分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的鋰電池SOC估算

安治國(guó),周志鴻,伍柏霖

(重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院, 重慶 400074)

0 引言

隨著環(huán)境污染和石油資源的枯竭,新能源的開(kāi)發(fā)引起了世界各國(guó)的重視,電動(dòng)汽車發(fā)展迅速,動(dòng)力電池儲(chǔ)能技術(shù)成為研究熱點(diǎn)[1-2]。鋰離子電池由于其零排放、能量密度高、安全性能好且循環(huán)壽命長(zhǎng)成為電動(dòng)汽車的首選能源[3]。電池管理系統(tǒng)可以對(duì)電池能量進(jìn)行有效管理并防止電池過(guò)充過(guò)放,同時(shí)可以防止電池溫度異常產(chǎn)生安全性問(wèn)題。電池電荷狀態(tài)(SOC)是表征剩余電池容量的一個(gè)重要指標(biāo),是電池管理系統(tǒng)對(duì)電池進(jìn)行有效監(jiān)控和管理的重要參數(shù)之一,因此,對(duì)電池SOC的精確估算有著重要的意義[4-5]。

目前,許多學(xué)者對(duì)鋰離子電池SOC估算做了大量的研究,提出了許多可行的方法。安時(shí)積分法計(jì)算簡(jiǎn)單,但對(duì)初值要求較高,容易產(chǎn)生誤差累計(jì)[6-7]。開(kāi)路電壓法需要長(zhǎng)時(shí)間的電池靜置,不適用于實(shí)際中的電池SOC在線估計(jì)[8]?？柭鼮V波算法是一種最小方差下對(duì)數(shù)據(jù)處理的算法,其基本思想是采用線性均方最小值準(zhǔn)則,結(jié)合測(cè)量數(shù)據(jù),通過(guò)遞歸方程更新各個(gè)參數(shù),從而得到線性系統(tǒng)狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)值。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法在工程上應(yīng)用較為廣泛,但其線性化過(guò)程導(dǎo)致大量精度缺失,需要較高的模型精度,才能達(dá)到很好的濾波作用[9]。

卡爾曼濾波算法的準(zhǔn)確性依賴于電池模型的精確性。常用的電池模型有電化學(xué)模型和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚10],電化學(xué)模型精度高,但由于模型復(fù)雜,辨識(shí)參數(shù)多且難以得到,在汽車電池管理系統(tǒng)中應(yīng)用較少;經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?用簡(jiǎn)單的電阻和電容元器件來(lái)描述電池內(nèi)部特性,參數(shù)較少且容易獲得,被廣泛應(yīng)用于車用鋰電池SOC估算領(lǐng)域。Macdonald[11]、Westerlund[12]及Tian[13]等發(fā)現(xiàn)電容及電池均具有分?jǐn)?shù)階性質(zhì)。傳統(tǒng)的等效電路模型為整數(shù)階模型,不能準(zhǔn)確地反應(yīng)電池內(nèi)部復(fù)雜的非線性特性。Monje等[14]發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)具有分?jǐn)?shù)特性,采用分?jǐn)?shù)階表達(dá)的系統(tǒng)更為精確。結(jié)合分?jǐn)?shù)階理論與擴(kuò)展卡爾曼濾波在一定程度上彌補(bǔ)了系統(tǒng)的缺陷,可以有效提高電池SOC估計(jì)精度。

本文針對(duì)鋰離子電池內(nèi)部復(fù)雜的非線性情況,采用二階分?jǐn)?shù)階電池等效電路模型,并應(yīng)用遺傳算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行辨識(shí),基于分?jǐn)?shù)階微積分理論建立分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法(FEKF)模型,并驗(yàn)證該SOC估算模型的有效性。

