基于多視點(diǎn)和條紋的高反射表面面形測量技術(shù)

王志卓，盧榮勝

（合肥工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，合肥 230009）

0 引言

高反射表面三維測量是工業(yè)測量的重要組成部分，且隨著汽車組裝、精密拋光、自由曲面加工等行業(yè)的不斷發(fā)展，對于飛機(jī)尾翼、液晶顯示器面板、汽車車身外殼以及擋風(fēng)玻璃等大尺寸、大曲率工業(yè)零件的測量需求愈發(fā)強(qiáng)烈［1-4］。但由于其與漫反射物體表面光學(xué)特性存在較大差異，傳統(tǒng)的三維測量手段［5-6］難以達(dá)到理想的效果。

現(xiàn)階段，高反射表面三維形貌測量手段按照其數(shù)據(jù)獲取方式不同可分為接觸式測量［5-6］和非接觸式測量［7-8］兩大類。其中接觸式測量方法雖然不受被測物表面光學(xué)性質(zhì)的影響，但往往只能實(shí)現(xiàn)單點(diǎn)測量，尤其是對大尺寸三維形貌的測量，測量速度慢、耗時(shí)時(shí)間長。因此從20 世紀(jì)50 年代開始，研究人員開發(fā)出一系列非接觸式表面形貌測量方法，其中光學(xué)三維測量方法由于其精度高、速度快、無接觸的特點(diǎn)受到眾多科研工作者的推崇。其中，相干法［9-10］利用被測物體表面的形貌變化調(diào)制測量光與參考光，令兩者之間產(chǎn)生相位差，形成干涉條紋，解算干涉條紋的相位信息，進(jìn)而獲取物體表面三維形貌。該方法雖然測量精度高，但是量程小，僅適用于微小尺寸的測量，且測量自由曲面和結(jié)構(gòu)化曲面困難。相位輪廓法［11-12］測量技術(shù)成熟，應(yīng)用范圍廣泛。其主要由投影裝置、被測物體以及CCD 相機(jī)組成，采用在被測高反面噴涂顯影劑的方式，將高反射表面轉(zhuǎn)化為漫反射表面。然而，噴涂的顯影劑使零件表面粗糙度發(fā)生了變化并且掩蓋了微小形貌，這無疑降低了精度。而相位偏折法［13-16］作為一種近年來發(fā)展起來的高反表面光學(xué)測量手段，由于其精度高、敏感性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)受到眾多研究人員的青睞。該方法通常使用顯示屏顯示正弦光柵條紋，用相機(jī)采集受高反表面反射調(diào)制的變形條紋圖像，通過解碼獲得包含被測面形貌信息的像素匹配關(guān)系，進(jìn)而建立測面特征點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而重建輪廓。XIAO Y L［13］利用相移偏折法建立像素匹配與被測面特征點(diǎn)法向量的數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)行了基于單視點(diǎn)的光學(xué)反射鏡表面的缺陷檢測。YUAN T［14］、ZHOU T 等［15］采用相關(guān)迭代補(bǔ)償算法對高反射表面面形進(jìn)行了恢復(fù)。NGUYEN M［16］通過改進(jìn)標(biāo)定算法進(jìn)一步提高了測量速度。然而，傳統(tǒng)對相位偏折法的研究大多局限在小尺寸、小曲率測量的實(shí)驗(yàn)室場景下，在面對大尺寸、大曲率的工業(yè)高反表面測量場景時(shí)顯得捉襟見肘。

