基于力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過驅(qū)動控制分配

任軍洲，蔡 勇，2，李自勝

（1.西南科技大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，綿陽 621000；2.制造過程測試技術(shù)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽 621000）

在實(shí)際工程問題中，為了有更好的動態(tài)性能，一些設(shè)備存在過驅(qū)動情況。例如，矢量推進(jìn)水下機(jī)器人[1-2]、四足機(jī)器人[3]、外太空衛(wèi)星[4-5]、矢量多旋翼無人機(jī)[6]等。在過驅(qū)動系統(tǒng)中，解決控制分配一直是一個活躍的研究領(lǐng)域[7]。

目前，過驅(qū)動系統(tǒng)的控制分配方法包括二次規(guī)劃、偽逆法、加權(quán)最小二乘法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。其中，偽逆法在控制分配領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。采用偽逆法，可以解決傾轉(zhuǎn)旋翼機(jī)的控制分配、水下矢量推進(jìn)器的控制分配；也可以實(shí)現(xiàn)全向空中機(jī)器人的控制分配[8]、分布式推進(jìn)配置飛行器的控制分配[9]。但是，偽逆法的本質(zhì)是固定分配，不能充分利用執(zhí)行器冗余優(yōu)勢。

二次規(guī)劃法能夠?qū)崿F(xiàn)動態(tài)分配?；谠摲椒?，可以實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)控制過程中的實(shí)時控制分配、過驅(qū)動UUV 推進(jìn)器容錯控制的非線性觀測自適應(yīng)推力分配[10]、多舵面飛翼布局飛機(jī)的控制分配[11]。該方法需要調(diào)整權(quán)重參數(shù)，在最小值和準(zhǔn)確度之間找到一種平衡。然而固定的權(quán)重會引入偏見，導(dǎo)致內(nèi)耗，體現(xiàn)在以最小消耗為目標(biāo)時，并非最優(yōu)分配方案。

隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展，直接利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決控制分配成為一種新的可能，但相關(guān)研究較少。文獻(xiàn)[12]結(jié)合了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)求解二次規(guī)劃，解決控制分配。但是本質(zhì)是利用遞歸思想求解，而不是直接利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分配；文獻(xiàn)[13]采用自編碼器結(jié)構(gòu)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決了含有6 個控制舵面的空天飛行器控制分配。

本文結(jié)合空間任意力系簡化原理和自編碼器，提出一種力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)控制分配。

1 過驅(qū)動系統(tǒng)的控制分配

1.1 過驅(qū)動系統(tǒng)

不失一般性，動力學(xué)系統(tǒng)可以描述為

在該系統(tǒng)中，當(dāng)CB行滿秩時，系統(tǒng)控制存在過驅(qū)動[14]。

控制過驅(qū)動系統(tǒng)，首先由高級控制器規(guī)劃參考運(yùn)動軌跡；再根據(jù)被控物的目標(biāo)位置Pt與當(dāng)前位置Pr，利用PID 計(jì)算出系統(tǒng)目標(biāo)控制量，假設(shè)為v；然后利用分配控制器將控制量分配給每個執(zhí)行器，如式（2）所示：

式中：u為每個執(zhí)行器控制分量寫成的向量。對于過驅(qū)動系統(tǒng)，不能直接求得u的唯一結(jié)果。

1.2 控制分配

進(jìn)一步整理得到：

式中：D=CB；x=u；b=v。其中，x是需要求解的未知變量。

D行滿秩，則x存在多解，常用偽逆法和二次規(guī)劃法求解。偽逆法是左乘D的偽逆矩陣；二次規(guī)劃法是將式（3）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并引入伴隨實(shí)際問題的約束條件，通過最小化f 實(shí)現(xiàn)求解，如式（4）所示：

式中：S、W為權(quán)重矩陣。S決定更看重實(shí)際控制器中的哪一項(xiàng)；W用來限制求解結(jié)果大小。關(guān)于xTWx，由齊次線性方程組式（5）轉(zhuǎn)化得到?？梢钥闯觯谛枰瑫r滿足式（3）和式（5）的情況下，二次規(guī)劃不能完全采用最小解作為分配結(jié)果，并且由于權(quán)重的固定，分配結(jié)果會存在偏見。

一方面，嚴(yán)格把關(guān)學(xué)業(yè)指導(dǎo)專業(yè)老師，能夠保證學(xué)業(yè)指導(dǎo)專業(yè)教師隊(duì)伍質(zhì)量，另一方面，加強(qiáng)評價(jià)體系和考核制度，也能夠增強(qiáng)學(xué)業(yè)指導(dǎo)專業(yè)教師的責(zé)任心和使命感。同時有利于及時發(fā)現(xiàn)學(xué)業(yè)指導(dǎo)過程中存在的問題，并有針對性的提出合理的對策和建議。從而有效促進(jìn)提高教育質(zhì)量和人才培養(yǎng)質(zhì)量。

