237，－4．721，－10．415，－14．463，－17．691，－19．544，－21．383，－23．372，－24．819］;

New_t=0:5:65;

New_H=spline(t，H，New_t);

plot(t，H，'－－o'，New_t，New_H);

應(yīng)用Matlab語言編程建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二運(yùn)行結(jié)果如圖2所示，其中，內(nèi)插第23天和外推第2天和第4天(即第62天和第64天)M點(diǎn)地表預(yù)測(cè)沉降量與實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析結(jié)果見表3。

表3 間隔5天、累計(jì)觀測(cè)60天的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

圖2 間隔5天、累計(jì)觀測(cè)60天的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二運(yùn)行結(jié)果

對(duì)比表2和表3中的殘差量可以看出，當(dāng)采用相同時(shí)間間隔(d=5天)、不同觀測(cè)數(shù)據(jù)量(dd=30天和60天)所建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一和預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二分別進(jìn)行內(nèi)插擬合及外推預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)時(shí)，不論是針對(duì)第23天的內(nèi)插擬合精度測(cè)還是針對(duì)外推第2天和第4天的預(yù)報(bào)效果，預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)模型二略優(yōu)于預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一。

在對(duì)比分析預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型一與預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二的內(nèi)插擬合精度和外推預(yù)報(bào)效果的基礎(chǔ)上，為分析不同時(shí)間間隔、相同觀測(cè)數(shù)據(jù)量構(gòu)建的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型在地表沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)中內(nèi)插與外推的預(yù)測(cè)精度及效果，本文采用時(shí)間間隔為10天、觀測(cè)數(shù)據(jù)量為60天的沉降觀測(cè)資料建立預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型，利用三次樣條插值函數(shù)方法對(duì)沉降量進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)，便于與預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型二進(jìn)行比對(duì)分析。

預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型三:當(dāng)采用時(shí)間間隔為10天且觀測(cè)數(shù)據(jù)量具有60天的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)建立預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型時(shí)，內(nèi)插第23天M點(diǎn)的地表沉降量以及外推第2天和第4天(即第62天和第64天)M點(diǎn)的地表沉降量，將獲得的第23天、第62天和第64天的地表預(yù)測(cè)沉降量分別與其對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

建立的Matlab預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型三代碼如下:

t=［0，10，20，30，40，50，60］;

H=［0，7．016，1．237，－10．415，－17．691，－21．383，－24．819］;

New_t=0:10:65;

New_H=spline(t，H，New_t);

plot(t，H，'－－o'，New_t，New_H);

應(yīng)用Matlab語言編程建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型三運(yùn)行結(jié)果如圖3所示，其中，內(nèi)插第23天和外推第2天和第4天(即第62天和64天)M點(diǎn)地表預(yù)測(cè)沉降量與實(shí)測(cè)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比分析結(jié)果見表4。

對(duì)比表3和表4中的殘差量可以看出，當(dāng)采用相同觀測(cè)數(shù)據(jù)量(dd=60天)、不同時(shí)間間隔(d=5天和10天)所建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型進(jìn)行內(nèi)插擬合及外推預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)時(shí)，不論是針對(duì)第23天的內(nèi)插擬合精度測(cè)還是針對(duì)外推第2天和第4天的預(yù)報(bào)效果，預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)模型二略優(yōu)于預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型三。

表4 間隔10天、累計(jì)觀測(cè)60天的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

圖3 間隔10天、累計(jì)觀測(cè)60天的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型運(yùn)行結(jié)果

為綜合比對(duì)分析顧及觀測(cè)數(shù)據(jù)量和時(shí)間間隔兩種因素所構(gòu)建的3種不同的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型的內(nèi)插擬合精度和外推預(yù)報(bào)效果，將3種模型的內(nèi)插擬合和外推預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)測(cè)值之比較的殘差量分析如圖4所示。

從圖4可以看出，3種模型在內(nèi)插擬合精度上均優(yōu)于外推預(yù)報(bào)精度;3種模型無論是從內(nèi)插擬合精度上還是外推預(yù)報(bào)效果上可以看出，模型二為略優(yōu);另外，從外推預(yù)報(bào)殘差量的比較分析可發(fā)現(xiàn)，外推2天的預(yù)報(bào)精度效果略高于外推第4天的。

圖4 3種模型預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)測(cè)值之殘差量比較分析

四、結(jié)束語

本文利用三次樣條插值函數(shù)，基于Matlab編程建立了3種不同的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型，以某地鐵地表沉降監(jiān)測(cè)特征點(diǎn)M為例進(jìn)行累計(jì)沉降數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)分析，分別從相同時(shí)間間隔且不同觀測(cè)數(shù)據(jù)量的內(nèi)插擬合與外推預(yù)測(cè)、相同觀測(cè)數(shù)據(jù)量且不同時(shí)間間隔的內(nèi)插擬合與外推預(yù)測(cè)兩種情況建立了3種不同的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型并作了對(duì)比分析。應(yīng)用實(shí)例表明:3種不同的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型在內(nèi)插擬合精度上均優(yōu)于外推預(yù)報(bào)精度;3種模型無論是從內(nèi)插擬合精度上還是外推預(yù)報(bào)效果上可以看出，具有短時(shí)間間隔且長時(shí)間累積觀測(cè)數(shù)據(jù)所建立的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)模型(如模型二)為略優(yōu);另外，從外推預(yù)報(bào)殘差量的比較分析可表明，外推天數(shù)短的預(yù)報(bào)精度效果略高于外推天數(shù)長的。

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