其主要問題在于：一方面，相位偏折測量系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)參數(shù)的標(biāo)定精度有著很高的要求，隨著待測表面尺寸的增加，相機(jī)的視場與參考屏幕的尺寸也不可避免地增大，各類誤差對最終標(biāo)定精度的影響也會(huì)隨之增加。對于單視點(diǎn)系統(tǒng)而言，由于鏡面測量是一種離軸配置系統(tǒng)，對幾何校準(zhǔn)誤差非常敏感。因此對于高精度測量需要一種高精度且魯棒性好的標(biāo)定過程，包括相機(jī)內(nèi)參標(biāo)定和幾何標(biāo)定，以精確確定屏幕、攝像機(jī)和被測表面的相對位置。雖然常規(guī)相機(jī)標(biāo)定技術(shù)已經(jīng)較為成熟，但用于識(shí)別屏幕和相機(jī)之間相對位置的幾何校準(zhǔn)仍在研究中。其中KUMAR R K［17］提出利用旋轉(zhuǎn)矩陣的列向量與物體和鏡像對應(yīng)點(diǎn)連線所在方向向量的正交性約束，列出線性方程進(jìn)行求解，每組方程需至少5 幅標(biāo)定圖像。但是計(jì)算的位置參數(shù)與真實(shí)值有較大誤差，不利于后續(xù)的參數(shù)優(yōu)化。TAKAHASHI K［18］基于正交約束從三個(gè)鏡像圖像中返回三個(gè)三點(diǎn)透視問題（Perspective-three-point Problem，P3P）的唯一解。但是若觀察到參考物體小于某一尺寸，則會(huì)得到錯(cuò)誤解。HESCH J A［19］提出的方法也是從三個(gè)鏡像圖像中返回三個(gè)P3P 問題的解，但只能通過重新投影誤差評估后，從64 個(gè)候選解中選擇一個(gè)最優(yōu)解。XIN L I［20］通過鏡像相機(jī)旋轉(zhuǎn)矩陣之和的SVD 分解來直接估計(jì)相機(jī)旋轉(zhuǎn)矩陣，并通過求解一個(gè)超定的線性方程組來計(jì)算相機(jī)平移向量，以最小化物體空間共線性誤差，但是對噪聲較為敏感，算法穩(wěn)定性差。對此，本文使用一種改進(jìn)的標(biāo)定方法：首先通過多次平移液晶顯示器（Liquid Crystal Display，LCD）屏幕上棋盤格圖像以及改變光學(xué)平臺(tái)上平面鏡傾斜角獲得多組棋盤格圖像，利用張正友標(biāo)定法［21］獲得鏡像相機(jī)內(nèi)參與外參；其次利用文獻(xiàn)［17］中提出的基于棋盤格圖像間的正交性約束，來確定LCD 屏幕到真實(shí)相機(jī)的外部參數(shù)；最后，針對LCD 屏幕上棋盤格靶點(diǎn)的共平面性添加約束，利用列文伯格-馬爾夸特（Levenberg-marquardt，LM）優(yōu)化方法獲得真實(shí)相機(jī)與LCD 屏幕之間外部參數(shù)的最優(yōu)解。

另一方面，由于被測高反表面每一點(diǎn)的法線方向不同，反射方向也不相同，傳統(tǒng)的偏折法測量系統(tǒng)［13-16］很難在一個(gè)位置捕捉到受待測物體調(diào)制的整體反射光線，尤其對大尺寸、大曲率高反表面進(jìn)行測量時(shí)由于存在投影編碼盲點(diǎn)或視覺盲區(qū)，導(dǎo)致測量系統(tǒng)無法一次獲得大范圍的測量結(jié)果，從而降低了測量效率。一些研究利用相機(jī)間較大的重疊視場，并通過點(diǎn)云配準(zhǔn)，也可以基于以上方法達(dá)到多視點(diǎn)的效果，但是通過重疊視場擴(kuò)大的重建范圍有限，且拼接過程耗費(fèi)時(shí)間［22］。TARINI M［23］通過迭代估計(jì)某一點(diǎn)的法線和該法線附近點(diǎn)的深度來恢復(fù)曲面特征點(diǎn)的絕對坐標(biāo)，但是需要給定初始深度和法向量。LIU M［24］則提出一種通過投影單幅棋盤格圖像進(jìn)行鏡面重建的方法，建立參考平面棋盤格靶點(diǎn)三維坐標(biāo)與棋盤格靶點(diǎn)二維像素坐標(biāo)的反射對應(yīng)，參數(shù)化鏡面深度，利用多項(xiàng)式擬合鏡面，迭代估計(jì)鏡面深度。但是受棋盤格靶點(diǎn)疏密程度限制，無法得到完整連續(xù)的點(diǎn)云。本文方法與文獻(xiàn)［23-24］相關(guān)，利用相移條紋，在參考平面位姿已知的情況下，通過相位解包裹建立歸一化像平面二維特征點(diǎn)、參考平面三維特征點(diǎn)以及光亮表面反射點(diǎn)之間的密集反射對應(yīng)，再通過將密集折反射對應(yīng)關(guān)系建模為關(guān)于被測面深度的二次多項(xiàng)式，將深度信息作為方程組的解求出，獲得被測面相對于相機(jī)的絕對位置坐標(biāo)初值，最后利用反投影模型建立代價(jià)函數(shù)并使用LM 算法對其進(jìn)行約束，獲得精確結(jié)果。并通過設(shè)置相機(jī)陣列，同時(shí)從多角度對被側(cè)面進(jìn)行基于絕對坐標(biāo)的重建，可以有效地在保證局部測量準(zhǔn)確度的同時(shí)，通過坐標(biāo)系統(tǒng)一，更快地實(shí)現(xiàn)對大尺寸、大曲率高反射面的精確測量。

