借助生活素材生成數學概念

李煥

在初中數學的學習中，學生在認識上有兩次質的飛躍。第一次飛躍是代數式的學習，由具體的數到具有普遍意義的式；第二次飛躍是函數的學習，由靜止不變的數到運動變化的數。函數這節(jié)課的教學就是要帶領學生感受生活中的變化，體會變量與變量間對應的關系，經歷由生活情境歸納函數概念的過程，體會由特殊到一般、由具體到抽象的思維過程。

對于函數概念，筆者認為可以從以下5個方面進行教學。

一、背景意義高位引領

很多教師在展示了常量與變量后就開始引入具體例子，讓學生感受變量間的關系，這種做法顯得操之過急。從學生的角度來看，他們一定會產生一個疑問：“為什么要學習函數？”如果不給學生解釋清楚這個問題，那么本節(jié)課不可避免地會成為灌輸式教學。數學是一門講道理的學科，凡事要問個為什么。教師如果只交代“數學來源于生活，生活中有變量，所以我們要學習函數，研究變量間的關系”，這便屬于無效教學，沒有交代清楚學習函數的背景和意義。

對此，筆者從以下幾個角度來引導學生。例如，“我們生活在一個變化的世界，潮起潮落、云卷云舒、滄海桑田，變化在我們身邊無處不在，這個世界中唯一不變的就是變化。我學習數學，我想要從數學的角度去研究身邊的這些變化。”“如果我能了解變化背后的規(guī)律，那么我就能預測未來發(fā)展的趨勢，也就是說我具有了未卜先知的能力。古人用二十四節(jié)氣來預測一年中氣候的變化；現在天氣預報可以預測未來幾天天氣的情況；導航利用大數據建模預測城市交通的擁堵情況……這些未卜先知是多么神奇而又美妙?！薄耙粋€變化過程中往往有多個變量，而這些變量之間又有著錯綜復雜的關系。我們剛開始學習，可以從簡單的入手，先研究兩個變量之間的關系?！边@些角度分別說明了學習函數的背景、意義以及學習策略，在交代了以上內容以后，再進入函數概念的生成過程，學生便會帶著強烈的好奇心主動投入學習。

二、三個素材全面覆蓋

為了能自然地生成函數的概念，教師可以給學生展示3個比較特別的生活中的素材，如下頁圖1—圖3。

圖1為某水庫水位的高低與相應蓄水量關系的表格。由表格可以看出，隨著水位的升高，蓄水量增大；隨著水位的降低，蓄水量減少；當水位確定時，蓄水量也隨之確定。圖2中，用火柴棒搭建小魚，小魚的條數n與火柴棒的根數S之間的關系可以很清楚地表示出來，隨著n的增大，可以得到表達式S=6n+2。圖3為常州市某天24小時內氣溫變化的圖像。這3個素材分別對應函數的三種表示方式：表格、表達式、圖像。雖然這不是本節(jié)課的教學內容，但是教師在選擇教學素材時要考慮全面，讓學生首次接觸函數時就能對函數的表示方式有全面的印象，也為下節(jié)課學習函數的表示方法做好知識鋪墊。

三、三個層次深度理解

對于以上3個素材，每一個教師都要帶領學生從3個層次進行深度理解。以圖1為例，第一個層次，“變化”。隨著水位升高，蓄水量增大；隨著水位降低，蓄水量減少。第二個層次，“確定”。當水位確定時，蓄水量也隨著確定。第三個層次，“對應”。當水位取定一個值時，蓄水量也有一個值和它對應。以上3個層次，由具體到抽象，對函數概念的闡釋不斷加深。要理解函數概念，就要理解對應關系，但是學生如果不能理解變量之間變化與確定的關系，也很難理解對應關系。如圖1，教材中，其實編寫者早已將變化與確定寫在了表格下方，這就需要教師認真研讀教材，理解編寫者的真實意圖。

四、生成概念，再識素材

經歷了3個素材、3個層次的深入理解，學生對變量間的關系已經有了一定認識。函數概念在學生頭腦中生長，此時，教師要做的就是引導學生用數學語言將自己的認識表述出來。從表面上來看，這3個素材沒什么聯系，但是如果我們從變化、確定、對應的角度來看，這3個素材竟然是如此驚人的相似。教師可以請學生從變化、確定、對應的角度歸納這3個素材的共同屬性。由于函數概念對學生來說是非常抽象的，所以，學生歸納概念時，如果語言表述不到位，教師可以進行適當引導，學生只需要講出變量間存在對應關系即可。

在得出函數概念后，教師再帶領學生從函數的角度認識以上3個素材：對于水位高度的每一個值，蓄水量都有唯一的值與它對應；對于小魚的每一個值，火柴棒的數量都有唯一的值與它對應；對于時間的每一個值，溫度都有唯一的值與它對應。至此，學生對于兩個變量之間關系的認識經歷了4個層次，分別是變化、確定、對應、函數。相信經歷以上學習過程，學生對函數概念能有一個較為深入的理解。

五、滲透歷史文化熏陶

恩格斯說：“有了變數，運動進入了數學；有了變數，辯證法進入了數學；有了變數，微分和積分也就立刻成為必要的了?！蓖旭R斯稱函數概念為近代數學思想之花，可見函數對近代數學發(fā)展的影響之大。那么，在函數概念的教學中，如果不給學生講講函數的發(fā)展歷史，對學生來說也是一種遺憾。對于函數的發(fā)展史，教師可以從兩條線來講，其一是歐洲的多位知名數學家對函數發(fā)展做出的貢獻。如萊布尼茲首次使用“function”，伯努利、歐拉、柯西等都給函數下過定義，奧斯瓦爾德維布倫用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數的定義等。其二是中國的數學家李善蘭和英國人偉烈亞力一起翻譯了《代數學》，將函數引入了中國，推動了中國乃至整個東亞近代數學，尤其是微積分的發(fā)展。

總而言之，一堂好的概念課教學，一定要解決好怎樣逐步生成概念這個問題。教師要選擇好的生活素材，調動和引導學生經歷獨立思考、歸納總結的過程，從而自然地生成概念。

（作者單位：江蘇省常州市武進區(qū)淹城初級中學）