復(fù)雜環(huán)境下雷達(dá)抗干擾及多功能一體化波形設(shè)計(jì)方法研究

范 文,李淳澤,趙 勇,張 航

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所,河北 石家莊 050081)

0 引言

隨著衛(wèi)星、無(wú)線電臺(tái)、電視、雷達(dá)、通信、導(dǎo)航等各類(lèi)服務(wù)和系統(tǒng)的廣泛使用,不斷增長(zhǎng)的業(yè)務(wù)和應(yīng)用使得有限的頻譜資源供需矛盾日益突出,雷達(dá)工作的電磁環(huán)境也日益復(fù)雜。為避免雷達(dá)與其他電磁設(shè)備的相互干擾,提升雷達(dá)在復(fù)雜電磁環(huán)境的適應(yīng)能力,需設(shè)計(jì)行之有效的雷達(dá)抗干擾技術(shù)[1-2]。目前雷達(dá)抗干擾技術(shù)主要解決方案有三類(lèi):一是開(kāi)展電子系統(tǒng)綜合一體化的研究,如雷達(dá)通信一體化研究,即雷達(dá)與通信系統(tǒng)共享同一頻譜,同一硬件平臺(tái),研究一體化信號(hào)設(shè)計(jì)與處理以及系統(tǒng)集成方案來(lái)同時(shí)實(shí)現(xiàn)探測(cè)和通信雙功能[2-4];二是基于波形設(shè)計(jì)的研究,即設(shè)計(jì)雷達(dá)波形時(shí)有意避開(kāi)被其他系統(tǒng)所占用或干擾存在的頻段,例如在其他系統(tǒng)占用(或干擾存在)的頻帶形成頻譜零陷/凹口等[5-7];三是無(wú)源態(tài)雷達(dá)技術(shù),即利用現(xiàn)有用頻系統(tǒng)所發(fā)射的信號(hào)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)[8]。

波形設(shè)計(jì)技術(shù)可使電子系統(tǒng)從發(fā)射端即贏得主動(dòng),根據(jù)系統(tǒng)工作的環(huán)境,通過(guò)不斷調(diào)整發(fā)射波形以適應(yīng)日益復(fù)雜的電磁環(huán)境,從而有效提升系統(tǒng)性能(如通信抗干擾性能,雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)、跟蹤、成像及抗干擾等)。此外,高性能信號(hào)處理器件、任意波形產(chǎn)生器等的出現(xiàn)也為實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)發(fā)射波形提供了可能[9-12]?；诖?本文從波形設(shè)計(jì)角度開(kāi)展雷達(dá)抗干擾和多功能一體化波形設(shè)計(jì)方法研究。

1 研究現(xiàn)狀

通常,雷達(dá)發(fā)射機(jī)的線性放大器的動(dòng)態(tài)范圍有限,幅度動(dòng)態(tài)范圍過(guò)大的信號(hào)極易進(jìn)入功率放大器的非線性區(qū)域,導(dǎo)致信號(hào)產(chǎn)生非線性失真,造成帶內(nèi)信號(hào)畸變,進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)雷達(dá)系統(tǒng)性能?chē)?yán)重下降[13-14]。因此,為使雷達(dá)發(fā)射機(jī)在飽和狀態(tài)工作,避免放大器等模擬器件的非線性導(dǎo)致波形失真,雷達(dá)系統(tǒng)一般趨向使用恒定幅度(或幅度動(dòng)態(tài)范圍較小)的波形。雷達(dá)波形需要具備低的自相關(guān)和互相關(guān)水平以避免接收信號(hào)間的相互干擾,此外,雷達(dá)需要具備靈活的發(fā)射波束圖以應(yīng)對(duì)不同探測(cè)需求。雷達(dá)波形模的幅度約束、自/互相關(guān)函數(shù)以及波束圖均為非線性函數(shù),使得雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題呈現(xiàn)出高維非凸的多約束優(yōu)化問(wèn)題,為處理非凸優(yōu)化問(wèn)題,本文總結(jié)了上界最小化(Majorization-Minimization,MM)方法[15]和交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[9-10]及其在波形設(shè)計(jì)中使用的思路和技巧。本文還總結(jié)了最為典型的發(fā)射多波形的多輸入多輸出 (Multiple Input Multiple Output,MIMO)[11-12,16-18]雷達(dá)單波形的單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)[19-21]雷達(dá)抗干擾波形設(shè)計(jì)建模方法和優(yōu)化策略,以期能為后續(xù)雷達(dá)抗干擾波形和多功能一體化波形設(shè)計(jì)研究提供參考和依據(jù)。