要組成多視點(diǎn)系統(tǒng)，并統(tǒng)一所有視點(diǎn)的坐標(biāo)系，還需完成全局標(biāo)定。通常工業(yè)上大部分相機(jī)全局標(biāo)定依賴于相機(jī)之間具有較大的公共視場，并通過在重疊視場放置靶標(biāo)對多相機(jī)之間的外參系數(shù)進(jìn)行計(jì)算［25］。然而這就制約了系統(tǒng)的整體測量范圍，并限制了多視點(diǎn)系統(tǒng)的靈活性。并且相機(jī)的焦點(diǎn)由于鏡面性質(zhì)在被測面所成的虛像上而不在被測面上，這也為放置靶標(biāo)帶來了不便。也有學(xué)者［26］借助經(jīng)緯儀等高精度設(shè)備構(gòu)建全局坐標(biāo)系，確定相機(jī)與高精密設(shè)備之間的位置關(guān)系實(shí)現(xiàn)全局標(biāo)定。這種方法測量精度高，但是高精度設(shè)備價(jià)格昂貴且操作復(fù)雜。文中，由于在各視點(diǎn)進(jìn)行幾何標(biāo)定時(shí)，各相機(jī)均分別通過鏡子間接觀察到唯一的參考平面，并采集圖像，因而通過調(diào)整鏡子角度，并保持參考平面靜止，即可利用參考平面的唯一性，在完成各視點(diǎn)幾何標(biāo)定之后，獲得多視點(diǎn)系統(tǒng)的全局參數(shù)初值。同時(shí)提出一種優(yōu)化方法，在完成初步全局標(biāo)定之后，利用多視點(diǎn)系統(tǒng)拍攝用于標(biāo)定的標(biāo)準(zhǔn)平面鏡進(jìn)行重建并拼接，然后利用平面鏡的平面性優(yōu)化全局參數(shù)。

本文利用多視點(diǎn)系統(tǒng)擴(kuò)大對高反射表面的測量范圍并解決大曲率零件測量的死角問題。提出了一種多視點(diǎn)組合測量的方法，基于絕對點(diǎn)云坐標(biāo)，將各視點(diǎn)的偏折測量結(jié)果拼接起來。同時(shí)為了約束系統(tǒng)誤差，提出了改進(jìn)的單視點(diǎn)系統(tǒng)標(biāo)定與系統(tǒng)全局標(biāo)定方法，通過利用一塊標(biāo)準(zhǔn)平面鏡即可完成全部標(biāo)定，使多視點(diǎn)系統(tǒng)得到精確的測量結(jié)果。

1 系統(tǒng)測量原理

將多視點(diǎn)系統(tǒng)中的每一個(gè)視點(diǎn)看作一個(gè)獨(dú)立的測量系統(tǒng)，其原理如圖1（a）。使用LCD 顯示屏作為參考平面，并向被測面投射相移條紋，然后采集反射后的調(diào)制圖案，使用倍頻多步相移法求取絕對相位，建立參考平面（屏幕）特征點(diǎn)空間坐標(biāo)與歸一化成像平面上圖像點(diǎn)之間的密集折返對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)LIU M 的研究［24］，可以將鏡面上的特征點(diǎn)深度s參數(shù)化，通過多項(xiàng)式求解獲得初值。然后把鏡面面型測量轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題：通過使參考平面上三維特征點(diǎn)與通過鏡面反投影的對應(yīng)點(diǎn)之間的三維誤差最小，迭代地求解特征點(diǎn)精確深度。