1 電池模型

1.1 電池等效電路模型

電池電化學(xué)阻抗譜(electrochemical impedance spectroscopy,EIS)測(cè)試通常是對(duì)電化學(xué)系統(tǒng)添加一個(gè)頻率不同的小振幅交流正弦電勢(shì)波,測(cè)量交流電勢(shì)與電流信號(hào)的比值(系統(tǒng)的阻抗)隨正弦波頻率ω的變化,或者是阻抗的相位角f隨ω的變化。采用EIS測(cè)試?yán)L制出的Nyquist圖描繪電池電化學(xué)阻抗譜,如圖1所示。圖1中阻抗的實(shí)部為橫軸,虛部為縱軸。高頻部分是由于尾部集流體引起的,阻抗譜曲線和軸線交點(diǎn)即表示為電池歐姆內(nèi)阻;中頻部分的弧線是由于電荷轉(zhuǎn)移現(xiàn)象和雙電層效應(yīng)引起的,通常用RC并聯(lián)電路來(lái)表示。但在傳統(tǒng)的等效電路模型中,理想電容的阻抗特性只有虛部而沒(méi)有實(shí)部,不能準(zhǔn)確地描述電池內(nèi)部固液交界處的雙電層效應(yīng),因此,用恒相位元件(CPE)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的理想電容可以提高模型的精度[15-16]。低頻部分曲線表現(xiàn)了鋰離子在固相中的擴(kuò)散現(xiàn)象,也可以用CPE元件表示。二階RC電路精度更優(yōu),適用于電池單體的估算[17-18]。

圖1 電池電化學(xué)阻抗譜Nyquist

圖2為電池分?jǐn)?shù)階等效電路模型,R1代表電荷轉(zhuǎn)移電阻,R2代表電化學(xué)極化電阻,CPE1與R1并聯(lián)代表電池雙電層效應(yīng),CPE2與R2并聯(lián)代表電池的擴(kuò)散效應(yīng),R0代表歐姆內(nèi)阻,UOCV代表開(kāi)路電壓,Ut代表端電壓。

圖2 電池分?jǐn)?shù)階等效電路模型

恒相位元件(CPE)是一種常見(jiàn)的電路元件,它在頻域內(nèi)的傳遞函數(shù)式定義如下：

(1)

式中：S=jω=j(2πf),f為工作頻率;α為彌散系數(shù)(0<α<1),它反映了電極雙電層偏離理想電容的性質(zhì);Y為導(dǎo)納常數(shù)。當(dāng)α=1時(shí),CPE元件表示一個(gè)理想電容;當(dāng)α=0時(shí),CPE元件表示一個(gè)電阻。

1.2 分?jǐn)?shù)階電池SOC估計(jì)模型

電池SOC計(jì)算公式為剩余電荷量與實(shí)際電荷量百分比[19-20],其定義式如下：

(2)

式中：ηc為電池充放電庫(kù)倫效率;CN為電池實(shí)際滿電時(shí)的容量;i(t)為電流時(shí)間函數(shù)。

分?jǐn)?shù)階微積分定義有多種形式,其中3種重要的定義形式分別為Grünwald-Letnikov(G-L)定義、Riemann-Liouville(R-L)定義和Caputo定義。此處選取(G-L)定義式[21-22]：

(3)

(4)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階電池模型和基爾霍夫電流電壓定律可以列出式(5)及式(6)：

(5)

VOCV(t)=VT(t)+IT(t)R0+

VCPE1(t)+VCPE2(t)

(6)

并聯(lián)RC電路的微分表達(dá)式為

(7)

SOC的微分表達(dá)式為：

(8)

由式(5)到式(8)可得電池模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(9)

(10)

(11)

VT(t)=VOCV(S(t))-IT(t)R0-

VCPE1(t)-VCPE2(t)

(12)

根據(jù)式(9)到式(12)寫(xiě)出分?jǐn)?shù)階等效電路模型的矩陣形式。

狀態(tài)方程為

(13)

輸出方程為

VT=VOCV(S)-ITR0-VCPE1-VCPE2

(14)

令τ1=R1C1,τ2=R2C2,根據(jù)式(3)及式(13),k+1時(shí)刻狀態(tài)方程可寫(xiě)成式(15)。

(15)

式(15)進(jìn)一步簡(jiǎn)化,η取1[23],可得式(16)：

(16)

狀態(tài)方程最終寫(xiě)為

(17)

yk+1=Cxk+1-R0uk+1+VOCV

(18)

1.3 FEKF估算流程

根據(jù)式(17)和式(18)可得：

(19)

式中：wk和vk+1分別表示k時(shí)刻和k+1時(shí)刻的過(guò)程噪聲和測(cè)量噪聲,兩者均為不相關(guān)的零均值高斯白噪聲。

對(duì)g(·)進(jìn)行線性化：

(20)