2 力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是結(jié)合自編碼器結(jié)構(gòu)與空間力系簡化原理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

2.1 自編碼器結(jié)構(gòu)

自編碼器是一種自監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，能夠從無標(biāo)簽樣本中學(xué)習(xí)樣本數(shù)據(jù)特征[15]。其功能是通過編碼層將輸入數(shù)據(jù)重建為低維度數(shù)據(jù)，該低維數(shù)據(jù)可通過解碼層還原重構(gòu)。當(dāng)損失值降低到滿足任務(wù)要求時，就可以認(rèn)為特征輸出即為原始數(shù)據(jù)在低維空間下的特征[16]。

2.2 力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

空間任意力系簡化是基于力的平移定理，將復(fù)雜的空間任意力系轉(zhuǎn)化為空間匯交力系和空間力偶系2 個簡單力系[17]，該過程是對力系的還原重構(gòu)。

對自編碼器結(jié)構(gòu)做如下改進(jìn)：用空間任意力系簡化過程代替?zhèn)鹘y(tǒng)自編碼器的解碼網(wǎng)絡(luò)，如圖1 所示?；谠摻Y(jié)構(gòu)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)損失值接近于0時，編碼層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即為力系的分配過程，且滿足力系等效原則。

圖1 自編碼器改進(jìn)結(jié)構(gòu)Fig.1 Improved autoencoder architecture

2.3 數(shù)據(jù)集和訓(xùn)練流程

實(shí)現(xiàn)動態(tài)控制需要能夠在任意姿態(tài)下完成控制分配。因此，輸入數(shù)據(jù)集S包含兩類信息：目標(biāo)控制量和姿態(tài)四元素Q，如式（6）～式（8）所示：

另外，對任意姿態(tài)進(jìn)行擬合，就存在無限數(shù)據(jù)集，設(shè)計(jì)內(nèi)外雙循環(huán)訓(xùn)練流程，如圖2 所示。

圖2 內(nèi)外雙循環(huán)訓(xùn)練流程Fig.2 Inner and outer double loop training flow chart

在訓(xùn)練時，采用均勻分布隨機(jī)生成n 組向量S1作為內(nèi)循環(huán)樣本數(shù)據(jù)，當(dāng)達(dá)到設(shè)定訓(xùn)練次數(shù)之后，跳出內(nèi)循環(huán)，然后重新生成n 組向量S2，再進(jìn)入內(nèi)循環(huán)進(jìn)行訓(xùn)練。其中S1與S2相互獨(dú)立。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)

根據(jù)形狀特點(diǎn)，損失函數(shù)分為固定斜率和變化斜率。固定斜率以平均絕對值誤差損失函數(shù)L1（Mean Absolute Deviation）為代表；變化斜率以平均平方損失函數(shù)L2（Mean Square Error）為代表[18]。學(xué)習(xí)率更新方法分為固定學(xué)習(xí)率和動態(tài)學(xué)習(xí)率，采用Adam[19]優(yōu)化器的動態(tài)學(xué)習(xí)率作為對照，lr 為當(dāng)前訓(xùn)練步的學(xué)習(xí)率。如式（9）～式（11）所示。其余參數(shù)如表1 所示。

表1 訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.1 Training experimental parameters

組合成4 種不同的實(shí)驗(yàn)條件：①L1與固定學(xué)習(xí)率；②L1與優(yōu)化器Adam 的動態(tài)學(xué)習(xí)率；③L2與固定學(xué)習(xí)率；④L2與優(yōu)化器Adam 的動態(tài)學(xué)習(xí)率。

在（ABCD）4 種不同的實(shí)驗(yàn)條件下，完成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，結(jié)果如圖3 所示?？梢钥闯?，條件B 有更好的收斂效果，而且更穩(wěn)定。

圖3 訓(xùn)練實(shí)驗(yàn)對比Fig.3 Comparison of training experiments

條件B 下的訓(xùn)練結(jié)果，如圖4 所示。標(biāo)出了在外循環(huán)初始時刻的損失值。隨著訓(xùn)練推移，外循環(huán)初始損失值在不斷減小，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在逐漸擬合未曾送入過的數(shù)據(jù)集，證明了訓(xùn)練方法可以解決無限數(shù)據(jù)集問題，適用于控制分配。