圖1 鏡面點(diǎn)深度測量原理Fig.1 Mirror point depth measurement

圖1（a）中，o為相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)，m為LCD 屏幕上棋盤格靶點(diǎn)坐標(biāo)，p為鏡面反射點(diǎn)坐標(biāo)，v=(x，y，1)為歸一化像平面坐標(biāo)，m和v稱為反射對應(yīng)。l為p處的反射光線，i為入射光線，n為p點(diǎn)處的法向量。設(shè)屏幕坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量分別為R和T。

根據(jù)文獻(xiàn)［24］，可以將被測面特征點(diǎn)p相對于相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)o的深度s建模為一個(gè)偏微分方程組，并通過在已知的圖像平面每一點(diǎn)(x，y)求解該方程組，獲得關(guān)于深度s的多項(xiàng)式。

式中，系數(shù)D、E和F取決于標(biāo)定獲得的反射對應(yīng)關(guān)系。一般該方程的兩個(gè)解中只存在一個(gè)真值，可以將其作為初值。由此即可得到鏡面反射點(diǎn)p與歸一化像平面上點(diǎn)v的關(guān)系為

相應(yīng)地，p點(diǎn)所在的法向量n可表示為

設(shè)歸一化圖像點(diǎn)坐標(biāo){v1，v1，…，vm}和參考平面上的點(diǎn)坐標(biāo){m1，m2，…，mm}已知，反投影原理如圖1（b）。設(shè)鏡面上3D 反射點(diǎn)對應(yīng)于歸一化像平面坐標(biāo)(xi，yi)T可表述為pi=si(xi，yi，1)T。入射光線方向單位向量為。 反射光線方向單位向量為?，其中令，易知r3表示屏幕坐標(biāo)系Z軸方向的單位向量（屏幕所在平面的法向量）在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。T表示相機(jī)坐標(biāo)系相對于屏幕坐標(biāo)系的平移向量。設(shè)反射光線li與LCD 屏幕平面交于點(diǎn)，則可表示為

對于最小化問題式（5），使用LM 優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算，獲得精確的鏡面的深度s。將結(jié)果帶入式（1），即可獲得被測面在相機(jī)坐標(biāo)系下的局部絕對點(diǎn)云坐標(biāo)。

為了足夠密集的獲取屏幕像素點(diǎn)與成像平面圖像點(diǎn)之間的對應(yīng)關(guān)系。如圖2 所示，采用具有四步相移的正弦條紋，并通過在屏幕上分別顯示水平和豎直兩個(gè)方向相互正交的條紋，實(shí)現(xiàn)對屏幕上每個(gè)像素點(diǎn)編碼。其同方向上相鄰兩幅條紋圖相位相差為，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖2 相位偏折法原理Fig.2 Principle of phase deflection method

式中，n為條紋幅數(shù)，分別取1、2、…、4，由式（6）可聯(lián)立方程組求解得到

式（7）求解出的相位值被包裹在[ -π，π)之間，稱為相位主值，通過主值相位恢復(fù)其絕對相位稱為相位解包裹過程。由于多頻時(shí)間相位展開可提高絕對相位解包裹的精度且易于實(shí)現(xiàn)［27-28］，因此采用該方法以實(shí)現(xiàn)對顯示器像素的編碼。

2 測量系統(tǒng)標(biāo)定

2.1 單視點(diǎn)標(biāo)定原理

要達(dá)到測量目的，還需先對各單視點(diǎn)相機(jī)的內(nèi)外參進(jìn)行標(biāo)定，目前相機(jī)內(nèi)參標(biāo)定已有較成熟的工業(yè)現(xiàn)場標(biāo)定手段，如張正友標(biāo)定法［21］，因此本文默認(rèn)內(nèi)參已知。外參標(biāo)定則需要考慮到鏡面測量時(shí)，相機(jī)往往不能直接觀察到參考平面的問題，作者在之前的工作中［29］，通過使用平面鏡作為輔助器材，使相機(jī)間接觀察屏幕上靶點(diǎn)從而完成了相機(jī)和LCD 屏的位姿標(biāo)定。

如圖3，在相機(jī)坐標(biāo)系中，設(shè)光學(xué)平臺(tái)平面為Π，平面鏡表面單位法向量為n，相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)C到平面鏡的距離為d，鏡像特征點(diǎn)到平面鏡的距離為t。則基于鏡面反射，實(shí)際物點(diǎn)P和虛擬像點(diǎn)P'之間的關(guān)系可表示為