1.1 MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

集中式MIMO雷達(dá)收發(fā)天線單元間間距較近,不同天線單元可獨(dú)立發(fā)射不同波形,典型的集中式MIMO雷達(dá),各個(gè)發(fā)射單元發(fā)射相互正交的波形[14]。MIMO雷達(dá)的波形分集特點(diǎn)使其自由度比相控陣?yán)走_(dá)更大,例如:當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)需要具備大的作用距離或者對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí),集中式MIMO雷達(dá)可切換為每個(gè)天線單元發(fā)射相同波形的相控陣?yán)走_(dá)體制,形成具有高增益的窄波束[14];當(dāng)需要對(duì)空域中所有目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)時(shí),集中式MIMO雷達(dá)可切換為發(fā)射正交波形的MIMO雷達(dá)體制,形成覆蓋全方向的寬波束,且通過(guò)適當(dāng)布置發(fā)射和接收天線單元的位置可擴(kuò)展天線的虛擬孔徑(發(fā)射天線單元和接收天線單元位置的不同所形成的虛擬孔徑也不同,M發(fā)N收可形成的最大虛擬孔徑為M×N)[22-23];當(dāng)目標(biāo)方位先驗(yàn)已知時(shí),MIMO雷達(dá)可發(fā)射介于相干和完全正交之間的部分相關(guān)波形,利用波形的相關(guān)性完成靈活發(fā)射波束圖設(shè)計(jì),使雷達(dá)輻射能量集中于指定方向[14]。通過(guò)靈巧地設(shè)計(jì)發(fā)射波形控制發(fā)射波束圖,可增強(qiáng)目標(biāo)回波,抑制背景雜波,顯著提高雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)性能[22-23]。

集中式MIMO雷達(dá)的波形分集特性具備了更高的目標(biāo)分辨率、更好的參數(shù)辨識(shí)能力和抗截獲能力[10,22-23]。另外,集中式MIMO雷達(dá)還可根據(jù)雷達(dá)工作的電磁環(huán)境和目標(biāo)的動(dòng)態(tài)變化自適應(yīng)地設(shè)計(jì)發(fā)射波形以提高雷達(dá)在復(fù)雜多變的戰(zhàn)場(chǎng)電磁環(huán)境中的適應(yīng)能力[5-8]。本文總結(jié)了如下兩類(lèi)具有代表性的MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題:首先,為保障在頻譜密集環(huán)境中工作的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的抗干擾性能[24],針對(duì)復(fù)雜電磁環(huán)境下寬帶MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖設(shè)計(jì)問(wèn)題,本文提出了波束圖匹配設(shè)計(jì)優(yōu)化模型和最小峰值旁瓣波束圖設(shè)計(jì)優(yōu)化模型,以生成與復(fù)雜電磁環(huán)境相適應(yīng)的MIMO雷達(dá)波形,進(jìn)而提升雷達(dá)抗干擾性能(見(jiàn)第3節(jié)模型1～2);其次,當(dāng)需對(duì)空域中所有目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)時(shí),MIMO雷達(dá)系統(tǒng)工作模式可切換為發(fā)射具有低自相關(guān)峰值旁瓣和互相關(guān)電平的正交波形,形成覆蓋全方向的寬波束[5],本文提出了頻譜約束條件下的最小自相關(guān)峰值旁瓣和互相關(guān)峰值電平的波形集設(shè)計(jì)模型,并根據(jù)分塊逐次上界極小化(Block Successive Upper-bound Minimization,BSUM)算法框架[15]給出了求解思路(模型3)。

