讓量感與推理意識在課堂中自然生長
——以《長方形、正方形面積的計算》教學為例

○張麗穎

課前思考：

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》明確提出，數(shù)學課程要立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學課程的育人價值；教學過程中，要注重教學內容與核心素養(yǎng)的關聯(lián)，要選擇能引發(fā)學生思考的教學方式，激發(fā)學生學習動機，促進學生積極探究，讓學生經歷數(shù)學觀察、數(shù)學思考、數(shù)學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程。如何落實課標新要求？下面結合《長方形、正方形面積的計算》一課談談我的實踐與思考。

《長方形、正方形面積的計算》是人教版小學數(shù)學三年級下冊第五單元《面積》第3 課時的內容。本內容是小學階段面積計算教學的起始課，是學生學習二維圖形度量的起點。教學目標如下：理解掌握長方形、正方形的面積公式，會應用公式正確計算長方形、正方形的面積，能估計給定的長方形、正方形的面積；經歷用面積單位度量長方形面積并推導出面積公式的過程，獲得從度量到計算來研究長方形、正方形面積的方法；在推導長方形、正方形面積計算公式的過程中，發(fā)展學生的空間觀念，增強量感、初步的幾何直觀、推理意識及應用意識，提高解決簡單實際問題的能力，為以后學習其他平面圖形的面積計算、立體圖形體積的計算打下基礎。

以前教學的基本流程是：創(chuàng)設問題情境，讓學生進行度量操作，有鋪滿度量的，有不鋪滿度量的，發(fā)現(xiàn)用每行小正方形個數(shù)乘行數(shù)就是面積，得出猜想；然后安排用小正方形拼擺長方形的活動，驗證猜想并得出結論。這樣設計，有操作卻缺少更理性、更深入的思考；有直觀但借助直觀抽象的過程明顯不足。雖然有小正方形個數(shù)、行數(shù)與面積之間關系的感知，但缺少中間環(huán)節(jié)即感悟每行小正方形個數(shù)、行數(shù)與長、寬之間的對應關系，不能建立起完整的推理鏈條。從學生推理意識、推理能力培養(yǎng)的角度看，這是“硬傷”。

怎樣讓學生經歷真實完整的度量操作、觀察推理等數(shù)學活動，由直觀逐步抽象，進而借助抽象與推理實現(xiàn)對面積公式的深入理解，并讓空間觀念、幾何直觀、量感、應用意識等核心素養(yǎng)在課堂中自然生長呢？

課堂展示：

一、激活要素，初步感悟

師：給大家變個魔術，注意看這是什么？（屏幕上出現(xiàn)一個點）仔細觀察，（點不停地移動）點變成了什么？

生：一條線段。

師：想知道這條線段有多長，怎么辦？

生：可以用尺子量一量。

（課件出示尺子并測量。）

師：要知道一條線段的長度，可以用長度單位去度量，包含幾個長度單位，長度就是幾。再觀察，線段變了，（線動成面）變成了什么？生：正方形。

師：正方形的邊長是多少？邊長1 厘米的正方形面積是多少？再變，（出示3 個小正方形組成的長方形）這個長方形的面積是多少？又變了，（出示1 乘5 的長方形）它的面積是多少？如果我在這一行上面再增加一行呢？（出示2 乘5 的長方形）面積是多少？

生：一行5 個，兩行就是2 乘5 等于10 個，面積是10 平方厘米。

師：不一個一個計數(shù)，利用，每行個數(shù)乘行數(shù)解決，真會想辦法！如果每行個數(shù)和行數(shù)都增加，（出示3 乘6 的長方形）這個長方形的面積變成多少了？

師：要知道長方形的面積，數(shù)數(shù)它包含面積單位的數(shù)量就可以了。圖形包含面積單位的數(shù)量越多，面積就越大，包含面積單位的數(shù)量越少，面積就越小?？磥黹L方形的面積和度量用的面積單位的個數(shù)有直接關系，那面積單位的個數(shù)又和什么有關呢？這節(jié)課我們就一起來研究長方形、正方形的面積計算。

