可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)線性自抗擾控制分析

李 強(qiáng), 張鵬飛, 趙 川, 徐方超, 金俊杰, 孫 鳳

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 沈陽(yáng) 110870)

磁懸浮技術(shù)是利用磁力平衡物體重力,實(shí)現(xiàn)無(wú)接觸穩(wěn)定懸浮的技術(shù).如今所使用的磁懸浮主要以電磁懸浮技術(shù)為主,在磁懸浮軸承[1]、磁懸浮列車[2]、磁懸浮電機(jī)[3]和磁力懸架[4]等多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)廣泛使用.超導(dǎo)懸浮技術(shù)[5]主要應(yīng)用于超導(dǎo)磁懸浮列車,分為低溫超導(dǎo)磁懸浮列車(液氦)和高溫超導(dǎo)磁懸浮列車(液氮),我國(guó)研發(fā)的時(shí)速600 km/h磁懸浮列車就屬于高溫超導(dǎo)磁懸浮列車[6].與永磁懸浮技術(shù)相比,電磁懸浮技術(shù)具有需要以電力不斷供給磁力以及較大能耗的缺點(diǎn).我國(guó)稀土資源儲(chǔ)備豐富,對(duì)發(fā)展永磁懸浮技術(shù)具有諸多便利.上海大學(xué)袁昆鵬等[7]研究設(shè)計(jì)了滿足長(zhǎng)壽命和高轉(zhuǎn)速工作要求的無(wú)刷直流電機(jī)永磁軸承,并進(jìn)行了力學(xué)特性分析;劉建文等[8]提出了一種軸流式人工心臟泵,其中葉輪轉(zhuǎn)子采用兩個(gè)永磁軸承提供被動(dòng)支撐.

本文實(shí)現(xiàn)物體穩(wěn)定懸浮的方法為電機(jī)驅(qū)動(dòng)徑向磁化圓柱形永磁體旋轉(zhuǎn),改變通過(guò)導(dǎo)磁體與懸浮物的磁通量,實(shí)現(xiàn)懸浮力大小的控制,使其平衡懸浮物重力進(jìn)而實(shí)現(xiàn)懸浮[9].可變磁路式的永磁懸浮系統(tǒng)具有高階性、強(qiáng)非線性和時(shí)滯性的特點(diǎn),實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮控制較為困難.目前已有較多控制方法應(yīng)用在該磁懸浮系統(tǒng)中,如PID控制器[10]、魯棒控制[11]等,其中最常用的為PID控制器,PID控制結(jié)構(gòu)雖然簡(jiǎn)單明確,但在磁懸浮系統(tǒng)的抗干擾能力方面有較大的局限性.自抗擾控制也應(yīng)用在一些磁懸浮系統(tǒng)中,但主要用于電磁懸浮中,而在永磁懸浮中大多都僅限于仿真階段,實(shí)驗(yàn)成果較少.

自抗擾控制(ADRC)[12]是由韓京清研究員提出的,其核心思想是在盡可能不受精確的數(shù)學(xué)模型影響下,使用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器將整個(gè)系統(tǒng)包括外擾和內(nèi)擾在內(nèi)的集成擾動(dòng)觀測(cè)出來(lái),通過(guò)設(shè)計(jì)非線性控制律將所產(chǎn)生的誤差加以補(bǔ)償,從而達(dá)到快速收斂的目的,具有較強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力.線性自抗擾控制方法具有不依賴精確的數(shù)學(xué)模型,抗干擾能力強(qiáng),參數(shù)較少,易于整定的特點(diǎn),因此,本文設(shè)計(jì)的可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)采用線性自抗擾控制方法,證明了線性自抗擾控制方法具有廣泛的通用性.

1 永磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作原理

1.1 磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)的原理樣機(jī)如圖1所示.