1.2 SISO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

當(dāng)MIMO雷達(dá)所有發(fā)射天線發(fā)射同樣的波形時(shí),MIMO雷達(dá)等價(jià)為SISO雷達(dá)。因此,不同于MIMO雷達(dá)需同時(shí)設(shè)計(jì)多波形,SISO雷達(dá)僅需設(shè)計(jì)單波形,根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景的不同,本文總結(jié)了幾類(lèi)典型的單波形設(shè)計(jì)問(wèn)題[8]:① 若發(fā)射波形的模幅度變化很大,會(huì)遭受?chē)?yán)重的能量損失或非線性失真[12-14]。此外,傳統(tǒng)的波形頻譜賦型方法均基于最小二乘擬合準(zhǔn)則[6-7],僅僅關(guān)注了“總體”平方誤差、無(wú)法兼顧峰值匹配誤差,使得所設(shè)計(jì)的波形頻譜形狀可能具有大的峰值阻帶水平和大的通帶紋波,這對(duì)于譜干擾抑制極為不利。為此,本文給出了基于min-max的頻譜賦形優(yōu)化模型,以同時(shí)抑制峰值阻帶水平和通帶紋波(模型4)。② 雷達(dá)波形自相關(guān)峰值旁瓣水平對(duì)高分辨率雷達(dá)應(yīng)用有顯著影響[6]。本文在頻譜和幅度約束下構(gòu)造了自相關(guān)旁瓣精確控制模型(模型5)。③ 在諸如認(rèn)知雷達(dá)[24]和機(jī)載雷達(dá)等應(yīng)用中,除頻譜兼容性和波形幅度動(dòng)態(tài)范圍要求外,波形還需具有圖釘狀模糊函數(shù)以滿足對(duì)移動(dòng)目標(biāo)探測(cè)的需求。為此本文提出最小相似度設(shè)計(jì)模型以實(shí)現(xiàn)具有較低的模糊函數(shù)旁瓣水平和指定頻譜零陷的探測(cè)波形(模型6)。

除上述MIMO雷達(dá)和SISO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)建模外,本文還對(duì)上述模型的建模機(jī)理、求解方法進(jìn)行了分析,給出了ADMM、MM以及ADMM+MM三種求解波形設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)化手段和使用技巧。結(jié)合波形設(shè)計(jì)相似性約束的優(yōu)良特性,本文創(chuàng)新性地將上述建模思路和優(yōu)化方法應(yīng)用于多功能一體化波形設(shè)計(jì)的兩個(gè)實(shí)例(模型7～8),以期為未來(lái)多功能一體化波形設(shè)計(jì)提供有價(jià)值的參考。

2 問(wèn)題建模思路與優(yōu)化方法

雷達(dá)波形設(shè)計(jì)通常需轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題,約束條件由雷達(dá)工作的電磁環(huán)境和雷達(dá)本身的硬件限制等確定,是設(shè)計(jì)的前提;而目標(biāo)函數(shù)描述了設(shè)計(jì)的目標(biāo)。設(shè)計(jì)整體思路可分為4個(gè)基本步驟:① 根據(jù)雷達(dá)具體工作環(huán)境以及物理硬件限制等,確定波形的約束條件(如波形頻譜約束、自相關(guān)約束、幅度約束以及功能約束等);② 根據(jù)具體探測(cè)任務(wù)確定目標(biāo)函數(shù)(如波形模糊函數(shù)、MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖等);③ 根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件的特性確定優(yōu)化方法,并針對(duì)性的推導(dǎo)有效的求解算法,以獲得滿足約束條件和設(shè)計(jì)目標(biāo)的雷達(dá)波形;此步驟中涉及諸多信號(hào)處理和數(shù)學(xué)使用技巧,直接影響著波形設(shè)計(jì)方法的性能;④ 對(duì)算法性能分析和評(píng)估,如波形的模糊函數(shù)、自相關(guān)、頻譜兼容性、波束圖、算法復(fù)雜度和收斂性能等指標(biāo)。實(shí)際設(shè)計(jì)中約束條件和目標(biāo)函數(shù)相關(guān)指標(biāo)可按需求靈活互換和組合。

