基于MPC的永磁同步直線電機(jī)位置控制*

徐英振 ， 廖雪松

（1.包頭長(zhǎng)安永磁電機(jī)有限公司，內(nèi)蒙古 包頭 014030；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)先進(jìn)永磁電機(jī)及其控制技術(shù)企業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，內(nèi)蒙古 包頭 014030）

在一些特定領(lǐng)域需要電機(jī)提供精準(zhǔn)的位置控制能力，目前比較有效的方式是采用基于MPC的永磁同步直線電機(jī)。永磁同步直線電機(jī)在很多領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，尤其是借助尖端數(shù)控技術(shù)，可以使電機(jī)在多個(gè)技術(shù)方面得到大幅優(yōu)化和提升，是永磁直線電機(jī)研發(fā)的一個(gè)關(guān)鍵方向[1]。相比傳統(tǒng)直線電機(jī)，基于MPC的永磁同步直線電機(jī)位置控制在動(dòng)態(tài)控制和穩(wěn)態(tài)精度方面實(shí)現(xiàn)了較大提升，相關(guān)課題的研究對(duì)于整個(gè)永磁同步直線電機(jī)的應(yīng)用發(fā)展有非常顯著的促進(jìn)作用。

1 永磁同步直線電機(jī)位置控制概述

位置控制精度是直線電機(jī)性能的重要指標(biāo)，在傳統(tǒng)直線電機(jī)中，其位置控制以級(jí)聯(lián)型三閉環(huán)方式實(shí)現(xiàn)，就是利用PI控制器完成對(duì)位置的準(zhǔn)確控制[2]。級(jí)聯(lián)型三閉環(huán)PI控制器應(yīng)用方便，有較強(qiáng)的適用性，但動(dòng)態(tài)響應(yīng)效率較低，且位置控制的穩(wěn)態(tài)精度嚴(yán)重受限。因?yàn)檫@些問(wèn)題的存在，傳統(tǒng)直線電機(jī)在高端應(yīng)用領(lǐng)域難以得到更大空間。而近年來(lái)，隨著高性能微型計(jì)算機(jī)技術(shù)在永磁直線電機(jī)研發(fā)領(lǐng)域的快速發(fā)展和充分運(yùn)用，模型預(yù)測(cè)控制（MPC）被更多地用于電機(jī)控制，并非常有效地改善了系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力。

模型預(yù)測(cè)控制是一項(xiàng)非常有開(kāi)發(fā)潛力的技術(shù)，通過(guò)與不同的應(yīng)用需求相結(jié)合，可以演化成多種形式。就目前應(yīng)用而言，電機(jī)控制領(lǐng)域的MPC主要包括兩種控制模式：一是FCS-MPC，即所謂的有限集模型預(yù)測(cè)控制；二是CCS-MPC，即所謂的連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制[3]。課題組所討論的永磁同步直線電機(jī)位置控制是基于連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用設(shè)計(jì)，其位置控制方式非常有特點(diǎn)，尤其是在動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度性能方面表現(xiàn)出色，由此可以看出MPC對(duì)于電機(jī)控制性能的提升升級(jí)價(jià)值[4]。

2 基于MPC的永磁同步直線電機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)仿真模型的建構(gòu)

為更有效分析以MPC為技術(shù)基礎(chǔ)的永磁同步電機(jī)在位置控制中的功能和作用，需要建立與設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)仿真模型，通過(guò)仿真來(lái)確定永磁同步直線電機(jī)的工作狀態(tài)?；诜抡娼Y(jié)果，進(jìn)行實(shí)際的電機(jī)設(shè)計(jì)，以獲得所要性能的永磁同步直線電機(jī)[5]。為此，首先需要明確其工作機(jī)理，其次，還要對(duì)數(shù)學(xué)模式進(jìn)行離散化處理，進(jìn)而為電機(jī)設(shè)計(jì)奠定理論基礎(chǔ)。

2.1 永磁同步直線電機(jī)模型工作機(jī)理的數(shù)學(xué)解析

為研究基于MPC的永磁同步直線電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)下位置控制中的具體機(jī)理，需要明確其實(shí)際工作原理?？偟膩?lái)說(shuō)，永磁同步直線電機(jī)位置控制原理與PMSM比較類似，因此，其數(shù)學(xué)模型的建立也可以采用與PMSM基本一致的函數(shù)表達(dá)式，用于解析其各變量之間的關(guān)系。具體分析過(guò)程中，可采用兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系中對(duì)電壓方程進(jìn)行建構(gòu)，其函數(shù)表達(dá)式為：

