基于線性規(guī)劃模型鋼材下料問題最優(yōu)切割方案研究

田 飛，符學(xué)勇

（海南經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？冢?/p>

隨著鋼鐵行業(yè)降本增效的日益深入, 在鋼材切割下料過程中有效提高鋼材利用率, 是每一個企業(yè)提高經(jīng)濟效益降低成本的重要途徑。因而,關(guān)于鋼材下料問題的研究越來越得到各施工企業(yè)的重視, 也是國內(nèi)外學(xué)者備受關(guān)注的熱點問題, 他們針對下料問題嘗試使用線性規(guī)劃法、分支定界法、動態(tài)規(guī)劃法、啟發(fā)式算法、模擬退火算法、遺傳算法、演化算法等[1-5]選擇最佳排樣切割方案,提高鋼材利用率,節(jié)省鋼材,降低產(chǎn)品的生產(chǎn)成本。韓丹[6]開發(fā)了鋼結(jié)構(gòu)產(chǎn)品排樣系統(tǒng),系統(tǒng)可以快速從數(shù)據(jù)庫中匹配出最符合產(chǎn)品尺寸的材料板材,然后提供高質(zhì)量的排樣方案。李寧[7]通過計算機輔助編程提高切割效率和切割質(zhì)量。胡偉[8]通過新技術(shù)的手段深挖節(jié)材空間,來減少機加工切削余量,降低調(diào)質(zhì)熱處理的能耗,對后道工序降本。田雙[9]針對單一規(guī)格的一維下料問題, 建立一維下料問題的多目標數(shù)學(xué)模型,并闡述了求解該類問題的主要思路。鞠云鵬[10]針對二維矩形板件排板利用率問題, 提出了一種矩形板件優(yōu)化組合的排板算法。

目前國內(nèi)對該問題的研究大多數(shù)關(guān)注點是在計算機編程算法上,或者是較為簡單的一維下料問題。而我們的研究視角是根據(jù)訂單需求, 滿足不同情況下的下料問題。不同的下料策略, 通過逐級優(yōu)化和組合原理,建立了不同的線性規(guī)劃模型,確定了最優(yōu)的切割方式。

1 問題及數(shù)據(jù)來源

問題及數(shù)據(jù)來源于2021 年第十一屆MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽D 題“鋼材制造業(yè)中的鋼材切割下料問題”[11]。需要解決以下問題:

(1) 對工廠所有的原料,使用最少的張數(shù),滿足對5 種卷料的要求(不考慮浮動比例)并盡量提高總的成材率,給出切割方案。

(2) 對工廠所有的原料,使用最少的張數(shù),滿足對所有訂單的要求(不考慮浮動比例)并盡量提高總的成材率,給出切割方案。

2 模型的建立與求解

2.1 問題1

在此問題中不考慮切割設(shè)備與鋼板之間的摩擦等損耗、鋼材原料厚度和切割的刀片厚度,假設(shè)設(shè)備排刀架上可以以任意間距排刀。按照零件的需求量,進行幾種成品的配套優(yōu)選,從而得出最佳下料方案。

2.1.1 按照零件需求量, 進行幾種成品的配套優(yōu)選建立數(shù)學(xué)模型

STEP1 對余料長度方向上建立約束條件:

STEP4 使用新易優(yōu)化板材切割系統(tǒng)計算統(tǒng)計得出最佳切割方案。一共需要排12 次刀,第1 次排刀使用材料1,可切割出訂單一1 塊,訂單二0 塊,訂單三4塊,訂單四10 塊,訂單五0 塊；第2 次排刀使用材料1,可切割出訂單一6 塊,訂單二2 塊,訂單三0 塊,訂單四0 塊,訂單五4 塊,以后以此類推,1～12 次切割方案詳見表1。

表1 問題1 鋼材切割下料的12 種最佳排刀方案

STEP5 建立總切割次數(shù)最少的線性規(guī)劃模型:

其中:pi表示編號為i 的原料；Rj表示第j 種排刀切割的次數(shù)；Y 表示總切割次數(shù)。

使用新易優(yōu)化板材切割系統(tǒng)對模型(4)進行求解,得出每種材料的使用情況詳見表2。

表2 問題1 每種原材料使用情況

STEP6 通過新易優(yōu)化板材切割軟件的“原片剩料”功能,列舉出所有余料,并按照余料標準(a.長度不小于50 000 cm,且寬度不小于100 cm;b.長度和寬度,其中一個不小于2 000 cm, 另一個不小于1 000 cm，滿足其一即可), 判斷每份余料是否滿足余料回庫要求,并計算出余料面積總和。余料可回收情況如表3 所示。

表3 問題1 余料可回收情況

由表3 可知:可回庫余料總面積H1:100994728.6389 cm2。

STEP7 計算成材率

其中:V 表示原材料的成材率;Fj表示訂單j 的面積;Hi表示總可回收的余料面積。

2.1.2 結(jié)論

對于問題1, 在考慮到使用最少張數(shù)的原材料并盡量提高總的成材率的情況下,按照訂單需求量,建立線性規(guī)劃模型,得出12 種最佳排刀方案、每種方案的切割次數(shù)、原材料的使用情況、余料可回收情況以及并算出成材率。

2.2 問題2

問題2 與問題1 相比增加了訂單需求以及原材料種類,由于未涉及卷料和板料在剪切臺上工作差異,所以參照問題1 的模型更改訂單需求, 重新計算求出最佳方案。

2.2.1 按照零件需求量,利用問題1 的數(shù)學(xué)模型,計算切割方案

STEP1 再次利用問題1 中數(shù)學(xué)模型(1)-(3),通過新易優(yōu)化板材切割系統(tǒng)計算得出最佳切割方案, 一共需要排17 次刀,即:切割17 次,第1 次切割使用材料1,切割出訂單一3 個,訂單三4 個,訂單四6 個,訂單六3個,訂單七16 個,訂單十1 個,訂單十一2 個,訂單十三2 個,訂單十四22 個,第1～17 次切割方案詳見表4。

表4 問題2 鋼材切割下料的17 種排刀方案

STEP2 使用新易優(yōu)化板材切割系統(tǒng)對模型(4)進行重新求解, 針對問題2 得出每種材料的使用情況詳見表5。

表5 問題2 每種原材料使用情況

表6 問題2 的余料可回收情況

因此,可回庫余料總面積H2:128192220.829 cm2。

STEP4 計算成材率為:

2.2.2 結(jié)論

由于問題2 中僅增加了訂單的數(shù)量, 比問題1 中多出十種板料,其他條件不變,按照問題1 中的方法解決,得出17 種排刀方案、每種原材料使用情況、余料回收情況并算出成材率。

3 結(jié)論

針對鋼材切割下料兩個具體問題, 建立了線性規(guī)劃模型,得出較優(yōu)的切割方案,該方案有效地避免了大材小用,小材浪費的情況,大大提高了鋼材的成材率,為企業(yè)降低了生產(chǎn)成本。該模型也可以推廣到其他客戶訂單中使用,只要修改原材料和訂單數(shù)據(jù)即可。