2.1 常見(jiàn)約束條件

設(shè)離散化后雷達(dá)發(fā)射的波形為x=[x1,x2,…,xN]T∈N×1。其中,(·)T表示向量或者矩陣的轉(zhuǎn)置,表示復(fù)數(shù)域,N表示波形離散點(diǎn)數(shù)。M個(gè)波形(序列)集合也可以寫(xiě)為矩陣的形式X=[x(1),x(2),…,x(M)]T∈N×M,其中,x(m)=[x1(m),x2(m),…,xN(m)]T∈N×1,m=1,2,…,M。

2.1.1 波形幅度約束

為避免放大器等模擬器件的非線性導(dǎo)致波形失真,雷達(dá)系統(tǒng)一般趨向使用恒定幅度(或幅度動(dòng)態(tài)范圍較小)的波形[9-11,15]。對(duì)于MIMO雷達(dá)而言,由于要求具備多個(gè)發(fā)射機(jī)以發(fā)射相互正交或部分相關(guān)的波形,每一路發(fā)射波形都滿足恒定幅度或者具有較低的幅度動(dòng)態(tài)范圍將有利于簡(jiǎn)化雷達(dá)系統(tǒng)的硬件設(shè)計(jì)[25]。這種幅度約束通常有恒模(Constant Modulus,CM)約束,ε-不確定集(ε-Uncertainty Modulus)約束,峰值平均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)約束和離散相位約束等[25-27]。

CM約束:|xn|=ξ,n=1,2,…,N,其中,ξ>0表示波形x的模。

不確定集恒模約束:cn-ε≤|xn|≤cn+ε(cn≥ε≥0),其中,cn表示不確定集約束的中心,ε表示不確定集的不確定度,分別由用戶確定。

離散相位約束:angle(xn)∈{φ1,φ2,…φK},n=1,2,…,N,其中,φ1,φ2,…φK為固定的離散相位。

相似性約束:在機(jī)載雷達(dá)及其他應(yīng)用[12]中,除幅度動(dòng)態(tài)范圍約束外,雷達(dá)波形還需具有較好的模糊函數(shù)以提升動(dòng)目標(biāo)的探測(cè)性能。但直接添加模糊函數(shù)約束太過(guò)復(fù)雜,一種簡(jiǎn)單且有效的方法是在波形設(shè)計(jì)建模時(shí)添加相似性約束(Similarity Constraint,SC)使設(shè)計(jì)的雷達(dá)波形繼承參考波形優(yōu)良的模糊函數(shù)和動(dòng)態(tài)范圍等特性[7]。相似性約束定義為‖x-c‖p≤σ,其中,c表示參考波形,具有良好的模糊函數(shù)和幅度的動(dòng)態(tài)范圍,p=2或∞表示不同的相似性約束,參數(shù)σ控制相似度。

本文用模約束(Modulus Constraint,MC)統(tǒng)一表示上述的幅度約束:

MC(x)。

(1)

2.1.2 頻譜約束

(2)

y=FH[x;0],

(3)

2.2 目標(biāo)函數(shù)

2.2.1 MIMO雷達(dá)部分相關(guān)波形設(shè)計(jì)

(4)

q=-N/2,…,0,…,N/2-1,

(5)

其中:

(6)

fq=[1,e-j2πq/N,…,e-j2π(N-1)q/N]T∈N×1。

(7)

(8)

式中:yq=[y1(q),y2(q),…,yL(q)]T,am,q?a(θm,q/(NTs)),X=[x(1),x(2),…,x(L)]T∈L×N。

(9)

常用的波束圖設(shè)計(jì)準(zhǔn)則有:① 波束圖匹配設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[26],即設(shè)計(jì)波形X使得其波束圖Pm,q或者(Pm)與給定的波束圖模板相匹配;② 最小旁瓣設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[15],即設(shè)計(jì)波形X使得其波束圖Pm,q的峰值旁瓣最小化;③ 主旁瓣比例最大化設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[15],即設(shè)計(jì)波形X使得波束圖的主瓣積分相比于旁瓣積分最大化。