式（1）基于兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系對(duì)電壓方程分別進(jìn)行求解，其中，ψd被設(shè)定為直軸磁鏈，ψq被設(shè)定為交軸磁鏈，ψd和ψq的求解方程分別為：

在式（1）、式（2）和式（3）中，ψmf為永磁體磁鏈，ud為直軸電壓，uq為交軸電壓，id為直軸電流，iq為交軸電流。為獲得更加準(zhǔn)確的仿真數(shù)據(jù)，需要引入電角速度，用ωe來(lái)表示。對(duì)于PMLSM，需要充分考慮動(dòng)子位置的影響，因?yàn)閯?dòng)子運(yùn)動(dòng)距離達(dá)到對(duì)極，則三相電流就會(huì)發(fā)生一個(gè)周期的變化，基于此，可以計(jì)算電角速度，其計(jì)算公式為：

式（4）中，v為動(dòng)子速度，τ為永磁體極距。進(jìn)而可以求解PMSM轉(zhuǎn)矩方程，其函數(shù)表達(dá)式為：

式（5）的轉(zhuǎn)矩方程中，Tm為永磁轉(zhuǎn)矩，Tτ為磁阻轉(zhuǎn)矩。通過(guò)分析該轉(zhuǎn)矩方程，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)PMLSM的求解過(guò)程可以等價(jià)于對(duì)PMSM的徑向展開(kāi)處理，在這一基礎(chǔ)上，就可以進(jìn)一步推導(dǎo)PMLSM的推力方程，該推力方程可以通過(guò)PMSM轉(zhuǎn)矩方程進(jìn)行變換來(lái)獲得。其方程的定義式為：

將系統(tǒng)相關(guān)運(yùn)行參數(shù)代入式（6）中，R為電機(jī)定子內(nèi)徑，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，滿足2πR=2pτ。對(duì)R結(jié)果的求解算式與其他方程進(jìn)行聯(lián)立，將這一函數(shù)關(guān)系代入式（6），經(jīng)過(guò)變換處理，能夠進(jìn)一步獲得PMLSM的推力方程，其函數(shù)表達(dá)式為：

如果考慮永磁同步直線電機(jī)為平板式永磁同步直線電機(jī)的實(shí)際情況，此時(shí)，存在Ld=Lq的平衡條件，基于此，可以對(duì)式（7）進(jìn)行進(jìn)一步的化簡(jiǎn)。并得到如下的表達(dá)式：

在此基礎(chǔ)上，對(duì)永磁同步直線電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，其函數(shù)表達(dá)式為：

式（9）的運(yùn)動(dòng)方程中，所涉及的函數(shù)變量包括動(dòng)子質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)速度、電磁推力、擾動(dòng)負(fù)載和黏滯摩擦系數(shù)，并分別表示為M、v、Fe、Ft和B。在相關(guān)變量確定條件下，就可以對(duì)整個(gè)永磁同步直線電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析，進(jìn)而針對(duì)位置控制的相關(guān)性影響因素加以具體討論。

2.2 永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型離散化處理

對(duì)于永磁同步直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型建立，需要對(duì)模型采取必要的離散化處理，其處理方法包括多種選擇。基于本文所分析和討論的實(shí)際情況，需要兼顧直線電機(jī)的精度以及在具體運(yùn)營(yíng)環(huán)境的適用情況，主要選擇了一階前向歐拉差分法，通過(guò)該處理方法對(duì)PMLSM模型進(jìn)行離散化處理，在位置控制精度以及工作穩(wěn)定性方面都會(huì)有較好的仿真效果[6]。在實(shí)際的離散化處理中，需要設(shè)定一些基本條件，對(duì)于采樣周期T，假設(shè)T充分小，在某一確定的k時(shí)刻，存在如下等式關(guān)系：

將式（10）與式（1）和式（9）進(jìn)行聯(lián)立，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)求解，就可以推導(dǎo)得出永磁同步直線電機(jī)工況下的離散化數(shù)學(xué)模型。將相關(guān)狀態(tài)變量依次代入，永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型離散化狀態(tài)下的空間方程表達(dá)式為：

