緊支撐小波在Lebesgue空間中的表現(xiàn)

王凱城

(三明學(xué)院 信息工程學(xué)院,福建 三明 365004)

Lebesgue空間中小波基底的完備性與描述,一般使用兩種方法之間:使用Calderón-Zygmund算子(CZO)和使用Calderón-Zygmund分解定理(CZD)。一方面,使用CZO是通過提供平滑度和眾所周知的定理來使某些算子獲得LP有界的一種方法。這種獲得LP有界的方法被廣泛使用。至于小波基的取得,2016年宋亮等[1]多尺度多重解析構(gòu)建雙正交小波,須求條件為有限頻率與時間域平滑性。張靜等[2]使用雙向細(xì)分方程與雙向小波,對多尺度函數(shù)的逼近階作了介紹。陳清江等[3]構(gòu)造多尺度雙向向量值小波,須求條件為小波須為緊支撐。

Kumar[4-7]在2009—2014年間,發(fā)表一系列的特定小波詮釋算子的有界性的文章,專門介紹空間的緊致性與算子的有界性,藉由成熟的CZO技術(shù),取得相當(dāng)多的成果。可是,使用CZO,不可避免小波必定要有平滑性。而相關(guān)算子的有界性,需要具備平滑性條件取得,更遑論空間的緊致性的取得。

本文的目的并不著重在于小波基底的取得,而是對于一群特殊的小波基底——緊致小波正交基底,使用CZD,說明他們在Lebesgue空間中具有完備性。 并且不需要額外具備其他的條件。

1 基本背景和符號

定理1在Banach空間中給定序列{xn}。 以下是等價的。

(a)∑xn無條件收斂;

(c)∑λnxn對于標(biāo)量{λn}的每個有界序列收斂。

可測函數(shù)f屬于W(L∞,l1),如果滿足

導(dǎo)致并將f∈Lp(),對于所有 1≤p≤∞

令Q是從映射LP()到Lq(),對于所有1≤p,q≤+∞。那么Q的類型為(p,q),如果‖Q(f)‖q≤A‖f‖p,f∈Lp(),其中,A不依于f。同樣,Q是弱類型(p,q),如果

其中,A不依于f或α; 而m是Lebesgue測度。注意到(p,q)類型的運(yùn)算也是弱(p,q)。更多詳細(xì)資訊可在參考文獻(xiàn)[8]中找到。

稱{ψi:i∈}為L2()的框架,如果存在兩個常數(shù)使得

如果A=B,稱這是一個緊框架(tight frame)。請注意框架不一定線性無關(guān)。

定義的{ψi:i∈}框架算子S為

其中的每一個f∈L2()皆可分解成

該序列在L2()中無條件收斂。 {S′ψi:i∈}被稱為{ψi:i∈}的規(guī)范對偶,而每一個框架都有自己的規(guī)范對偶。T稱為{ψi:i∈}的預(yù)框架,被定義為

T:l2()→L2(),

S和S-1是類型(2,2),有界的,自伴,正定,并且可逆在L2()。}也是L2()中的一個框架。 緊框架的規(guī)范對偶}為}。 在L2()的正交基底即為緊框架在L2()。

接下來轉(zhuǎn)向小波(wavelet)。在本文中,使用以下符號

ψj,k(x):=DjTkψ(x)=2j/2ψ(2jx+k)。

其中,Dj(·)(x):=2j/2(·)(2jx),Tk(·)(x):=(·)(x+k).在L2(),由ψ生成的仿射小波框架系統(tǒng)定義為{ψj,k:j,k∈},也是L2()的框架。 在L2()的仿射小波正交基底即為緊框架在L2()。 特別的是,仿射小波正交基底需要具備線性無關(guān),并且其規(guī)范對偶與原正交基底結(jié)構(gòu)一致。

相關(guān)于本文中,小波上的限制有以下幾點(diǎn),需要注意。 一般來說,小波函數(shù)ψ須屬于L2(),并且?ψ=0。 緊支撐的小波不可能符合無窮多次可導(dǎo)。

2 結(jié)果及其證明

以下是CZD與目標(biāo)算子特殊的設(shè)計。對于所有f∈L1∩L2()和α>0,存在一個集合Ω?2,這樣間隔{Im,n}(m,n)∈Ω不相交,Im,n:=[2-mn,2-m(n+1)),|f(x)|≤α,對于幾乎所有F:=∪(m,n)∈ΩIm,n,以及所有(m,n)∈Ω中,α<2m?Im,n|f|≤ 2α。因此,∑(m,n)∈Ωα2-m<‖f‖1。

設(shè)Fψ:={ψj,k:j,k∈}是仿射緊支撐(compactly supported)小波正交基底系統(tǒng),并且因?yàn)镕ψ正交在L2(),所以<ψj′,k′,ψj,k>:=?ψj′,k′ψj,k=δj′,k′;j,k。定義仿射運(yùn)算子Q(·):=∑j,k∈θj,k<·,ψj,k>ψj,k,其中Θ:={θj,k:j,k∈}∈l∞。

一旦Q的Lp有界取得,便可取得小波基底在Lp(),1

實(shí)際上,由于L2∩Lp()是Lp(),1ψj,k∈Lp()。該序列在Lp(),1

用Pm表示從L2()到子空間,jψj,k。因此,設(shè)置

以下,將要介紹定理2,是本文主要結(jié)果的基礎(chǔ)。

定理2給定仿射緊支撐小波正交基底系統(tǒng)Fψ:={ψj,k:j,k∈},以下會成立,并且有限的取得與m,n無關(guān)。

證明:

上式有限的取得是來自于ψ是緊支撐的。

其次有,

而上式有限的取得是來自于下式有限的取得與Dirichlet檢定。

確實(shí)的,將使用反證法來說明。 給定V>0, 存在j0>m,k0∈,q1,q2∈使得

其中,j1∈{j0,j0+1, …,j0+q1-1},k1∈{k0,k0+1, …,k0+q2-1}。 并且也存在x0與n0∈,x0∈[k1,k1+2j1-m)使得

接下來,將會證明定理3,這說明算子Q具備Lp有界。相較于文獻(xiàn)[9-10],沒有復(fù)雜的證明程序,也不需要任何衰退或平滑的條件。

定理3給定仿射緊支撐小波正交基底系統(tǒng)Fψ:={ψj,k:j,k∈}.則,對于1

證明:本證明最主要是要證明Q為弱(1,1)類型。 確實(shí)的,先前已說明Q為(2,2)類型,一旦說明Q為弱(1,1)類型,根據(jù)Marcinkiewicz拓補(bǔ)定理,Q為(p,p),10,有

如果取得上述二不等式的成立,則有

m{x:|Qf|>α}≤m{x:|Qg|>α/2}+m{x:|Qh|>α/2}

Q即為弱(1,1)類型。

首先證明,根據(jù)定理2 與Dirichlet檢定,對于任何(m,n),(m′,n′)∈Ω,m≤m′,以下M1,M2,M3均為定值,并且有限的取得與m,n無關(guān)

緊接著,?|fχF|2≤α?F|f|≤α‖f‖1.故,

再證,

最后,請注意m{故