圖1 永磁懸浮系統(tǒng)的原理樣機(jī)Fig.1 Principle prototype of permanent magnetic levitation system

該永磁懸浮系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)主要包括圓柱狀永磁體、“F”型導(dǎo)磁體、傳感器、懸浮物和調(diào)節(jié)千分尺.其中,圓柱狀永磁體的充磁方式為徑向充磁,與伺服電機(jī)通過(guò)聯(lián)軸器連接;“F”型導(dǎo)磁體處于永磁體兩側(cè),對(duì)稱分布;傳感器位于懸浮物體下方,用于測(cè)量懸浮物體與導(dǎo)磁體之間的氣隙;調(diào)節(jié)千分尺用于調(diào)節(jié)懸浮物、傳感器、永磁鐵和導(dǎo)磁體的相對(duì)位置.

1.2 磁懸浮系統(tǒng)工作原理

圖2為可變磁路原理圖.徑向磁化的永磁鐵與伺服電機(jī)相連接,由伺服電機(jī)進(jìn)行驅(qū)動(dòng),當(dāng)永磁鐵的轉(zhuǎn)角為0°時(shí),永磁體的主磁通經(jīng)兩側(cè)“F”型導(dǎo)磁體全部由N極返回S極,懸浮物無(wú)主磁通經(jīng)過(guò),不產(chǎn)生磁力.當(dāng)永磁鐵轉(zhuǎn)過(guò)θ°時(shí),此時(shí)除了經(jīng)過(guò)兩側(cè)“F”型導(dǎo)磁體由N極返回S極主磁通外,還有部分主磁通將從N極出發(fā),先后經(jīng)過(guò)右側(cè)“F”型導(dǎo)磁體、懸浮物及左側(cè)“F”型導(dǎo)磁體返回S極,并產(chǎn)生一定磁力.

圖2 可變磁路原理圖Fig.2 Principle diagram of variable flux path

2 數(shù)學(xué)模型建立

永磁懸浮系統(tǒng)模型受力如圖3所示.圖3中,d0為系統(tǒng)平衡時(shí)的氣隙,Δd為懸浮物位移變化量,Δd=d-d0,向下為正方向,θ為永磁體轉(zhuǎn)角,θ0為永磁體在平衡位置時(shí)的轉(zhuǎn)角,Δθ為角度變化量,Δθ=θ-θ0,順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?

圖3 永磁懸浮系統(tǒng)模型圖Fig.3 Model diagram of permanent magnetic levitation system

經(jīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可得,懸浮物所受磁力均隨著旋轉(zhuǎn)角度呈周期性變化,采用等效磁路法可求解得出磁力解析關(guān)系和永磁體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受非線性轉(zhuǎn)矩作用的關(guān)系.推導(dǎo)可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

式中:J為電機(jī)與永磁體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;kt為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù);i為伺服電機(jī)輸入電流;m為懸浮物的質(zhì)量;c1為永磁體在回轉(zhuǎn)方向上的阻尼系數(shù);c2為懸浮物運(yùn)動(dòng)阻尼系數(shù);f為外擾力;F為永磁體對(duì)懸浮物的吸引力;τ為永磁體受到的轉(zhuǎn)矩.

將式(1)、(2)在平衡位置進(jìn)行線性化處理,可得到最終線性化模型為

(3)

(4)

式中:kτ為磁轉(zhuǎn)矩系數(shù);Δdτ為磁轉(zhuǎn)矩漏磁補(bǔ)償系數(shù);km為懸浮力系數(shù);Δdf為導(dǎo)磁體弧形漏磁補(bǔ)償系數(shù).

3 串級(jí)LADRC控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制方案設(shè)計(jì)

永磁懸浮系統(tǒng)采用PID控制雖然可以實(shí)現(xiàn)收斂,并最終達(dá)到穩(wěn)定,但系統(tǒng)響應(yīng)速度較慢,抗干擾能力較差.自抗擾控制可以在被控對(duì)象不是非常準(zhǔn)確的情況下實(shí)現(xiàn)控制,并具有較好的抗干擾能力.線性自抗擾控制具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)整定方便、擾動(dòng)跟蹤性能幾乎不隨擾動(dòng)幅度發(fā)生變化等特點(diǎn),因此,本文選用線性自抗擾控制.

