基于自適應(yīng)改進(jìn)終端滑模的船舶航向控制*

向 軍 陳永冰 李文魁

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

航向控制一直是船舶運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，其性能的好壞決定了船舶航行是否安全和節(jié)能［1］。船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型是設(shè)計(jì)航向控制器的基礎(chǔ)，但其模型參數(shù)受航速、裝載等影響而發(fā)生攝動(dòng)，再加上風(fēng)、浪、流等外部因素的干擾，要使控制器達(dá)到預(yù)期效果并不容易，傳統(tǒng)的PID 控制已經(jīng)不能滿足需要。為此，許多國內(nèi)外學(xué)者引入反步法［2～4］、模糊控制［5～7］、滑?？刂疲?～9］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［10～12］等控制算法對(duì)船舶航向控制進(jìn)行了研究和實(shí)驗(yàn)。

Du 等［13］考慮到船舶參數(shù)的不確定性，將動(dòng)態(tài)面控制和Nussbaum 增益函數(shù)結(jié)合到backstepping算法中，提出了一種新的自適應(yīng)非線性航向控制策略，克服了控制器出現(xiàn)奇異值的問題，但其并未考慮船舶外部干擾的問題；ZHANG 等［14］結(jié)合backstepping 技術(shù)設(shè)計(jì)了船舶航向自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒航向保持控制器，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)船舶航向保持控制系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償，解決了傳統(tǒng)backstepping設(shè)計(jì)中重復(fù)微分運(yùn)算的問題；針對(duì)風(fēng)浪等環(huán)境因素的影響，Islam等［15］提出了一種魯棒積分反步控制器，仿真結(jié)果表明，該控制器具有良好的響應(yīng)性能和更少的消耗，且魯棒性較強(qiáng)，但參數(shù)攝動(dòng)的問題并未解決；滑?？刂谱鳛橐环N典型的非線性系統(tǒng)控制方法，其由于自身的強(qiáng)魯棒性和抗干擾能力被廣泛應(yīng)用于船舶控制系統(tǒng)中。李偉等［16］將分?jǐn)?shù)階微積分理論與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，設(shè)計(jì)了一種基于分?jǐn)?shù)階滑模的航向保持控制器，提高了控制系統(tǒng)的精度和響應(yīng)速度，但該控制器將外界干擾當(dāng)成了已知條件；辛博鵬等［17］考慮船舶自身和外部不確定因素的干擾，在積分滑?？刂频幕A(chǔ)上，利用非線性反饋理論處理控制系統(tǒng)的反饋誤差，通過仿真顯示，其設(shè)計(jì)的航向控制器在保證控制精度的基礎(chǔ)上減少了舵機(jī)能耗，但魯棒性和響應(yīng)速度沒有得到體現(xiàn)。

本文從滑模控制的滑模面和趨近律兩方面著手，對(duì)滑模控制器進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，提出一種自適應(yīng)改進(jìn)非奇異終端滑模控制。首先為提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，對(duì)非奇異終端滑模面進(jìn)行改進(jìn)，然后將自適應(yīng)控制與滑模控制器相結(jié)合，對(duì)趨近律的調(diào)節(jié)增益進(jìn)行在線校正，解決了外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)的問題，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論驗(yàn)證了該控制器的穩(wěn)定性。

2 船舶的數(shù)學(xué)模型建立

2.1 操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一般船舶，在低頻操舵和小舵角情況下，船舶在航向保持條件下的航向動(dòng)態(tài)行為可用Nomoto模型表示，其表達(dá)式為

式中，T為時(shí)間常數(shù)，K為回轉(zhuǎn)性指數(shù)，ψ為航向角，δ為舵角。

考慮到在某些情況下，如船舶變航操作時(shí)涉及到大舵角的變化，此時(shí)為了更準(zhǔn)確地描述船舶的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，船舶數(shù)學(xué)模型中的非線性高階項(xiàng)將不可忽視。因此本文采用非線性Norrbin 模型來設(shè)計(jì)航向控制器［18～19］。

式中，α為非線性項(xiàng)系數(shù)，又稱Norrbin系數(shù)。

2.2 環(huán)境干擾模型

在船舶的航行過程中，一些外部環(huán)境因素如風(fēng)、浪、流等會(huì)引起航向偏差，因此為了驗(yàn)證航向控制器的魯棒性，建立環(huán)境干擾的數(shù)學(xué)模型是很有必要的。在本文中，主要考慮海風(fēng)與海浪。風(fēng)干擾由脈沖風(fēng)和平均風(fēng)組成，其中脈沖風(fēng)用白噪聲表示［20］，平均風(fēng)用等效舵角表示。引入風(fēng)等效舵角的目的是使仿真結(jié)果更符合船舶航向保持和跟蹤的實(shí)際要求。δwind的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式如下［21］：