2.2.2 MIMO雷達(dá)正交波形集(序列集)設(shè)計(jì)

(10)

(11)

2.2.3 單波形(序列)設(shè)計(jì)

對(duì)于給定波形x?[x1,x2,…,xN]T∈N×1,其自相關(guān)函數(shù)定義若波形x為周期的,其自相關(guān)定義為波形x的自相關(guān)積分旁幫和峰值旁瓣定義與波形集的定義相同,且是波形集相關(guān)性能衡量準(zhǔn)則ISL和PSL的特例形式。

2.3 優(yōu)化方法

近年來(lái),ADMM和MM在信號(hào)處理、通信和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用以處理非凸優(yōu)化問(wèn)題。ADMM適用于大規(guī)模凸優(yōu)化問(wèn)題的求解[9],該方法將大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題分解成多個(gè)小規(guī)模的子問(wèn)題,并以交替優(yōu)化的方式確定原優(yōu)化問(wèn)題的解。此外,MM通過(guò)構(gòu)造原非凸非光滑目標(biāo)函數(shù)的上界函數(shù),然后以迭代的方式求解上界優(yōu)化問(wèn)題,適用于大規(guī)模非凸優(yōu)化問(wèn)題[9-12,16-17]。下面介紹ADMM和MM優(yōu)化框架。

2.3.1 ADMM

ADMM可處理具有復(fù)雜約束的優(yōu)化問(wèn)題,其具有對(duì)偶上升法強(qiáng)大的分解能力(變量分離、優(yōu)化問(wèn)題分裂等)和乘子法的快速收斂特性。研究表明,ADMM在許多非凸問(wèn)題中也有出色的表現(xiàn)[10]。下面介紹ADMM算法框架,如針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題:

(12)

類(lèi)似于乘子法,ADMM首先構(gòu)造增廣的拉格朗日函數(shù):

(13)

ADMM算法按如下規(guī)則更新:

(14)

(15)

λ(t+1):=λ(t)+Ax(t+1)+Bz(t+1)-c,

(16)

式中:t表示迭代次數(shù)。式(12)被分解成上述兩個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題,即式(14)～(15),和一個(gè)乘子更新步驟式(16)。

該算法可處理多約束優(yōu)化問(wèn)題,對(duì)于凸問(wèn)題,理論收斂已得到證明。但是當(dāng)處理非凸優(yōu)化問(wèn)題時(shí),其理論收斂性目前還沒(méi)有文獻(xiàn)給出。目前對(duì)于ADMM算法求解部分非凸優(yōu)化問(wèn)題的收斂性分析一般是首先證明增廣的拉格朗日函數(shù)隨著迭代進(jìn)行是遞減(增)的,即:

Lρ(x(t+1),z(t+1),λ(t+1))≤Lρ(x(t),z(t),λ(t)),

(17)

且增廣的拉格朗日函數(shù)有下(上)界,即σ≤Lρ(x,z,λ)。通過(guò)上述兩個(gè)結(jié)論可知,隨著迭代進(jìn)行,ADMM對(duì)非凸優(yōu)化問(wèn)題是收斂的。

2.3.2 MM

MM也屬于迭代算法,可處理具有復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)但約束形式簡(jiǎn)單的優(yōu)化問(wèn)題。例如針對(duì)優(yōu)化問(wèn)題[11]:

(18)

(19)

(20)

其次,求解優(yōu)化問(wèn)題(最小化步驟(Minimization)):

(21)

經(jīng)過(guò)上述兩步,可有如下不等式:

(22)

即:原目標(biāo)函數(shù)值非增。算法可通過(guò)有限次迭代趨于穩(wěn)定(收斂),MM可處理復(fù)雜高次目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題,但通常上界函數(shù)難以構(gòu)造,此外,該算法難以處理具有復(fù)雜約束的優(yōu)化問(wèn)題。