由可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)控制原理可知,如果只采用氣隙閉環(huán)控制,角度變化緩慢,控制信號(hào)無(wú)法及時(shí)控制永磁體轉(zhuǎn)角,加之系統(tǒng)本身由電流信號(hào)轉(zhuǎn)換到永磁鐵轉(zhuǎn)角具有一定的滯后性.因此,采用雙閉環(huán)控制,內(nèi)環(huán)為角度閉環(huán)采用PD控制器,外環(huán)為氣隙閉環(huán)采用LADRC控制器.角度環(huán)的控制目標(biāo)是控制盤(pán)狀永磁體的旋轉(zhuǎn)角度,氣隙環(huán)的控制目標(biāo)是控制懸浮物的位置,使懸浮物穩(wěn)定.串級(jí)線性自抗擾控制示意圖如圖4所示.

圖4 永磁懸浮LADRC控制系統(tǒng)原理圖Fig.4 Principle diagram of permanent magnetic levitation LADRC control system

3.2 LADRC控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及控制方案可知,角度環(huán)和氣隙環(huán)都是二階數(shù)學(xué)模型,本文主要分析二階LADRC控制器的算法.

LADRC結(jié)構(gòu)主要包括線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)和線性狀態(tài)誤差反饋控制器(LSEF).LADRC控制器結(jié)構(gòu)圖如圖5所示.通過(guò)設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,以實(shí)時(shí)預(yù)估對(duì)象模型中的全部擾動(dòng)為目標(biāo),設(shè)計(jì)一個(gè)PD狀態(tài)反饋控制器,消除擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)輸出的影響.LADRC將自抗擾控制策略簡(jiǎn)化為整定控制器帶寬ωc和觀測(cè)器帶寬ω0兩個(gè)量,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的實(shí)時(shí)觀測(cè)和補(bǔ)償.

圖5 二階LADRC控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure diagram of second-order LADRC controller

3.2.1 LESO設(shè)計(jì)

二階系統(tǒng)LESO方程可表示為

(5)

(6)

建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器方程為

(7)

選取合適的觀測(cè)器增益β1、β2、β3,LESO能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)中各變量的實(shí)時(shí)跟蹤.

采用帶寬法將觀測(cè)器特征方程的極點(diǎn)放在同一位置-ω0處,即

λ(s)=s3+β1s2+β2s+β3=(s+ω0)3

(8)

可得

3.2.2 LSEF設(shè)計(jì)

LADRC采用PD控制器作為線性狀態(tài)誤差反饋控制器,其表達(dá)式為

u0=kp(r-z1)-kdz2

(9)

(10)

同樣用帶寬配置,經(jīng)過(guò)參數(shù)化可得

3.3 改進(jìn)LADRC控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)LADRC觀測(cè)器受系統(tǒng)帶寬限制所帶來(lái)的觀測(cè)及抗擾能力不足的問(wèn)題,本文以提高線性自抗擾控制器的抗擾能力為目標(biāo),對(duì)傳統(tǒng)的LADRC結(jié)構(gòu)框架進(jìn)行改進(jìn),設(shè)計(jì)LESO控制器時(shí)將模型中已知部分代入LESO中進(jìn)行輔助設(shè)計(jì),從而提高控制效果.其中線性狀態(tài)誤差反饋控制器的設(shè)計(jì)保持不變.

對(duì)本文磁懸浮系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建?？梢缘玫绞?5)中a1、a2,而ω、b未知,則該式可以改寫(xiě)為

(11)

(12)

對(duì)應(yīng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器方程式為

(13)

式中:z為觀測(cè)器的狀態(tài)變量,z→x;L為觀測(cè)器誤差反饋增益矩陣.重寫(xiě)觀測(cè)器方程式為

(14)

式中:uc=[u,y]T為組合輸入;yc為輸出.

觀測(cè)器增益矩陣為

L=[β1,β2,β3]T

(15)

采用帶寬法配置,最終可得

由上述分析可知,采用模型輔助的LESO改進(jìn)LADRC控制器結(jié)構(gòu)如圖6所示.

圖6 輔助模型二階LADRC控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structure diagram of auxiliary model second-order LADRC controller

4 改進(jìn)LADRC參數(shù)整定

根據(jù)LADRC的工作原理,二階LADRC控制器共有b0、ω0、ωc3個(gè)參數(shù)需要整定.通過(guò)頻域分析可知,LADRC控制器參數(shù)整定時(shí),帶寬的選取對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和動(dòng)態(tài)特性都有較大影響.圖7～9分別為通過(guò)頻域分析法分析b0、ω0、ωc3個(gè)參數(shù)取不同值時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響.

