兩類(lèi)Heisenberg李超代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)

江 薇, 遠(yuǎn)繼霞

(黑龍江大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

李超代數(shù)是李代數(shù)的自然推廣, 廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理學(xué)的研究中. 目前, 關(guān)于上同調(diào)群的研究也備受關(guān)注. 文獻(xiàn)[1]給出了李代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)形; 文獻(xiàn)[2]給出了有限群計(jì)算上同調(diào)的方法并對(duì)其舉例說(shuō)明; 文獻(xiàn)[3]計(jì)算了李超代數(shù)系數(shù)取自平凡模的上同調(diào); 文獻(xiàn)[4]在李超代數(shù)上同調(diào)的基礎(chǔ)上計(jì)算了李超代數(shù)相對(duì)上同調(diào); 文獻(xiàn)[5]給出了Heisenberg李超代數(shù)的相關(guān)結(jié)論; 文獻(xiàn)[6]提出了混合上同調(diào)理論并在此基礎(chǔ)上計(jì)算了glm|n的混合上同調(diào).

Heisenberg李代數(shù)是一類(lèi)重要的代數(shù), 該代數(shù)及其表示論在Kac-Moody代數(shù)和物理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 為研究物理學(xué)中的超對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題, 人們將Heisenberg李代數(shù)推廣到Heisenberg李超代數(shù), 并對(duì)其結(jié)構(gòu)、 表示、 同調(diào)等理論進(jìn)行了研究[7-11].

本文計(jì)算4維偶中心Heisenberg李超代數(shù)與3維奇中心Heisenberg李超代數(shù)系數(shù)取自1維平凡模的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào). 首先, 計(jì)算兩類(lèi)Heisenberg李超代數(shù)上同調(diào)的微分算子; 其次, 計(jì)算這兩類(lèi)Heisenberg李超代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào), 并得到其基底與維數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

其中α∈2.則Hom(V,W)和V?W均為超空間.定義映射:

τV,W:V?WW?V,

定義1[6]設(shè)D是V的一個(gè)子超空間, 且

Λ={i|1≤i≤m}∪{m+j|1≤j≤n},

且有

其中A∈g.設(shè){Xa|a∈Λ}為Πg*關(guān)于{Ea|a∈Λ}的對(duì)偶基.定義映射Γ:

Γ: g→Der(S(Πg*)),

定義2[12]設(shè)

其中Γa=Γ(Ea), 驗(yàn)證可得δ2=0, 于是有如下微分復(fù)形:

2 h2,1的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)

設(shè)Λ(ξ1,ξ2,…,ξn)是具有n個(gè)變?cè)?,ξ2,…,ξn的外代數(shù).設(shè)X1,…,X4是E1,…,E4的對(duì)偶基, ?i是Xi對(duì)應(yīng)的導(dǎo)子, 其中i=1,2,3,4.為方便, 給出C0(h2,1,)及其元素v的形式:

C0(h2,1,)?[X1]?Λ(X2,X3,X4)?.

令t∈,s=(s1,s2,s3), 其中si∈{0,1},i=1,2,3.C0(h2,1,)中的任意元素v都可寫(xiě)成如下形式:

定理1h2,1系數(shù)取自1維平凡模的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)為

該標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)的基底為{1,X3,X4,X3X4,X1,X1X3,X1X4,X1X3X4}, 維數(shù)為8維.

首先, 證明

Kerδ1=[X1]?Λ(X3,X4)?.

(2)

通過(guò)計(jì)算知“?”顯然成立, 下面證明“?”成立.設(shè)v∈Kerδ1, 則δ1(v)=0.由式(1)可知, 對(duì)任意的t, 當(dāng)t≥0時(shí)均有v(t(1,s2,s3))=0成立, 其中s2,s3∈{0,1}, 從而

即式(2)成立.

其次, 證明

由式(1)可知

其中s2,s3∈{0,1},t∈,a∈, 從而

因此

證畢.

3 ba1的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)

設(shè)Y1,…,Y3是F1,…,F3的對(duì)偶基, ?i是Fi對(duì)應(yīng)的導(dǎo)子, 其中i=1,2,3.為方便, 給出C0(ba1,)及其元素v的形式:

C0(ba1,)?[Y1,Y2]?Λ(Y3)?.

令t=(t1,t2),t∈2,s∈{0,1}.C0(ba1,)中的任意元素v均可寫(xiě)成如下形式:

由計(jì)算可得ba1上同調(diào)的微分算子為δ2=-Y2Y3?1?1.下面計(jì)算ba1系數(shù)取自1維平凡模的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào).

定理2ba1系數(shù)取自1維平凡模的標(biāo)準(zhǔn)上同調(diào)為

(3)

首先, 證明

Kerδ2=([Y1,Y2]?Y3⊕[Y2])?.

(4)

通過(guò)計(jì)算知“?”顯然成立, 下面證明“?”成立.設(shè)v∈Kerδ2, 則δ2(v)=0.由式(3)可知, 對(duì)任意的t1, 當(dāng)t1≥1時(shí)均有v(t,0)=0成立, 從而

即式(4)成立.

其次, 證明

Imδ2=Y2[Y1,Y2]?Y3?.

由式(3)可知

δ2(Y(t,1)?a)=0,δ2(Y(t,0)?a)=-Y((t1-1,t2+1),1)?a,

其中t∈2,a∈, 從而

Imδ2=span{Y((t1-1,t2+1),1)?a|t1,t2∈,a∈}=Y2[Y1,Y2]?Y3?.

因此

證畢.