圖4 條件B 訓(xùn)練結(jié)果Fig.4 Condition B training results

3.2 單剛體控制問題

針對冗余控制分配，將問題簡化為單剛體控制問題進(jìn)行討論，如圖5 所示。假設(shè)存在一個長方體剛性構(gòu)件和4 個外力，這4 個力作用于單剛體上的不同點(diǎn)，作用點(diǎn)如表2 所示。剛體的所有運(yùn)動，包括克服重力，都由這4 個力來完成。該剛體的動力學(xué)參數(shù)如表3 所示。表2 和表3 中數(shù)據(jù)的參考坐標(biāo)系均為圖5 中坐標(biāo)系o，該坐標(biāo)系原點(diǎn)位于質(zhì)心，隨剛體運(yùn)動。

表2 力的作用點(diǎn)Tab.2 Point of force application

表3 剛體動力學(xué)參數(shù)Tab.3 Rigid body dynamics parameters

圖5 單剛體受力示意圖Fig.5 Force on a single rigid body

控制該剛體時，先根據(jù)目標(biāo)位置與當(dāng)前位置關(guān)系計(jì)算出虛擬質(zhì)心力系U，如式（12）所示。然后將該虛擬質(zhì)心力系分配為4 個實(shí)際控制力F1、F2、F3、F4，分配關(guān)系如式（13）所示：

式中：E為單位矩陣；pi為力作用點(diǎn)相對質(zhì)心坐標(biāo)系o 的位置向量；[pi]x為pi的反對稱矩陣。每個實(shí)際力有3 個分量，則向量x共12 維。因此可知矩陣D為行滿秩矩陣，所以單剛體控制問題屬于過驅(qū)動系統(tǒng)。

3.3 單剛體懸浮控制實(shí)驗(yàn)

該實(shí)驗(yàn)控制目標(biāo)是利用4 個外力去平衡重力，使單剛體保持在離地面0.2 m 處懸浮。

懸浮開始到穩(wěn)定的總用力如圖6 所示。使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到的分配方案相比二次規(guī)劃能夠?qū)⒖傆昧?7 N 減少到44.8 N，更接近剛體重力，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法能有效減少無用功。

圖6 總用力對比圖Fig.6 Total force comparison chart

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二次規(guī)劃在該實(shí)驗(yàn)下的分配結(jié)果，如圖7 所示。圖中的點(diǎn)劃線為0.25 倍單剛體重力。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比二次規(guī)劃，得到的結(jié)果更接近平均值，且分布更集中，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能避免人為設(shè)置權(quán)重引入的偏見。

圖7 分配結(jié)果對比Fig.7 Comparison of allocation results

3.4 單剛體軌跡跟隨控制實(shí)驗(yàn)

該實(shí)驗(yàn)控制目標(biāo)是利用4 個外力控制單剛體在1 倍重力環(huán)境下，維持高度為0.2 m 的同時，由靜止開始跟隨一條圓形軌跡，軌跡方程為

整個跟隨過程中的總用力如圖8 所示。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比二次規(guī)劃能夠?qū)⒖傆昧?7 N 減少到45 N，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在動態(tài)控制時，也能得到更小的分配方案。該實(shí)驗(yàn)的軌跡跟蹤情況如圖9 所示，放大了起始階段（右上角）和終止階段（右下角）。在起始階段，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的跟蹤軌跡偏離目標(biāo)軌跡更??；在終止穩(wěn)定階段，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)誤差也更小。說明在動態(tài)控制任務(wù)中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣具有優(yōu)勢。

圖8 軌跡跟蹤所用外力總量Fig.8 Total force used for trajectory tracking

圖9 軌跡跟蹤情況Fig.9 Trajectory tracking situation

4 結(jié)語

結(jié)合自編碼器結(jié)構(gòu)和空間任意力系簡化原理，提出了一種力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，并證明該結(jié)構(gòu)可以訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)控制分配。針對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，提出了合適的數(shù)據(jù)集和訓(xùn)練流程，并通過實(shí)驗(yàn)證明，力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能有效訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于控制分配。

懸浮控制實(shí)驗(yàn)和軌跡跟隨控制實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比二次規(guī)劃，分配方案分布更集中，不存在偏見問題。同時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用的總用力約為44.5 N，二次規(guī)劃約為47 N，而單剛體總重力為42.14 N，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法能減少驅(qū)動器所做的無用功。

本文方法的優(yōu)點(diǎn)是僅需要確定被控系統(tǒng)的力系簡化過程，即可訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)控制分配。對于異形結(jié)構(gòu)、變結(jié)構(gòu)或具有復(fù)雜耦合情況的控制系統(tǒng)，得到力系的簡化過程比分解過程更容易，這證明力系簡化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以是異形結(jié)構(gòu)、變結(jié)構(gòu)或者復(fù)雜耦合控制系統(tǒng)的控制分配解決方案，這將是更深入探究應(yīng)用的方向。