2.3.3 MM與ADMM混合算法

M-ADMM[17]可用于求解目標(biāo)函數(shù)和約束條件均比較復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題,以式(12)為例,算法的思路是通過(guò)MM框架構(gòu)造該優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)的上界優(yōu)化問(wèn)題:

(23)

(24)

(25)

構(gòu)造式(23)對(duì)應(yīng)的增廣的拉格朗日函數(shù),并根據(jù)ADMM更新規(guī)則式(14)～(16),更新優(yōu)化變量。

M-ADMM算法收斂性分析的基本思路為:根據(jù)式(17)和式(22),可推導(dǎo)M-ADMM方法所構(gòu)造的增廣的拉個(gè)朗日函數(shù)值隨迭代次數(shù)增加而減小,且有下界,進(jìn)而可得M-ADMM算法是收斂的。

3 波形設(shè)計(jì)建模與優(yōu)化問(wèn)題求解思路

3.1 復(fù)雜電磁環(huán)境下MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

(26)

式中:Θn表示波束圖零陷的離散網(wǎng)格點(diǎn)集,其只包含干擾的頻譜帶寬和干擾空間方向。基于上述定義和討論,構(gòu)建頻譜密集環(huán)境下寬帶MIMO雷達(dá)發(fā)射波束圖設(shè)計(jì)模型。

模型1:寬帶MIMO雷達(dá)波束圖匹配設(shè)計(jì)

當(dāng)已知干擾的頻譜范圍,提出如下波束圖匹配設(shè)計(jì)問(wèn)題:

(27)

在Wm,q>0表示第m個(gè)方向角和第q個(gè)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù),D表示波束圖模板(Dm,q=1,?{m,q}∈Θm,Dm,q=0,?{m,q}?Θm,其中Θm表示離散網(wǎng)格點(diǎn)集),MC(x(l))表示第l個(gè)波形的模約束,如式(1)。

模型1求解思路:可以看到式(27)的主要難點(diǎn)是MC約束和目標(biāo)函數(shù)中的求模運(yùn)算。根據(jù)MM優(yōu)化框架可以推導(dǎo)出式(27)對(duì)應(yīng)的上界優(yōu)化問(wèn)題(主要作用是去掉目標(biāo)函數(shù)中的求模運(yùn)算),然后通過(guò)引入輔助變量yq=Xfq(可以看到目標(biāo)函數(shù)和約束條件中都含有Xfq,且此項(xiàng)中fq為傅里葉變換的基,引入輔助變量yq便于后續(xù)運(yùn)算和推導(dǎo)),并利用ADMM算法來(lái)求解該上界優(yōu)化問(wèn)題[17]。

模型2:寬帶MIMO雷達(dá)最小旁瓣發(fā)射波束圖設(shè)計(jì)

實(shí)際中,目標(biāo)來(lái)波方向可能不精確,要求寬帶MIMO雷達(dá)波束圖主瓣滿足d-以提升雷達(dá)探測(cè)的穩(wěn)健性,其中d和(d>)分別表示主瓣電平和主瓣波紋項(xiàng)。此外,為降低雷達(dá)雜波對(duì)雷達(dá)檢測(cè)性能的影響[17],本模型以最小化波束圖峰值旁瓣為目標(biāo)函數(shù),針對(duì)干擾的空間方向和頻段先驗(yàn)已知的情況建立如下設(shè)計(jì)問(wèn)題:

s.t.d-,?{m,q}∈Θm;

(28)

式中:Θs和Θm分別表示波束圖旁瓣和主瓣的離散網(wǎng)格點(diǎn)集。由于MC和波紋約束d-形成了一個(gè)非凸的可行集,式(28)是非凸的。此外,由于目標(biāo)函數(shù)中的max運(yùn)算和取模操作該優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是非光滑的。上述模型也可推廣到窄帶MIMO雷達(dá)最小峰值旁瓣與主瓣波紋控制設(shè)計(jì)。

模型3:復(fù)雜電磁環(huán)境下的正交MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)

(29)

(30)