式(20)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

(21)

分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法步驟如表1所示。

表1 分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法步驟

式中：Qk、Rk分別是系統(tǒng)的過(guò)程噪聲協(xié)方差和測(cè)量噪聲協(xié)方差,I是單位矩陣。

2 電池模型參數(shù)辨識(shí)

2.1 R0識(shí)別

準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)于模型的估算精度至關(guān)重要,采用鋰電池內(nèi)阻測(cè)試儀對(duì)電池內(nèi)阻進(jìn)行測(cè)量。內(nèi)阻試驗(yàn)所用儀器為安柏AT521電池內(nèi)阻測(cè)試儀,如圖3所示,其電阻測(cè)試范圍為10～32 Ω,精確度為0.5%。分別測(cè)試了3種SOC(100%、50%和0%)狀態(tài)下的R0值,分別為1.94、2.02、2.05 mΩ,并求得其平均值,為2.00 mΩ。

圖3 試驗(yàn)設(shè)備

2.2 [R1、R2、CCPE1、CCPE2、m、n]參數(shù)辨識(shí)

遺傳算法(Genetic Algorithm)魯棒性和全局尋優(yōu)能力強(qiáng),適合多參數(shù)識(shí)別,流程如圖4所示。采用遺傳算法對(duì)電池的R1、R2、CCPE1、CCPE2、m和n進(jìn)行識(shí)別。

圖4 遺傳算法流程

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)定義如式(22),使端電壓估計(jì)值和測(cè)量端電壓的殘差平方和最小[24]。

(22)

適應(yīng)度函數(shù)定義如下：

(23)

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)越小時(shí),估計(jì)值和測(cè)量值越接近,則尋優(yōu)結(jié)果越好,適應(yīng)度函數(shù)值越大。設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)達(dá)到0.95時(shí),參數(shù)識(shí)別結(jié)束,輸出識(shí)別參數(shù)結(jié)果。

遺傳算法中所需的電壓數(shù)據(jù)可以根據(jù)混合脈沖功率性能測(cè)試(HPPC)試驗(yàn)進(jìn)行采集,具體過(guò)程為：以1C倍率對(duì)鋰電池進(jìn)行放電34 s,并靜置電池3 min;隨后,以0.75C倍率放電34 s,并靜置電池3 min;最后,再以1C倍率放電5 min,并靜置 3 min,重復(fù)執(zhí)行上述步驟9次,每個(gè)循環(huán)周期內(nèi)使電池放電10%SOC獲得其電壓及電流數(shù)據(jù)。對(duì)試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí),結(jié)果如表2。

表2 各參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

3 電池充放電試驗(yàn)與仿真分析

3.1 電池恒流放電試驗(yàn)

選用的電池為山東威能方形磷酸鐵鋰電池,電壓范圍2.5～3.65 V,容量40 Ah,截止電流2.6 A。電池充放電試驗(yàn)的環(huán)境溫度為25 ℃,充電設(shè)備為貝奇CH9800可編程智能充電器,負(fù)載精度為±(0.05%+0.03%FS),電壓分辨率為0.1 mV,電流的分辨率為0.1 mA。

電池放電試驗(yàn)步驟為：先將該電池充電至100%SOC后,靜置1 h;隨后,以1C電流放電至95%SOC,再將電池靜置1 h,記錄此時(shí)電池端電壓。重復(fù)上述過(guò)程20次,每個(gè)周期放電5%SOC,直至電池放電至截止放電電壓2.5 V。

通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)可以擬合出SOC-OCV關(guān)系圖,再由估算電壓插值得出電池SOC值,公式擬合的階數(shù)和精度會(huì)直接影響電池SOC估算結(jié)果的準(zhǔn)確性。再次將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù),采用9階多項(xiàng)式擬合,得式(24)。多項(xiàng)式系數(shù)如表3所示,曲線如圖5所示。

表3 多項(xiàng)式系數(shù)

圖5 電池SOC和OCV的關(guān)系

Uoc(SOC)=P1SOC9+P2SOC8+P3SOC7+

P4SOC6+P5SOC5+P6SOC4+

P7SOC3+P8SOC2+P9SOC1+P10

(24)