圖3 LCD 屏幕標(biāo)定原理Fig.3 LCD screen calibration principle diagram

式中，R′、T′為鏡像靶點(diǎn)到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，可通過張正友標(biāo)定法獲得，R和T分別為屏幕坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量。一般針孔相機(jī)模型為

式中，v=[xy1]T為歸一化像平面坐標(biāo)，I為三階單位矩陣，PS為屏幕靶點(diǎn)坐標(biāo)。將式（8）、（9）結(jié)合可以得到LCD 屏幕到相機(jī)的姿態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

根據(jù)式（10），至少需采集3 個(gè)鏡面反射圖像計(jì)算屏幕坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T以及平面鏡參數(shù)n、d。通過改變平面鏡傾斜角度，便可以獲得不同位置的鏡面反射圖像。每一組鏡面反射圖像（至少三幅），令j，j'∈{1，2，3}，R'j表示第j個(gè)平面鏡位置反射圖像的旋轉(zhuǎn)矩陣，定義單位矢量mjj'與單位法向量nj和nj'垂直，即可得

式中，α為比例系數(shù)。進(jìn)一步可列出

式中，R'j?R'j′T是一個(gè)特殊的正交矩陣，它有2 個(gè)復(fù)共軛特征值，且其中1 個(gè)特征值等于1。所以R'j?R'j'T的特征值為1 對應(yīng)的特征向量，即mjj'。根據(jù)特征向量的叉積性質(zhì)，可以計(jì)算三個(gè)平面鏡位置分別對應(yīng)的單位法向量。

求出對應(yīng)3 個(gè)平面鏡位置的單位法向量后，根據(jù)式（8）求解屏幕坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣Rj。在無噪聲的理想情況下，分別計(jì)算得到的三個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣Rj應(yīng)該是相等的。但是實(shí)際上由于噪聲的影響，三者并不相等。所以需要對旋轉(zhuǎn)矩陣求平均。

旋轉(zhuǎn)矩陣平均為

剩余參數(shù)[T，d1，d2，d3]T可以根據(jù)式（10）構(gòu)建線性方程組求解，即

式（17）等價(jià)于

式中，D為大小9×6 的已知矩陣，c是一個(gè)大小9×1 的已知向量。這個(gè)線性系統(tǒng)中x的最小二乘解為x=D-1?c。其中D-1為D的廣義逆矩陣。至此，屏幕坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T以及平面鏡參數(shù)n、d全部求出。

觀察式（18）易知，線性解通常對噪聲敏感。根據(jù)課題組之前的工作［30］，通過同時(shí)調(diào)整旋轉(zhuǎn)矩陣R、平移向量T、平面鏡法向量n和相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)到平面鏡的距離d，并添加共平面約束，使反投影的重投影誤差最小。如圖4，將LCD 屏幕上棋盤格圖像移動(dòng)W次，每個(gè)棋盤格位置所對應(yīng)的平面鏡轉(zhuǎn)動(dòng)M次（至少3 次）。每個(gè)棋盤格共N個(gè)特征角點(diǎn)。令R'ji表示第j個(gè)位置的棋盤格在第i個(gè)平面鏡位置中所成鏡像到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣。同理，為平移向量，nji表示鏡面法向量，Rj表示第j個(gè)棋盤格坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，Tj表示平移向量。dji表示相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)到平面鏡的距離。PSk表示棋盤格中第k個(gè)特征角點(diǎn)在屏幕坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，Z軸方向坐標(biāo)為0。qjik表示相機(jī)拍攝第j個(gè)位置棋盤格在第i個(gè)平面鏡位置中所成鏡像的第k個(gè)角點(diǎn)像素坐標(biāo)，為反投影點(diǎn)坐標(biāo)。反投影過程可表示為

圖4 標(biāo)定流程Fig.4 Calibration process

式中，λji表示第j個(gè)位置棋盤格在第i個(gè)平面鏡位置處的棋盤格鏡像特征點(diǎn)從相機(jī)坐標(biāo)系歸一化到像平面坐標(biāo)系的非零縮放因子。

式中，z為棋盤格鏡像特征點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系下的Z方向坐標(biāo)，A表示相機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣。所以反投影的重投影誤差函數(shù)可表示為