利用序列的功率譜密度函數(shù)和其自相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換對(duì),以及傅里葉變換矩陣的正交性,可將式(3)的目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為基于二范數(shù)度量的最小距離優(yōu)化問(wèn)題[28-29]:

(31)

3.2 復(fù)雜電磁環(huán)境下SISO雷達(dá)形設(shè)計(jì)

模型4:基于min-max準(zhǔn)則的頻譜賦形設(shè)計(jì)

不同于基于最小二乘的頻譜賦形設(shè)計(jì)方法僅從整體考慮了波形頻譜賦形誤差[7],基于min-max準(zhǔn)則同時(shí)抑制波形頻譜阻帶峰值水平和通帶波紋提出如下優(yōu)化模型:

s.t.MC(x),

(32)

式中:τm表示頻譜模板,wm>0為第m個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重參數(shù)。

模型4求解思路:式(32)與式(29)類(lèi)似的目標(biāo)函數(shù),可用模型3相同的求解思路簡(jiǎn)化優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù),并利用傅里葉變換矩陣的正交性將優(yōu)化問(wèn)題化簡(jiǎn)為類(lèi)似式(31)的形式。

模型5:峰值旁瓣精確控制設(shè)計(jì)

在無(wú)線通信和SAR等應(yīng)用中,通常感興趣目標(biāo)回波的時(shí)延數(shù)大致已知,在波形設(shè)計(jì)過(guò)程中只需控制波形的特定自相關(guān)區(qū)域。此外,為保證雷達(dá)抗干擾能力,通常會(huì)在模型中加入頻譜約束,建立如下優(yōu)化問(wèn)題以滿足上述應(yīng)用場(chǎng)景需求[6]:

|rn|≤δ,?n∈Θs;MC(x),

(33)

式中:Θm和Θs分別表示需要最小化和精確控制的波形自相關(guān)旁瓣區(qū)域,δ表示波形自相關(guān)旁瓣區(qū)域Θs范圍內(nèi)所允許的最大值。

模型5求解思路:根據(jù)式(11),上述優(yōu)化模型可寫(xiě)為帶等式約束(r=F(|FHx|2))的優(yōu)化問(wèn)題,然后用ADMM求解[7]。

模型6:最小化相似性設(shè)計(jì)

除了低自相關(guān)峰值旁瓣,當(dāng)雷達(dá)用于動(dòng)目標(biāo)探測(cè)時(shí)波形還需具類(lèi)似于圖釘狀的模糊函數(shù)。但直接優(yōu)化波形的模糊函數(shù)峰值旁瓣十分困難(4次目標(biāo)函數(shù)和非凸波形幅度約束)[7]。為此,建立如下最小化加權(quán)l(xiāng)∞范數(shù)和l2范數(shù)相似性模型[7]:

(34)

式中:ρ∈[0,1]為用戶定義的參數(shù),通過(guò)設(shè)定不同的ρ可獲得不同的目標(biāo)函數(shù),如當(dāng)ρ=1時(shí),是l∞范數(shù)模型,而ρ=0時(shí)獲得l2范數(shù)度量。

模型6求解思路:求解思路同模型4。

4 多功能一體化波形設(shè)計(jì)建模

傳統(tǒng)雷達(dá)、通信、導(dǎo)航等電子系統(tǒng)分立發(fā)展,使得各系統(tǒng)間的構(gòu)成存在很大冗余,導(dǎo)致系統(tǒng)硬件、頻譜、波形、處理等資源無(wú)法被充分使用,且各系統(tǒng)之間存在資源競(jìng)爭(zhēng),導(dǎo)致電磁兼容性差。系統(tǒng)一體化設(shè)計(jì)能夠使各系統(tǒng)共享平臺(tái)資源,克服分立發(fā)展導(dǎo)致的問(wèn)題。如雷達(dá)和通信系統(tǒng)共用波形的方式能夠使兩系統(tǒng)共享系統(tǒng)硬件、頻譜和功率等資源,從根本上克服跨系統(tǒng)干擾并提升資源利用率,已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)[3-4]。

(35)

