3T1R解耦并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)與慣量耦合特性分析

朱小蓉 趙 磊 沈惠平

(常州大學(xué)機械工程學(xué)院,常州 213164)

0 引言

四自由度(3CRR/R)&CRU并聯(lián)機構(gòu),是對Quadrupteron機構(gòu)進行結(jié)構(gòu)降耦所得[1-2],機構(gòu)具有運動解耦、耦合度低、工作空間大、轉(zhuǎn)動能力強等特點,在裝配、包裝及碼垛等高速運動工程領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景。

良好的動力學(xué)性能是高速運動并聯(lián)裝備的重要保證。目前并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)建模主要有拉格朗日法[3-4]、虛功原理[5-8]、牛頓-歐拉法[9-14]等方法,其中牛頓-歐拉法因為概念清晰、關(guān)節(jié)支反力/力矩可由平衡方程遞推獲得而得到了廣泛應(yīng)用。LI等[9]基于牛頓-歐拉法對一種4自由度SCARA型并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模,以單驅(qū)動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力最小為優(yōu)化目標(biāo)實現(xiàn)了機構(gòu)的尺寸綜合。王庚祥等[10]將機構(gòu)的關(guān)節(jié)摩擦力視為非保守內(nèi)力,采用牛頓-歐拉法建立了含恰約束支鏈4-SPS/CU并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)方程,推導(dǎo)出關(guān)節(jié)的約束反力/力矩,并討論了關(guān)節(jié)摩擦對機構(gòu)驅(qū)動力的影響。馮志友等[11]采用牛頓-歐拉法對2UPS-2RPS并聯(lián)機構(gòu)進行動力學(xué)建模,討論了給定動平臺運動規(guī)律和外力條件下的機構(gòu)驅(qū)動力和約束力矩。CHEN等[12]基于牛頓-歐拉法,通過設(shè)置兼容方程,建立了一種過約束并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)方程,并以驅(qū)動力最小為優(yōu)化目標(biāo)進行動力學(xué)性能優(yōu)化。GUO等[13]考慮球關(guān)節(jié)、萬向節(jié)和滾珠絲杠的摩擦效應(yīng),采用牛頓-歐拉法建立了5自由度混聯(lián)機器人的顯式動力學(xué)模型。

并聯(lián)機構(gòu)的閉環(huán)多分支結(jié)構(gòu)特征導(dǎo)致了支鏈之間存在較強的耦合,影響機構(gòu)高速、重載運動時的動態(tài)性能。TOURASSIS等[15]提出了機器人動力學(xué)方程中慣量矩陣的中心地位,解釋了慣量矩陣的結(jié)構(gòu)特征及物理意義,并以串聯(lián)機器人為例引入慣量耦合系數(shù)對機構(gòu)動力學(xué)特性進行評價。ASADA[16]利用慣量橢球來表征剛體的動力學(xué)特性。這種基于慣量的動態(tài)指標(biāo)已逐漸推廣到并聯(lián)機器人的動力學(xué)性能評估和參數(shù)優(yōu)化,研究工作主要集中在耦合慣性矩陣的分析方面。LIU等[17]對Stewart平臺的慣性矩陣進行解耦,以慣性矩陣的最大特征值作為慣性指標(biāo),對Stewart平臺進行尺寸優(yōu)化。宋軼民等[18]定義系統(tǒng)慣性矩陣條件數(shù)的倒數(shù)為評價系統(tǒng)動力學(xué)性能的局部指標(biāo),對非冗余3-RRR和冗余4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)性能進行了比較。王冬等[19]定義機構(gòu)慣量矩陣的非對角元素之和作為慣量耦合指標(biāo),以3-PRS并聯(lián)機構(gòu)為例,分析了耦合指標(biāo)在工作空間內(nèi)的分布,并用實驗進行了驗證。文獻[20-23]提出了統(tǒng)一量綱的慣量耦合強度指標(biāo),研究了評價指標(biāo)隨機構(gòu)運動狀況的變化規(guī)律。WU等[24]提出了任務(wù)空間中各向同性的動態(tài)性能指標(biāo),綜合考慮了動力學(xué)模型中加速度、速度、重力等影響因素,并以4自由度機器人為例驗證了性能指標(biāo)的有效性。

腎結(jié)石治療方法較多，主要分為保守治療、腔鏡治療和手術(shù)治療。保守療法通常無法獲得理想效果。開放手術(shù)會對患者造成較大創(chuàng)傷，術(shù)后恢復(fù)時間長，諸多腎結(jié)石患者對于此種治療方法不認可[4-5]。在隨著泌尿外科微創(chuàng)技術(shù)的快速發(fā)展，腎結(jié)石治療方案中的微創(chuàng)腔鏡手術(shù)獲得廣泛應(yīng)用，同開放手術(shù)方法進行比較，術(shù)中出血量、手術(shù)創(chuàng)傷以及術(shù)后并發(fā)癥等方面均呈現(xiàn)出顯著優(yōu)勢。