由于棋盤格在LCD 屏幕上移動(dòng)W次，該屏幕可視為標(biāo)準(zhǔn)平面。因此還需添加W個(gè)棋盤格圖像之間的共平面約束。Pjk表示第j個(gè)位置棋盤格中第k個(gè)特征角點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中坐標(biāo)。

設(shè)Perr為MATLAB 平面擬合函數(shù)：[fitresult，Perr] = createFit(dx， dy， dz) 的擬合效果評價(jià)值，即為平均最小距離誤差。Perr值越小，共平面效果越好。該函數(shù)輸入為Pjk。此外，由于棋盤格坐標(biāo)系與LCD 屏幕坐標(biāo)系的共平面特性，Rj，j∈{1，...，W}理論上是相等的。所以由式（15）和（16）可計(jì)算出平均旋轉(zhuǎn)矩陣Rav。計(jì)算Rj與Rav的誤差Rerr為

Rerr越小，共平面效果越好。同理，在光學(xué)平臺(tái)上W個(gè)傾斜角為零的平面鏡位置之間也具有共平面特性，所以對應(yīng)的法向量nj1理論上也是相等的。同樣可以計(jì)算出平均法向量nav，有

理想情況下Perr=0，Rerr=0，Nerr=0。所以代價(jià)函數(shù)可視為兩部分組成：重投影誤差項(xiàng)Errpro和共平面約束項(xiàng)(Perr、Rerr、Nerr)。因此，根據(jù)拉格朗日乘子法，最后建立等式約束情況下的單視點(diǎn)外參優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

式中，qjik表示相機(jī)拍攝第j個(gè)位置棋盤格在第i個(gè)平面鏡位置中所成鏡像的第k個(gè)角點(diǎn)像素坐標(biāo)。PSk表示棋盤格中第k個(gè)特征角點(diǎn)在屏幕坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。Rj、Tj、nji、dji為待優(yōu)化參數(shù)。λre、λp、λr、λn分別為Erepro項(xiàng)、Perr項(xiàng)、Rerr項(xiàng)和Nerr項(xiàng)的拉格朗日乘子，也叫罰函數(shù)因子。LM 迭代優(yōu)化求解該最小化問題，獲取最佳外參，確定參考平面與相機(jī)間位姿關(guān)系。

2.2 全局標(biāo)定原理

為了使測量范圍更廣，從而引入一個(gè)以上的視點(diǎn)時(shí)，需進(jìn)行全局標(biāo)定，將多個(gè)視點(diǎn)統(tǒng)一到一個(gè)坐標(biāo)系下。如圖5（a），使參考平面（LCD 屏幕）靶標(biāo)保持靜止，在光學(xué)平臺(tái)上放置一塊鏡子并調(diào)整角度，使各無視場重疊相機(jī)通過鏡子間接觀察到唯一的參考平面，則可達(dá)到與在重疊視場放置靶標(biāo)同樣的效果。

圖5 全局標(biāo)定原理Fig.5 Global calibration principle

式中，Pi、Pj分別為屏幕上靶點(diǎn)PS在相機(jī)i、j坐標(biāo)系下坐標(biāo)，利用2.1 節(jié)標(biāo)定LCD 屏幕的方法，可通過采集不同角度鏡子反射的屏幕靶點(diǎn)圖像獲得。由于參考平面靶標(biāo)的唯一性，可以利用式（26）求得兩個(gè)無視場重疊相機(jī)之間的姿態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系Rji和Tji。

以此類推，如圖5（b），多視點(diǎn)系統(tǒng)可分解為若干組雙鏡頭系統(tǒng)，只要保證各視點(diǎn)標(biāo)定時(shí)的屏幕靶標(biāo)一致，即可逐步完成全局標(biāo)定。

由于受到噪聲影響，全局標(biāo)定得到的參數(shù)并不能直接使用。以雙相機(jī)系統(tǒng)為例，假設(shè)Pki、Pkj分別表示棋盤格第個(gè)k靶點(diǎn)在i、j號(hào)相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，分別表示相機(jī)i坐標(biāo)系向相機(jī)j坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)平移矩陣，則基于式（26），Pkj通過相機(jī)可以構(gòu)造誤差函數(shù)