上述分析表明,本文介紹的模型1～6,均可加入相似性約束,將MIMO/SISO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多功能一體化波形設(shè)計(jì)問(wèn)題[30]。

模型7:MIMO多功能一體化波形設(shè)計(jì)問(wèn)題建模

同理,可以在模型1～3中加入相關(guān)的相似性約束,使設(shè)計(jì)的波形具備期望的發(fā)射方向圖和特定的功能。以模型1為例,構(gòu)建多功能一體化波形設(shè)計(jì)模型:

(36)

模型7求解思路:同模型1。

模型8:雷達(dá)通信一體化波形設(shè)計(jì)問(wèn)題建模

根據(jù)對(duì)通信需求的分析,提出最小化自相關(guān)峰值旁瓣設(shè)計(jì)模型,實(shí)現(xiàn)探通一體波形設(shè)計(jì):

s.t. ‖x-xc‖∞<σn,DRR(x)≤ζ,

(37)

同理,針對(duì)波形(序列)集設(shè)計(jì),建立如下多功能一體化設(shè)計(jì)模型:

?m|xn(m)|2=1,n=Nc+1,2,…,N,

(38)

式中:xc(m)表示第m個(gè)波形對(duì)應(yīng)的參考波形。通過(guò)選取不同的參考波形,例如通信、導(dǎo)航、干擾等波形,可以實(shí)現(xiàn)多功能一體化波形的設(shè)計(jì)。

在式(36)～(38)中,參考波形xc(m)可根據(jù)需要適當(dāng)選擇;如需要實(shí)現(xiàn)探干一體化波形,xc(m),?m可選擇常用的干擾波形;若需要探干通一體化波形,可以選擇xc(1),xc(2),…,xc(M)分別為通信波形、干擾波形,即選擇不同得參考波形即可獲得不同性能的多功能一體化波形。

模型8求解思路:同模型3。

下面通過(guò)仿真驗(yàn)證式(38)的有效性。仿真參數(shù)設(shè)置為M=2,N=4 096,Nc=2 048,p=20,σ1=σ2=σ。圖1給出了當(dāng)σ=0時(shí)兩個(gè)波形的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù),可以看出,波形的自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)水平幾乎相同,表明了波形具有較好的探測(cè)性能。圖2繪制了不同σ時(shí)通信的誤碼率曲線,可以看到當(dāng)σ=0時(shí),實(shí)際誤碼率曲線基本與理論誤碼率曲線一致,而隨著σ的增大,誤碼率性能會(huì)逐步退化,這也與本節(jié)理論分析一致;也可以看出,實(shí)際中相似性參數(shù)不用選擇過(guò)大,否則會(huì)影響波形的通信性能(如σ=0.3時(shí)通信性能退化較為嚴(yán)重),從仿真結(jié)果來(lái)看σ=0.1是一個(gè)非常好的選擇。

(a) r(1,2)

(b) r(1,2)

(c) r(2,1)

(d) r(2,2)圖1 波形自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)(σ=0)Fig.1 Waveform autocorrelation and cross correlation function (σ=0)

圖2 不同σ時(shí)通信的誤碼率曲線Fig.2 Error rate curve for different simultaneous communications σ

5 結(jié)束語(yǔ)

本文總結(jié)了復(fù)雜電磁環(huán)境下雷達(dá)抗干擾波形設(shè)計(jì)建模與優(yōu)化方法,對(duì)波形設(shè)計(jì)的約束條件、設(shè)計(jì)準(zhǔn)則、指標(biāo)等進(jìn)行了細(xì)致的梳理和總結(jié)。還對(duì)ADMM和MM優(yōu)化方法進(jìn)行了簡(jiǎn)單描述,結(jié)合典型優(yōu)化問(wèn)題,給出了其在波形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用思路。本文建模思路和優(yōu)化手段可為復(fù)雜電磁環(huán)境下雷達(dá)抗干擾波形設(shè)計(jì)、探測(cè)干擾一體化以及雷達(dá)通信一體化等多功能一體化波形設(shè)計(jì)提供有價(jià)值的參考。