圖7 ω0變化的閉環(huán)伯德圖Fig.7 Bode diagrams of closed-loop with variation of ω0

從圖7中可以看出,當(dāng)ω0逐漸增加時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬變化不大,對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響較小.從圖8中可以看出,當(dāng)ωc逐漸增加時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬增大,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間減小.從圖9中可以看出,當(dāng)b0逐漸增加時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬減小,系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間增大.綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性,本文外環(huán)LADRC控制器參數(shù)整定為b0=13、ω0=150、ωc=80.

圖8 ωc變化的閉環(huán)伯德圖Fig.8 Bode diagrams of closed-loop with variation of ωc

圖9 b0變化的閉環(huán)伯德圖Fig.9 Bode diagrams of closed-loop with variation of b0

5 仿真結(jié)果與分析

對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行階躍外擾仿真和抵抗外擾力仿真,并將傳統(tǒng)LADRC控制、改進(jìn)LADRC控制、PID控制分別作為串級(jí)控制的外環(huán),PD控制作為內(nèi)環(huán)的3種控制方式進(jìn)行對(duì)比分析.

5.1 位移階躍仿真分析

3種控制器階躍外擾仿真結(jié)果如圖10所示.系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)定后的1 s時(shí),加入幅值為0.1 mm,方向?yàn)闅庀蹲兇蠓较虻碾A躍外擾信號(hào).采用PID控制時(shí)超調(diào)量為45.57%,穩(wěn)定時(shí)間約為0.8 s;采用LADRC控制時(shí),超調(diào)量為23.53%,穩(wěn)定時(shí)間約為0.6 s;采用改進(jìn)LADRC控制時(shí),幾乎沒(méi)有超調(diào)量,穩(wěn)定時(shí)間約為0.3 s.

圖10 階躍外擾仿真結(jié)果Fig.10 Step disturbance simulation results

5.2 抵抗外擾力仿真分析

3種控制方法抗外擾力仿真結(jié)果如圖11所示.系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)定后的1 s時(shí),加入幅值為0.5 N,方向?yàn)槭箽庀蹲兇蠓较虻耐鈹_力.采用PID控制時(shí)氣隙最大變化量為0.21 mm,穩(wěn)定時(shí)間約為0.86 s;采用LADRC控制時(shí),氣隙最大變化量為0.18 mm,穩(wěn)定時(shí)間約為0.68 s;采用改進(jìn)LADRC控制時(shí),氣隙最大變化量為0.12 mm,穩(wěn)定時(shí)間約為0.41 s.

圖11 抗外擾力仿真結(jié)果Fig.11 Anti-disturbance simulation results

對(duì)比分析可得3種控制方法中控制效果最好的為改進(jìn)LADRC控制,系統(tǒng)響應(yīng)速度較快,超調(diào)量小,響應(yīng)曲線較為平滑.

6 結(jié) 論

本文通過(guò)上述分析可得如下結(jié)論:

1) 本文對(duì)單自由度可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制研究,提出了改進(jìn)LADRC控制方法,以彌補(bǔ)傳統(tǒng)PID控制動(dòng)態(tài)性能差、控制精度較低的缺點(diǎn)和傳統(tǒng)LADRC受帶寬影響導(dǎo)致抗擾能力不足的問(wèn)題.

2) 本文系統(tǒng)采用了雙閉環(huán)控制,角度環(huán)采用PD控制器,氣隙環(huán)采用LADRC控制器.通過(guò)對(duì)比分析改進(jìn)LADRC控制、傳統(tǒng)LADRC控制和經(jīng)典PID控制的階躍外擾與抗外力仿真結(jié)果,表明采用改進(jìn)LADRC控制器對(duì)可變磁路式永磁懸浮系統(tǒng)控制時(shí),超調(diào)量較小,調(diào)節(jié)時(shí)間較短,較傳統(tǒng)LADRC和傳統(tǒng)PID控制其動(dòng)態(tài)性能有所提高.