利用標(biāo)準(zhǔn)平面鏡的平面性質(zhì)，使用多視點(diǎn)系統(tǒng)對放置在光學(xué)平臺(tái)上的標(biāo)準(zhǔn)平面鏡進(jìn)行測量，理論上任意雙相機(jī)系統(tǒng)統(tǒng)一坐標(biāo)系之后，對拼接后的重建結(jié)果使用平面擬合函數(shù)，擬合誤差應(yīng)該為0。據(jù)此可以利用該先驗(yàn)性質(zhì)建立約束進(jìn)一步優(yōu)化全局標(biāo)定參數(shù)，使用MATLAB 平面擬合函數(shù)擬合效果評價(jià)值作為約束，即

式中，輸入為點(diǎn)云坐標(biāo)。最后根據(jù)拉格朗日乘子法，建立等式約束情況下的全局參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

同理，λt、λc為罰函數(shù)因子，LM 法迭代優(yōu)化求解該最小化問題，獲取最佳全局外參，確定相機(jī)間位姿關(guān)系。

整個(gè)標(biāo)定過程如圖6。通過利用鏡像靶點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)定，獲得各視點(diǎn)在鏡像下的外參R′，T′；利用式（13）計(jì)算特殊正交矩陣R'j?R'j′T（j=1，…，3）特征值1 對應(yīng)的特征向量mjj'，然后利用式（14）計(jì)算每個(gè)棋盤格位置對應(yīng)的三個(gè)平面鏡位置的法向量nj，再通過求解式（8）、（17）得到各視點(diǎn)的真實(shí)外參R，T與鏡面參數(shù)T，dj；將得到的外參與鏡面參數(shù)作為式（15）優(yōu)化函數(shù)的初值，并添加共平面約束進(jìn)行迭代之后，便能得到精確的外參，從而完成真實(shí)相機(jī)標(biāo)定；最后，利用式（26）得到全局外參初值，將各視點(diǎn)統(tǒng)一在唯一坐標(biāo)系下，并對標(biāo)準(zhǔn)平面鏡進(jìn)行測量，利用優(yōu)化函數(shù)（29）得到精確的全局參數(shù)；在每個(gè)視點(diǎn)，重復(fù)上述過程，利用式（26）將各視點(diǎn)重建結(jié)果統(tǒng)一在某一個(gè)主視點(diǎn)下，達(dá)成多視點(diǎn)測量的效果。

圖6 標(biāo)定與測量流程Fig.6 Flowchart of the calibration and measurement

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證所提出的標(biāo)定及測量方法的準(zhǔn)確性，設(shè)計(jì)了多視點(diǎn)視覺系統(tǒng)測量實(shí)驗(yàn)。圖7 展示了整個(gè)測量系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)：光學(xué)平臺(tái)、標(biāo)準(zhǔn)平面鏡、LCD 顯示屏以及4 組相機(jī)。其中LCD 顯示屏的型號(hào)為戴爾P1917S，屏幕分辨率為1 280 pixel×1 024 pixel，像元尺寸為0.293 mm×0.293 mm，四個(gè)相機(jī)的型號(hào)為大華A5201MG50，相機(jī)的分辨率為1 920 pixel×1 200 pixel，像元尺寸為4.8 μm×4.8 μm。配合Computar 工業(yè)鏡頭使用，鏡頭型號(hào)為M1620-MPW2。

圖7 多視點(diǎn)測量系統(tǒng)Fig.7 Multi-view measurement system

首先，使用任意相鄰兩組相機(jī)對一塊球面半徑為467.5 mm 的球面透鏡進(jìn)行測量并進(jìn)行拼接。圖8（a）為無約束的重建結(jié)果，可以觀察到明顯的縫隙，這是由于視點(diǎn)幾何標(biāo)定和全局標(biāo)定過程中產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差引起的，如圖6 所示，該測量系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，前期標(biāo)定過程中的誤差在測量中會(huì)成倍放大。圖8（b）為添加約束的重建效果觀察到縫隙消失，重建表面光滑，證明了所提出共面約束的有效性。因此后續(xù)試驗(yàn)均采用添加約束的標(biāo)定參數(shù)。

