代數(shù)式恒等變形的利器——配方法

竇年春

把一個一元二次方程變形為（x+h）2=k（h、k為常數(shù)）的形式，當(dāng)k≥0時，運用直接開平方法求出方程的解。這種解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法不僅僅是解一元二次方程的一個重要的基本方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，用x代替公式中的a，則有x2+2bx+b2=（x+b）2。應(yīng)用時要注意“關(guān)于x的二次三項式”的特征：二次項系數(shù)是1，常數(shù)項等于一次項系數(shù)的一半的平方。在把二次三項式中二次項系數(shù)化為1和常數(shù)項化為平方形式時，要注意恒等變形。

一、在比較大小中的應(yīng)用

例1 比較代數(shù)式x2+2y2與2xy+4y-8的大小。

【分析】將x2+2y2與2xy+4y-8作差，根據(jù)差的正負做出判斷。

解：x2+2y2-（2xy+4y-8）=x2+2y2-2xy-4y+8=x2-2xy+y2+y2-4y+4+4=（x-y）2+（y-2）2+4。

因為（x-y）2≥0，（y-2）2≥0，所以（x-y）2+（y-2）2+4≥4。所以x2+2y2＞2xy+4y-8。

【點評】要比較a與b的大小，就是算a-b與0的大小。因為任何數(shù)的平方都是非負數(shù)，所以我們利用“配方法”將式子整理為“平方+常數(shù)”的形式，再做出判斷。需要注意的是，在變形的過程中不要改變式子的值。

二、在因式分解中的應(yīng)用

例2 因式分解：（1）a2-12a+35；

（2）x4+4。

【分析】（1）將35拆成36-1，前三項配成完全平方式，再利用平方差公式因式分解；

（2）中間添加4x2，配成完全平方式，再減去4x2，利用平方差公式因式分解。

解：（1）a2-12a+35=a2-12a+36-1=（a-6）2-1=（a-6+1）（a-6-1）=（a-5）（a-7）。

（2）x4+4=x4+4+4x2-4x2=（x2+2）2-4x2=（x2+2+2x）（x2+2-2x）。

【點評】根據(jù)完全平方公式的特征，在欲因式分解的代數(shù)式中通過“湊平方”等手段，得到一個局部完全平方式是解題的關(guān)鍵。

三、在化簡二次根式中的應(yīng)用

【點評】二次根式化簡的關(guān)鍵是把被開方數(shù)配成完全平方的形式，配方的突破口是中間項2ab。

四、在證明等式中的應(yīng)用

例4 已知：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求證a=b=c。

【分析】配方，嘗試從完全平方公式中的中間項的系數(shù)2入手，在等式的兩邊同乘2，拆分組合成三個完全平方式的和，再利用非負數(shù)的性質(zhì)證明。

解：因為a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即a2-2ab +b2+b2-2bc +c2+a2-2ac+c2=0。所以（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0。所以a-b=0，b-c=0，a-c=0。所以a=b=c。

【點評】已知三個未知量，一個等式，要找出未知量之間的等量關(guān)系，這個問題一定有其特殊性。解題的依據(jù)是非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和等于0，則每一個非負數(shù)皆為0。

五、在求最值中的應(yīng)用

例5 （2023·江蘇連云港）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x、y為實數(shù)），則W的最小值為 。

【思路一】觀察式子特點，湊完全平方式。

W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3

=x2+4x2-4xy+y2+4x-2y+4x+3

=（4x2-4xy+y2） +（4x-2y）+x2+4x+3

=（2x-y）2+2（2x-y）+1-1+x2+4x+4-4+3

=（2x-y+1）2+（x+2）2-2。

因為x、y均為實數(shù)，所以（2x-y+1）2≥0，（x+2）2≥0。所以W≥-2，即W的最小值為-2。

【思路二】看成等式，移項，整理成關(guān)于x的一元二次方程5x2+（8-4y）x+（y2-2y+3-W）=0。

因為x為實數(shù)，所以方程一定有實數(shù)根，所以（8-4y）2-20（y2-2y+3-W）≥0。整理，得5W≥y2+6y-1。

配方，得5W≥（y+3）2-10≥-10。所以W≥-2。所以W的最小值為-2。

【點評】本題利用配方法把式子整理為“平方+常數(shù)”的形式是解題的關(guān)鍵。