將式（11）、式（12）和式（13）聯(lián)立，可以建構(gòu)形成基于MPC的永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型，能夠通過(guò)該模型完成對(duì)位置控制等相關(guān)問(wèn)題的分析[7]。式（13）中，將Kf定義為推力系數(shù)，用于對(duì)式（12）方程的求解。

3 模型預(yù)測(cè)控制原理及控制器設(shè)計(jì)

永磁同步直流電機(jī)的位置控制，需要利用對(duì)MPC控制器的設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中，通過(guò)連續(xù)集模型進(jìn)行預(yù)測(cè)控制是整個(gè)設(shè)計(jì)的最重要環(huán)節(jié)。有必要對(duì)其控制原理進(jìn)行解讀，并在此基礎(chǔ)上探討控制器設(shè)計(jì)的具體內(nèi)容。

3.1 連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制原理

課題組的主要目的是討論用于優(yōu)化位置精確控制的永磁同步直線電機(jī)MPC控制器的設(shè)計(jì)，對(duì)于直線電機(jī)的模型預(yù)測(cè)控制（MPC）設(shè)計(jì)而言，其目標(biāo)主要是考慮對(duì)未來(lái)控制變量軌跡的準(zhǔn)確計(jì)算，并基于計(jì)算結(jié)果對(duì)系統(tǒng)輸出進(jìn)行優(yōu)化[8]。整個(gè)優(yōu)化的過(guò)程通過(guò)一個(gè)有限時(shí)間窗口來(lái)具體實(shí)施，而對(duì)時(shí)間窗口進(jìn)行優(yōu)化的同時(shí)也可以完成對(duì)系統(tǒng)信息的修正和調(diào)整。

3.1.1 系統(tǒng)增廣模型分析

基于狀態(tài)空間對(duì)永磁同步直線電機(jī)MPC控制器增廣模型進(jìn)行設(shè)定，其空間模型的表達(dá)式為：

式（14）中，x(k)、u(k)、d(k)分別代表永磁同步直線電機(jī)狀態(tài)向量、系統(tǒng)輸入向量和未知擾動(dòng)項(xiàng)；式（15）中的y(k)為系統(tǒng)輸出向量；A、B、C均代表系數(shù)矩陣，其下標(biāo)d則意味著系統(tǒng)模型的特征。

在實(shí)際設(shè)計(jì)中，需要確保并充分實(shí)現(xiàn)永磁同步直線電機(jī)MPC控制器的運(yùn)轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，需要盡量將系統(tǒng)未知擾動(dòng)消除，以防其對(duì)預(yù)測(cè)輸出造成的干擾，電機(jī)系統(tǒng)魯棒性因此得到充分提升?？梢詫?duì)控制器的設(shè)計(jì)選用增量形式，如果控制周期比較小，可以將短時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)擾動(dòng)看作是穩(wěn)定不變的常量，進(jìn)而獲得整個(gè)直線電機(jī)控制器系統(tǒng)的增量模型。增量模型要實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)輸出要求，在實(shí)際處理中可以將輸出向量與增量向量進(jìn)行聯(lián)立，并引入一組新向量，進(jìn)而能夠?qū)υ姍C(jī)系統(tǒng)進(jìn)行向量擴(kuò)展，并形成增廣模型。

3.1.2 系統(tǒng)優(yōu)化

按照通常情況下的處理方式，直線電機(jī)模型系統(tǒng)的代價(jià)函數(shù)選擇以誤差及輸出增量為變量的二次函數(shù)，此時(shí)，如果其參考軌跡已經(jīng)被給定，則代價(jià)函數(shù)等式自變量項(xiàng)目可以提供滿足預(yù)測(cè)與給定輸出誤差的條件，并能夠有效驗(yàn)證輸出增量的數(shù)值。在系統(tǒng)優(yōu)化過(guò)程中，需要充分考慮權(quán)重因子的影響，因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)模型屬于典型的對(duì)角線矩陣形式，其維數(shù)要保持高度統(tǒng)一。這樣設(shè)計(jì)系統(tǒng)的目的就是要避免因輸出增量太大造成整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性難以控制。