式中，K0為風(fēng)壓差系數(shù)，VR為相對(duì)風(fēng)速，γR為風(fēng)舷角。由文獻(xiàn)［21］可知，6級(jí)風(fēng)下和風(fēng)舷角達(dá)到30°時(shí)，δwind=3°。

為了表示對(duì)海浪擾動(dòng)的模擬，可以使用式（4）中的簡化傳遞函數(shù)模型來模擬6 級(jí)風(fēng)下的波浪擾動(dòng)，這是一個(gè)由有限頻帶內(nèi)的白噪聲驅(qū)動(dòng)的二階振蕩系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為［22］

3 航向控制器設(shè)計(jì)

3.1 非奇異終端滑模控制器

令x1=ψ，x2=r，u=δ，系統(tǒng)輸出y為船舶航向角ψ，則船舶航向控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

式中，β＞0，p、q為正奇數(shù)且滿足1 ＜p/q＜2。選用等速趨近律作為該滑模趨近律：

其中，ε＞0，則聯(lián)立式（5）、式（6）和式（7）可得NTMSC控制律為

從式（6）中可知，1-p/q＜0，故當(dāng)e2=0 時(shí)，上式存在奇異問題且w未知。參照文獻(xiàn)［23］將控制律改為

定理1：考慮總干擾d未知，假設(shè)其存在上界D（D＞0 且為常數(shù)）即 |d|≤D，則當(dāng)ε≥D時(shí)，在滑?？刂坡桑?）的作用下，控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：選取Lyapunov 函數(shù)V1=s2/2，可知V1＞0，對(duì)V1求導(dǎo)可得：

通過上述推導(dǎo)可知，只有當(dāng)ε≥D時(shí)，，此時(shí)由Lyapunov判據(jù)可知，該控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.2 自適應(yīng)改進(jìn)非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為了提高系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)的收斂速度，保持控制律的非奇異性，本文提出一種改進(jìn)的終端滑模超曲面：

其中，λ為設(shè)計(jì)常數(shù)，取λ≥1，1 ＜p/q＜2。

則

與式（9）類似，航向控制律可設(shè)計(jì)為

定理2：系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差e1在控制律式（13）的作用下，可在有限時(shí)間ts內(nèi)從滑模面任意初始位置e1(0)≠0 收斂到平衡點(diǎn)e1(ts)=0，其中：

證明：根據(jù)式（11），令s=0，得：

對(duì)式（15）進(jìn)行變換，則有：

即：

則有：

其中，e1(0)為系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差在滑模面上的初始值，ts為滑模面上的系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差收斂到平衡點(diǎn)時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間。

由定理1 可知，式（13）中的趨近律增益ε的取值與系統(tǒng)干擾項(xiàng)的上界有關(guān)，然而在實(shí)際控制中上界D大部分是未知的。ε取值過大，會(huì)加劇系統(tǒng)輸出的抖振問題，使得系統(tǒng)的航向控制精度降低、增加能耗；ε取值過小，無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，為合理調(diào)節(jié)ε的大小，在保證系統(tǒng)抗干擾能力和穩(wěn)態(tài)性能的同時(shí)改善系統(tǒng)輸出的抖振問題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律如下：

式中，γ、χ均為自適應(yīng)律的調(diào)節(jié)增益，γ＞0，χ＞0。|s|和兩項(xiàng)根據(jù) |s|的大小分別占據(jù)主導(dǎo)地位，當(dāng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，|s|較大，自適應(yīng)律近似為γ|s|，調(diào)節(jié)速度較快；當(dāng)靠近滑模面甚至在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即 |s|趨于0，較大且有上限χ，不會(huì)出現(xiàn)過度調(diào)節(jié)的問題，從而有效防止劇烈抖振。則依據(jù)式（13），AINTMSC控制律可表示為

其中，Θ(s)為光滑連續(xù)函數(shù)，用其取代符號(hào)函數(shù)sgn(s)可有效減弱系統(tǒng)輸出的抖振現(xiàn)象，其公式為

其中，Δ 為很小的正常數(shù)。

定理3：假設(shè)總干擾d滿足條件：|d|≤D（D＞0 且為常數(shù)），則當(dāng)εm≥D（εm為ε的上界）時(shí)，在控制律式（21）和自適應(yīng)律式（20）的作用下，控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明：令，故。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對(duì)V2求導(dǎo)，將式（20）、式（21）代入式（22），整理得：

故當(dāng)εm≥D時(shí)，，根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性定理可知，該控制系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的航向跟蹤誤差收斂到零。

4 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的AINTMSC 控制算法的有效性和控制器的控制性能，應(yīng)用Matlab/Simulink 進(jìn)行船舶航向控制的仿真實(shí)驗(yàn)，分別使用該算法與常規(guī)的NTMSC 控制算法設(shè)計(jì)控制器。設(shè)置兩種控制器的共同參數(shù)β=0.00125、p/q=5/3。本文以文獻(xiàn)［24］中的“育龍”號(hào)船舶為研究對(duì)象，其參數(shù)如表1所示，當(dāng)船速為7.7m/s 時(shí)，K=0.478，T=216，α=30。