圖8 平面約束對重建的影響Fig.8 The influence of plane constraint on reconstruction

如圖9，將一塊500 mm×500 mm 尺寸的標(biāo)準(zhǔn)平面鏡和球面半徑為467.5 mm 的球面透鏡分別放在光學(xué)平臺(tái)上，利用多視點(diǎn)系統(tǒng)對其進(jìn)行測量，以驗(yàn)證本方案在大尺寸、大曲率測量場景下的有效性。其中，平面鏡制造工藝為前鍍膜浮法玻璃，面型誤差小于0.002 mm，可視為標(biāo)準(zhǔn)平面，實(shí)驗(yàn)中使用最多4 相機(jī)組成的陣列進(jìn)行測量。與之相比，具有更大曲率的球面透鏡面型精度為四分之一波長（587.6 nm），可視為標(biāo)準(zhǔn)球面鏡，實(shí)驗(yàn)中使用左右相機(jī)組成的雙相機(jī)陣列進(jìn)行測量。相機(jī)測量視角與結(jié)果點(diǎn)云分別如圖9（a）、（c）和（b）、（d）。將獲得的點(diǎn)云數(shù)據(jù)與理想模型進(jìn)行擬合，求得均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）作為測量誤差，其中，4 視點(diǎn)系統(tǒng)平面鏡測量誤差為0.086 mm，雙視點(diǎn)系統(tǒng)球面鏡測量誤差為0.064 mm。

圖9 多視點(diǎn)系統(tǒng)測量結(jié)果Fig.9 Measurement results of multi-view system

同時(shí)，通過點(diǎn)云處理軟件的表面積量算功能可獲得不同數(shù)量視點(diǎn)測量下重建結(jié)果的點(diǎn)云表面積。以平面鏡多視點(diǎn)測量為例，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1。

表1 多視點(diǎn)系統(tǒng)平面鏡測量結(jié)果Table 1 Plane mirror measurement results of multi-view system

測量結(jié)果表明，在大尺寸場景，所提方法通過增加視點(diǎn)數(shù)量，使測量范圍相比單視點(diǎn)測量范圍大幅增加，而誤差遞增平緩，在0.1 mm 以內(nèi)。而在大曲率場景下，整體測量難度提高，但通過視點(diǎn)拼接，本文方法依然達(dá)到了較高的精度。

考慮到測量范圍與誤差的均衡，將視點(diǎn)數(shù)量固定為4，然后將一塊高度為8.89 mm 的標(biāo)準(zhǔn)量塊放置于光學(xué)平臺(tái)和被測標(biāo)準(zhǔn)平面之間，使鏡面位置較之前升高。再對升高的鏡面進(jìn)行測量并擬合，接著利用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算兩個(gè)擬合鏡面間的平均距離，將其與標(biāo)準(zhǔn)件高度進(jìn)行比較。兩個(gè)鏡面位置的鏡面恢復(fù)點(diǎn)云如圖10（b）。

圖10 臺(tái)階面測量結(jié)果Fig.10 Step surface measurement results

最后，如圖11，經(jīng)過重復(fù)試驗(yàn)并取平均值，測量量塊高度與實(shí)際高度誤差小于0.1 mm，間接驗(yàn)證了本文測量方法的準(zhǔn)確性。

圖11 臺(tái)階面測量結(jié)果統(tǒng)計(jì)Fig.11 Statistics of step surface measurement results

4 結(jié)論

本文利用多個(gè)相機(jī)陣列組合實(shí)現(xiàn)了對高反射面面形的便捷性檢測。相對于單相機(jī)測量系統(tǒng)，該多視點(diǎn)系統(tǒng)可根據(jù)實(shí)際情況，靈活設(shè)計(jì)相機(jī)數(shù)量和排列方式，尤其在大尺寸、大曲率高反表面測量時(shí)，可有效規(guī)避盲點(diǎn)并擴(kuò)大測量范圍。采用了改進(jìn)的顯示器屏幕標(biāo)定方法和全局標(biāo)定方法，利用顯示屏和平面鏡的平面性抑制標(biāo)定誤差，僅需標(biāo)定一次，且所需器材僅有一塊標(biāo)準(zhǔn)平面鏡。在所提出的方法中，重建結(jié)果精度主要取決于顯示器編碼和系統(tǒng)標(biāo)定精度，為此可以使用更高分辨率的顯示器和相機(jī)系統(tǒng)或更高精度的相移解包裹算法提高測量結(jié)果精度。對于透明光學(xué)鏡面，非連續(xù)性鏡面等特殊測量場景，如何使用所提方法完成高精度的便捷性測量是進(jìn)一步研究的方向。