如果此時(shí)選擇零矩陣形式，則該控制器系統(tǒng)的使用目的是要確保最小的誤差。為滿足代價(jià)函數(shù)實(shí)現(xiàn)最小值目標(biāo)，可以在對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)求解時(shí)為0。按照這一過(guò)程重復(fù)進(jìn)行，就可以得到系統(tǒng)在任意時(shí)刻MPC控制器的具體輸出狀態(tài)[9]。課題組討論的前提條件是預(yù)測(cè)輸出時(shí)采用增廣模型，這種情況下，控制器輸出就是輸出增量不斷累加的結(jié)果，這可以等價(jià)于閉環(huán)系統(tǒng)中結(jié)合積分運(yùn)算，能夠有效防止各種穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)對(duì)未知擾動(dòng)項(xiàng)的干擾也有很強(qiáng)限制作用，系統(tǒng)表現(xiàn)出顯著的魯棒性。

3.2 永磁同步直線電機(jī)MPC控制器設(shè)計(jì)

課題組所述的永磁同步直線電機(jī)模型為典型的連續(xù)集預(yù)測(cè)模型，其系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要選擇級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在電流環(huán)控制器輸出電壓作為定軸電壓進(jìn)行處理時(shí)會(huì)比較方便，并通過(guò)SⅤPWM進(jìn)行調(diào)制，再經(jīng)過(guò)兩個(gè)電平逆變器進(jìn)行逆變處理，最終輸出三相電實(shí)現(xiàn)對(duì)PMLSM的驅(qū)動(dòng)。永磁同步直線電機(jī)通過(guò)離散化處理形成的狀態(tài)空間方程中，為簡(jiǎn)化離散過(guò)程而采用增廣狀態(tài)向量，系統(tǒng)電流環(huán)的增廣模型系數(shù)會(huì)以矩陣形式建立[10]。通常情況下，永磁同步直流電機(jī)逆變器會(huì)以10 kHz的開(kāi)關(guān)頻率運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)，離散控制系統(tǒng)對(duì)于任意t時(shí)刻的采樣數(shù)據(jù)其結(jié)果應(yīng)該與t-1時(shí)刻數(shù)據(jù)相同。通過(guò)計(jì)算獲得u(t)在t+1時(shí)刻的數(shù)據(jù)，需要與t-1時(shí)刻數(shù)據(jù)保持一致才可以控制被控對(duì)象。

基于此，對(duì)預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的選取最小為3，而速度環(huán)的帶寬為電流環(huán)帶寬的1/10。按照這一思路，對(duì)電流環(huán)預(yù)測(cè)補(bǔ)償?shù)倪x取可以為10，進(jìn)而獲得最優(yōu)輸出。為此，還要對(duì)MPC控制器的輸出電壓進(jìn)行必要控制，在不同的控制策略下，電壓分量可以形成對(duì)輸出的有效約束和限制作用。

4 系統(tǒng)仿真驗(yàn)證

利用MATLAB搭建PMLSM連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制仿真模型，電機(jī)及系統(tǒng)各仿真參數(shù)如表1所示。

表1 PMLSM連續(xù)集模型預(yù)測(cè)控制仿真模型仿真參數(shù)

通過(guò)系統(tǒng)仿真，對(duì)以CCS-MPC為基礎(chǔ)的直線電機(jī)控制器位置響應(yīng)情況進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)電機(jī)控制優(yōu)勢(shì)非常顯著，不僅響應(yīng)速度快，而且定位精度高。進(jìn)一步對(duì)MPC控制器的魯棒性進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)綜合效果比較得出，相比傳統(tǒng)直線電機(jī)，基于MPC控制器的永磁同步直線電機(jī)的魯棒性表現(xiàn)更好。

5 結(jié)論

綜上所述，永磁同步直線電機(jī)要實(shí)現(xiàn)更大的應(yīng)用空間，需要解決很多具體的技術(shù)問(wèn)題，其中，位置控制是非常關(guān)鍵的一項(xiàng)內(nèi)容。課題組深入分析了基于MPC的永磁同步直線電機(jī)的位置控制，對(duì)其工作原理和功能實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了較為細(xì)致的闡述，在此基礎(chǔ)上，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型，并具體分析了MPC控制器設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容。最后，通過(guò)系統(tǒng)仿真，驗(yàn)證了該MPC控制器在位置控制方面的良好性能。課題組所提出的分析方法和設(shè)計(jì)過(guò)程，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。