表1 “育龍”船舶有關(guān)參數(shù)

實(shí)驗(yàn)1：船舶直航，設(shè)置初始航向?yàn)?°，期望航向?yàn)?0°，無外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)，仿真時(shí)間500s，則航向角與舵角變化如圖所示。由圖1 可知，當(dāng)無外界干擾和參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，在NTMSC 和AINTMSC 的控制下，系統(tǒng)均能收斂至期望航向且無超調(diào)現(xiàn)象，收斂時(shí)間分別為82s、181s，后者收斂更快，此外，AINTMSC 控制下的舵角變化范圍為-5°～19°，比NTMSC更小。

圖1 無干擾時(shí)AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對(duì)比曲線

實(shí)驗(yàn)2：船舶直航，初始條件不變，外部干擾為六級(jí)風(fēng)干擾和其作用下的海浪干擾，仿真時(shí)間500s，則航向角與舵角變化如圖2所示。當(dāng)存在風(fēng)浪干擾時(shí)，在AINTMSC 控制下，船舶仍能跟蹤期望航向且航向穩(wěn)定，抗干擾性強(qiáng)；而在NTMSC 控制下，系統(tǒng)受外部干擾影響較大，航向波動(dòng)范圍在28.1°和31.4°之間。

圖2 存在風(fēng)浪干擾時(shí)AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對(duì)比曲線

實(shí)驗(yàn)3：船舶直航，初始條件和外部干擾不變，為模擬參數(shù)攝動(dòng)，對(duì)船舶模型參數(shù)進(jìn)行處理，T和α在原值的基礎(chǔ)上乘以2，K在原值的基礎(chǔ)上除以2，仿真時(shí)間500s，此時(shí)航向角與舵角變化如圖3所示。當(dāng)存在風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)時(shí)，NTMSC 控制下的航向變化曲線出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，航向上下波動(dòng)；而AINTMSC 控制下的航向變化曲線受影響較小，航向穩(wěn)定且收斂較快，前期舵角變化幅值比NTMSC小。

圖3 存在風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)時(shí)AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對(duì)比曲線

實(shí)驗(yàn)4：前三個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)均為航向保持實(shí)驗(yàn)，為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)控制器的適用性，本文還進(jìn)行變航向的航向跟蹤實(shí)驗(yàn)。以正弦波為輸入信號(hào)，模擬航向變化，設(shè)置其幅值為30°，周期為250s，則航向角與舵角變化如圖所示。從圖4 可以看出，存在風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)的情況下，即使航向連續(xù)變化，AINTMSC控制下的船舶同樣能準(zhǔn)確穩(wěn)定跟蹤期望航向，舵角變化合理。

圖4 變航向下存在風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)時(shí)AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對(duì)比曲線

為了進(jìn)一步量化控制效果，本文選取兩種性能指標(biāo)來評(píng)估控制器的性能，分別為航向誤差的絕對(duì)平均值（Mean Absolute Course Error，MACE）和輸入舵角的絕對(duì)平均值（Mean Absolute Rudder Input，MARI），具體公式如下［25］：

其中，MACE 反映了系統(tǒng)輸出的響應(yīng)性能和誤差，MACE 越小，說明響應(yīng)越快，誤差越小；MARI反映了控制輸入舵角的能耗，MARI越小，說明能耗越低。

如表2所示，控制仿真結(jié)果的定量比較驗(yàn)證了本文所提算法的優(yōu)越性。AINTMSC 的響應(yīng)性能指標(biāo)MACE 和能耗性能指標(biāo)MARI 在四個(gè)實(shí)驗(yàn)中均低于NTMSC，說明在AINTMSC 控制下，無論是否存在風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)，船舶航向均能更快地跟蹤期望值且精度更高，舵機(jī)的總能耗更低。

表2 三種仿真下NTMSC與AINTMSC的性能指標(biāo)對(duì)比

5 結(jié)語

本文充分考慮船舶本身參數(shù)不確定性因素和外界未知干擾，在常規(guī)的非奇異終端滑模控制基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的終端滑模超曲面，在保證系統(tǒng)非奇異的基礎(chǔ)上提高了收斂速度，然后將該滑模控制與自適應(yīng)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)趨近律調(diào)節(jié)增益的自適應(yīng)校正，從而增強(qiáng)了控制器的抗干擾能力。仿真結(jié)果表明，AINTMSC 使航向的收斂速度和精度明顯提高，航向跟蹤曲線平穩(wěn)且無超調(diào)現(xiàn)象，船舶對(duì)外界風(fēng)浪干擾和參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性很強(qiáng)，且能耗也有一定程度的降低，是一種控制性能很好的航向控制器。