本文基于牛頓-歐拉法,考慮構(gòu)件重力以及外負載建立(3CRR/R)&CRU并聯(lián)機構(gòu)的逆向動力學(xué)模型,并利用有限元仿真驗證模型的正確性。基于關(guān)節(jié)空間的慣量矩陣,建立支鏈間慣量耦合強度評價指標(biāo),分析其在工作空間內(nèi)的分布規(guī)律,并與結(jié)構(gòu)降耦前的機構(gòu)進行對比分析。

1 機構(gòu)描述及運動學(xué)分析

1.1 機構(gòu)描述

(3CRR/R)&CRU機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示,可看成由兩個子結(jié)構(gòu)并聯(lián)而成。動平臺2一方面通過C41R42U43支鏈直接與靜平臺0相連;另一方面通過轉(zhuǎn)動副RD、中間平臺1及3條CRR支鏈與靜平臺0相連,其中3條CRR支鏈相互正交,分別沿x、y、z軸安裝。與Quadrupteron機構(gòu)相比,該機構(gòu)由兩個基本運動鏈組成,不僅耦合度降低、運動學(xué)解耦,而且全工作空間內(nèi)所有位置的轉(zhuǎn)動能力一致[1],克服了一般并聯(lián)機構(gòu)耦合度強、控制復(fù)雜的弱點。

機構(gòu)的4個驅(qū)動副分別安裝在間距為L的4個軌道上。在固定軌道上點O建立靜坐標(biāo)系Oxyz,該機構(gòu)的末端動平臺2能夠?qū)崿F(xiàn)x、y、z3個方向的移動以及繞垂直方向軸線的轉(zhuǎn)動。

設(shè)機構(gòu)輸入矢量為(ρ1,ρ2,ρ3,ρ4),末端輸出點D的位姿為(xD,yD,zD,φ),其中φ為動平臺的姿態(tài)轉(zhuǎn)角。h為中間平臺和動平臺之間的高度差,動平臺長度為l,轉(zhuǎn)動副Ri3在中間平臺的安裝基點為點Ci,分布在半徑為r的圓周上,以中間平臺點N為原點建立圖2所示坐標(biāo)系Nuvw,w軸垂直于中間平臺,NCi與u軸的安裝角為βi。機構(gòu)定長桿AiBi、BiCi桿長分別為li1、li2(i=1,2,3,4);桿件AiBi、BiCi轉(zhuǎn)動角分別定義為θi1、θi2(i=1,2,3,4)。

圖2 運動副在中間平臺1上的分布

機構(gòu)支鏈1、2、3、4存在的運動學(xué)關(guān)系分別為

對里程樁號4+845～4+995段使用TGP 206A超前地質(zhì)預(yù)報處理軟件處理原始地震波三分量原始數(shù)據(jù)(圖8)后得到同側(cè)地震波繞射偏移圖(圖9)和同側(cè)地震波反射界面圖(圖10)。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,c表示余弦函數(shù);s表示正弦函數(shù)。

1.2 機構(gòu)位置正反解

為驗證所建動力學(xué)模型的正確性,采用ADAMS軟件對機構(gòu)進行仿真驗證。通過設(shè)置環(huán)境參數(shù)和單位系統(tǒng)并添加相應(yīng)的運動副約束,虛擬樣機模型如圖9所示。

1、設(shè)計總工程師要緊緊把握總布置設(shè)計專業(yè)，并作為搞好工程設(shè)計質(zhì)量、降低工程造價的重要環(huán)節(jié)之一來抓。從工程開始就要重視電廠的總體規(guī)劃和全廠總布置工作，從總體規(guī)劃入手，搞好工程設(shè)計質(zhì)量，認真貫徹電力建設(shè)“安全可靠、經(jīng)濟適用、符合國情”的十二字方針。

(5)

機構(gòu)位置正解方程為

(6)

由式(5)、(6)可知,機構(gòu)x、y、z方向的移動輸出與3支鏈的驅(qū)動輸入ρ1、ρ2、ρ3存在一一對應(yīng)關(guān)系,且互相之間獨立,轉(zhuǎn)動輸出僅與ρ2、ρ4相關(guān),故機構(gòu)具有運動學(xué)解耦特性。

1.3 動平臺速度和加速度

對式(6)關(guān)于時間求導(dǎo),可得

(7)

其中

1.4 中間平臺速度和加速度

根據(jù)動平臺與中間平臺的位置關(guān)系,以及機構(gòu)的位置正反解方程式(5)、(6),可得中間平臺幾何中心在坐標(biāo)系Oxyz系下的矢量表示為(x1,y1,z1),其中