二、探究體驗，感悟關系

1.鋪滿度量①號長方形的面積，感悟度量方法與度量的核心要素。

師：老師這里有個①號長方形，要知道它的面積，你想怎么辦？

生：可以用1 平方厘米的小正方形擺一擺，看看里面有多少個小正方形，面積就是多少。

師：用1 平方厘米的小正方形擺一擺，其實就是用面積單位量一量。你們課桌上①號信封里有①號長方形和1 平方厘米的小正方形。請擺一擺、量一量，得到①號長方形的面積。

（學生操作，然后展示。）

師：誰愿意講講你是怎么度量的？①號長方形的面積是多少？

2.不鋪滿度量①號長方形的面積，直觀感受每行個數(shù)、行數(shù)與面積的關系。

師：這名同學把所有面積單位都用完，把長方形都鋪滿后，得到了它的面積?，F(xiàn)在老師提高要求，你們能用盡量少的小正方形度量出①號長方形的面積嗎？

（學生再次操作，教師巡視。）

師：誰來介紹一下怎么度量？結果是多少？

生：我先沿著長擺，每行可以擺5 個；我再沿著寬擺，擺了3 個。5 乘3 等于15 個，面積就是15平方厘米。

師：為什么沿著寬擺一列就結束啦？這樣擺能度量出面積嗎？

生：能沿著長擺5 個，說明一行5 個，沿著寬擺3 個，說明能擺這樣的3 行，三五十五就得到結果了，不用都鋪滿。

3.觀察與思考，初步感悟長方形的長和寬與每行個數(shù)、行數(shù)之間的關系。

師：觀察度量的過程圖，你能告訴我①號長方形的長、寬各是幾厘米嗎？

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？結合圖講講。

（在①號長方形上標注長和寬。）

4.不鋪滿度量②號長方形的面積，進一步感悟長和寬與每行個數(shù)、行數(shù)之間的關系。

師：②號信封里還有一個②號長方形，你能利用盡可能少的小正方形度量出它的面積嗎？

（學生操作，教師巡視，然后反饋。）

師：他用9 個小正方形就度量出了②號長方形的面積。觀察度量圖，②號長方形的長、寬各是多少？（在②號長方形上標注長和寬。）

三、推理分析，構建模型

1.觀察、思考、交流，抽象關系；借助關系想象推理，得到③號長方形的面積。

師：仔細觀察度量①號、②號長方形面積的過程圖，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：都是先沿著長擺，再沿著寬擺。

生2：沿著長能擺幾個，一行就有幾個；沿著寬能擺幾個就說明能擺幾行；每行個數(shù)乘行數(shù)就可以算出面積。

生3：沿著長擺，能擺幾個長就是幾；沿著寬擺，能擺幾個寬就是幾。

師：好！那反過來呢？③號信封里還有③號長方形，如果老師直接告訴你們它的長是8 厘米，寬是5 厘米，要得到它的面積，你們還要擺嗎？還要度量嗎？（不擺不量了。）

師：那怎么知道它的面積呢？

生：長是8 厘米，沿著長就能擺8 個小正方形；寬是5 厘米，沿著寬就能擺5 個小正方形，8 乘5 等于40，面積是40 平方厘米。

2.想象推理，得出④號長方形的面積，抽象面積公式。

師：如果還有一個④號長方形，要得出它的面積，老師提供兩樣輔助工具，一是1 平方厘米的小正方形，二是直尺，你們選擇用哪個工具？（直尺。）

師：利用直尺怎么得到④號長方形的面積呢？

生：用直尺測量④號長方形的長與寬，然后用長乘寬就能得到面積。

師：請大家先測量，然后借助想象與推理得到④號長方形的面積。

師：長方形的面積和什么有關系？有怎樣的關系？

生：長方形的面積和長、寬有關系，面積等于長乘寬。

3.轉換研究角度，通過用面積單位拼擺長方形驗證公式。（略）

四、解決問題，拓展應用（略）

教學反思：

1.關聯(lián)舊知中體會度量本質，為新知作好孕伏。

課始利用課件展示點動成線、線動成面，以及面積不斷增大的過程，讓學生在觀察思考中不僅體會了點、線、面之間的關系，逐步形成空間觀念，而且透過變化直觀體會了面積單位的可加性，對度量方法與本質有了進一步的感悟。而不斷變化每行個數(shù)和行數(shù)的過程中，學生發(fā)現(xiàn)用乘法更簡便快捷，并對面積大小與每行個數(shù)、行數(shù)有關有了初步感知，為下面的探究作了孕伏。

2.在操作、推理中構建模型，培育核心素養(yǎng)。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》指出，推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。培養(yǎng)小學生的推理意識，教學活動中應組織學生借助已有知識、經驗、方法，選擇合適的方式，經歷相對嚴謹?shù)倪壿嬐评磉^程，從而學會有理有據(jù)的分析、有根據(jù)的思考，并得到確定的結論。

本節(jié)課利用學生已有度量經驗，借助幾何直觀，以面積含義為基礎，以度量的本質為核心，從度量開始，圍繞度量展開，層層深入地設計探究活動。從鋪滿、不鋪滿到不鋪（先測量再想象），在操作、觀察、思考、表達中，不僅發(fā)現(xiàn)了長方形面積與每行個數(shù)、行數(shù)之間的關系，而且將長、寬與沿長、寬邊鋪擺面積單位個數(shù)建立起了對應關系，構建了完整而邏輯清晰的推理鏈條，實現(xiàn)了長方形面積由直接計量到間接計量的轉化，同時站在更高的度量視域中洞悉了度量本質，發(fā)展了量感。最后，通過聯(lián)系生活、有層次的練習，讓學生在應用知識解決問題的過程中，進一步發(fā)展量感、應用意識及推理能力，實現(xiàn)了核心素養(yǎng)在課堂中的自然生長。