3.2 DST試驗(yàn)

對(duì)選取的電池進(jìn)行充放電測(cè)試,基于恒惠HSP-6015型直流充電設(shè)備、貝奇CH9812型放電設(shè)備在恒溫箱進(jìn)行試驗(yàn),如圖3所示。

參照手冊(cè)[25]設(shè)計(jì)DST試驗(yàn),具體試驗(yàn)步驟如表4所示。

表4 DST試驗(yàn)步驟

重復(fù)DST試驗(yàn)步驟6次,當(dāng)電壓放至截止電壓,試驗(yàn)結(jié)束。在試驗(yàn)設(shè)備輸入以上的試驗(yàn)步驟,并對(duì)其電流電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。所得的電壓及電流隨時(shí)間變化的曲線如圖6。

圖6 DST試驗(yàn)電流、電壓與時(shí)間的關(guān)系

3.3 結(jié)果及討論

從圖7、圖8及表5中可以看出,與整數(shù)階等效電路模型相比,分?jǐn)?shù)階電池模型估算的電壓對(duì)真值具有更好的跟隨性。從圖8可以看出,其穩(wěn)定性更優(yōu),且誤差均值、最大值和均方根值都小于傳統(tǒng)模型誤差,證明分?jǐn)?shù)階模型較整數(shù)階等效電路模型能更好地表達(dá)電池內(nèi)部非線性特性。

表5 電壓誤差均值和最大值

圖7 端電壓與電壓估計(jì)值對(duì)比

圖8 端電壓估計(jì)值誤差對(duì)比

從圖9、圖10及表6中可以看出,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波在DST工況下,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)SOC的估計(jì)更為精確。從圖10中可以看出,分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波的波動(dòng)更小,誤差均值、最大值和均方根值都小于擴(kuò)展卡爾曼濾波。證明,將分?jǐn)?shù)階理論結(jié)合到擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中,能有效地提升算法對(duì)SOC的估算精度。

表6 SOC值誤差均值和最大值

圖9 SOC真實(shí)值與估計(jì)值對(duì)比

圖10中,在仿真開(kāi)始,2種算法都出現(xiàn)尖峰,這是由電池放電時(shí)產(chǎn)生的極化現(xiàn)象導(dǎo)致,分?jǐn)?shù)階算法誤差峰值更低,且在零值附近小幅波動(dòng)。整數(shù)階算法的誤差在放電的周期明顯高于分?jǐn)?shù)階誤差,僅在臨近放電結(jié)束時(shí),誤差接近于零。在電池放電臨近結(jié)束時(shí),由于內(nèi)阻發(fā)生明顯變化,分?jǐn)?shù)階算法產(chǎn)生較大的誤差,這就表明分?jǐn)?shù)階算法對(duì)參數(shù)準(zhǔn)確度的依賴性高于整數(shù)階算法。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)汽車動(dòng)力電池的非線性特性進(jìn)行研究,從電池電化學(xué)阻抗譜圖中表現(xiàn)的性質(zhì)對(duì)電池等效電路模型進(jìn)行改進(jìn),提出了二階分?jǐn)?shù)階等效電路模型。采用遺傳算法對(duì)電池的參數(shù)進(jìn)行識(shí)別,并將試驗(yàn)與仿真相結(jié)合,對(duì)提出的分?jǐn)?shù)階電池模型和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)展卡爾曼濾波算法進(jìn)行驗(yàn)證對(duì)比,得到以下結(jié)論：

1) 用恒相位代替?zhèn)鹘y(tǒng)理想電容建立的二階分?jǐn)?shù)階等效電路模型能有效提高模型精確度,從而明顯提高SOC估算精度。

2) 與EKF相比,FEKF算法的SOC估算結(jié)果更接近真實(shí)值,波動(dòng)性更小、更穩(wěn)定,均方根誤差(RMSE)僅為0.24%。

3) 相對(duì)于整數(shù)階算法,分?jǐn)?shù)階算法誤差峰值更低,波動(dòng)幅度更小,在放電臨近結(jié)束時(shí),由于電池內(nèi)阻的變化,分?jǐn)?shù)階算法誤差增大。