探索三角形全等的條件

趙維坤

編者按：數(shù)學(xué)世界充滿著數(shù)字和符號，是一門系統(tǒng)性的演繹科學(xué)，但在數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程中，充滿著假設(shè)、猜想、操作、嘗試、驗(yàn)證等，數(shù)學(xué)又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。從本期開始，我們開設(shè)《動手做數(shù)學(xué)》專欄，用“做”的方式學(xué)數(shù)學(xué)，在“做”中思考，在“做”中發(fā)現(xiàn)，在“做”中創(chuàng)造！

我們知道，如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。反過來，當(dāng)兩個三角形有多少組對邊或?qū)欠謩e相等時，這兩個三角形就全等呢？

我們先思考兩個三角形中只有一組元素相等的情況。例如，我們可以分別畫出一條邊AB=3cm的△ABC和一條邊DE=3cm的△DEF，或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個三角形不全等。也就是說，當(dāng)兩個三角形只有一組對邊或?qū)窍嗟葧r，這兩個三角形不全等。

我們再思考兩個三角形中只有兩組元素相等的情況。例如，我們可以畫出邊AB=3cm、BC=4cm的△ABC和邊DE=3cm、EF=4cm的△DEF，或者畫出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF，或者畫出邊AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和邊DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF，這兩個三角形也不全等。因此，當(dāng)兩個三角形有兩組對邊或?qū)窍嗟葧r，這兩個三角形也不全等。

通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)，三組以下元素分別相等的兩個三角形不全等。

那么，在兩個三角形中，如果有三組元素分別相等，它們就一定全等嗎？

觀察下圖中的三角形，請你找出其中的全等三角形，并在透明紙上畫出這些三角形，疊合驗(yàn)證。

這里給出的12個三角形，可以分成這樣的四類：三邊分別相等、三角分別相等、兩邊和一角分別相等、一邊和兩角分別相等。

同學(xué)們可以兩個人一組，根據(jù)下面6個條件，在透明紙片上分別畫出△ABC。

條件一：AB=2cm，BC=3cm，CA=4cm；

條件二：∠ABC=30°，∠ACB=100°，∠BAC=50°；

條件三：AB=2cm，∠BAC=45°，AC=3cm；

條件四：CB=2cm，∠BAC=30°，AC=3cm；

條件五：∠ABC=30°，AB=3cm，∠BAC=45°；

條件六：∠ACB=100°，AB=3cm，∠BAC=45°。

通過操作，我們發(fā)現(xiàn)，三邊分別相等的兩個三角形是全等的，只有三角分別相等的兩個三角形是不全等的。事實(shí)上，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，“三角分別相等”實(shí)質(zhì)上就是“兩角分別相等”，這樣不能判定兩個三角形全等。

“兩邊和一角分別相等的兩個三角形”有兩種情形：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形是全等的，只有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不全等。

“一邊和兩角分別相等的兩個三角形”中，兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形是全等的，兩角和其中的一組等角的對邊分別相等的兩個三角形也是全等三角形。還有其他情形嗎？同學(xué)們可自行畫圖解決。

在兩個三角形中，如果有4對（或5對）元素分別相等，那么這兩個三角形一定全等嗎？這就留給同學(xué)們自己動手操作證明了。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）