(8)

ri3、ri4——點Bi、點Ci相對于質(zhì)心的位置矢量

1.5 驅(qū)動桿AiBi速度和加速度

由式(1)～(4)可推導(dǎo)得

Misθi1+Nicθi1=Ki(i=1,2,3,4)

(9)

其中

(10)

(11)

(12)

(13)

對式(9)求解,可得桿AiBi轉(zhuǎn)動角為

(14)

則桿件AiBi質(zhì)心速度和角速度為

(15)

(16)

式中eAiBi——點Ai到點Bi的單位向量

vAi、vBi——點Ai、Bi在靜坐標(biāo)系中的速度

那天晚上兩人睡在了一起，好友抱著女人跟她說，有些時候咱們女人是最傻的，被騙了還不醒悟，被拋棄了還懷念人家過去的好，想一想真的很傻。

(17)

(18)

1.6 被動桿BiCi速度和加速度

同樣,桿BiCi質(zhì)心的速度和角速度為

(19)

(20)

對式(19)、(20)求導(dǎo),可得桿BiCi質(zhì)心加速度和角加速度為

對于”羅森塔爾效應(yīng)”，大家是熟知的，這就要求我們教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心。學(xué)生的學(xué)習(xí)信心不足，懷疑自己的學(xué)習(xí)潛力，自卑心強，就不可能對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。如果有了教師的信任和愛護，學(xué)生則會變得更加自信、自強。對學(xué)習(xí)信心不足的學(xué)生，教師要善于發(fā)現(xiàn)和利用他們的閃光點，及時表揚和鼓勵，以增強其信心。學(xué)生經(jīng)常受到激勵和鼓舞會產(chǎn)生愉悅的心理體驗，從而產(chǎn)生濃郁的學(xué)習(xí)興趣。

(21)

(22)

2 并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型

采用牛頓-歐拉法建立機構(gòu)的動力學(xué)模型,分別以運動構(gòu)件和動平臺為研究對象進行受力分析。為簡化模型做如下假設(shè):①構(gòu)件及動平臺為質(zhì)量集中分布的剛體單元,構(gòu)件幾何中心與其重心重合,重力矢量在z軸負方向。②動平臺所受外載荷簡化為過其幾何中心的力Fex和力矩Mex。③與機架相連的移動副為驅(qū)動副,采用伺服電機+減速器+滾珠絲桿副的驅(qū)動形式。

（5）隨著不斷巡檢數(shù)據(jù)的增加，能夠具備自動更新設(shè)備歷史狀態(tài)信息庫，更新狀態(tài)模型，動態(tài)、靈活地調(diào)整和控制設(shè)備運行狀態(tài)，使系統(tǒng)狀態(tài)往有利方向發(fā)展。

2.1 子結(jié)構(gòu)1中各運動構(gòu)件

子結(jié)構(gòu)1由3條相同的CRR支鏈并聯(lián)而成,應(yīng)分別進行受力分析。

2.1.1驅(qū)動桿AiBi受力分析

驅(qū)動桿AiBi(i=1,2,3)兩端分別通過圓柱副和轉(zhuǎn)動副與定平臺 (包括驅(qū)動裝置) 和被動桿BiCi相連,受力如圖3所示。

在圓柱副處驅(qū)動桿受力Fai=(Faix,Faiy,Faiz)和力矩Mai=(Maix,Maiy,Maiz)作用,在轉(zhuǎn)動副處受桿BiCi的約束力Fbi=(Fbix,Fbiy,Fbiz)和約束力矩Mbi=(Mbix,Mbiy,Mbiz),以及連架桿自重mi1g。其中,Fa1x、Fa2y、Fa3z分別為作用在支鏈1、2、3絲桿螺母上的主驅(qū)動力,記為τ1、τ2、τ3。又根據(jù)支鏈布局,約束力矩可分別記為Ma1=(0,Ma1y,Ma1z)、Ma2=(Ma2x,0,Ma2z)、Ma3=(Ma3x,Ma3y,0)、Mb1=(0,Mb1y,Mb1z)、Mb2=(Mb2x,0,Mb2z)、Mb3=(Mb3x,Mb3y,0)。

則桿AiBi力平衡方程為

(23)

式中O——零矩陣

在固定坐標(biāo)系下對桿AiBi質(zhì)心取矩,得力矩平衡方程為

(24)

其中

仔豬白痢的病理變化主要表現(xiàn)在可視粘膜蒼白、消瘦、腸粘膜充血、輕度出血、腸壁薄且失去彈性、腸內(nèi)容物增多呈泡沫樣，腸系膜淋巴結(jié)腫大及充血。

Mi1=Ii1εi1+ωi1Ii1ωi1

式中Mi1——桿AiBi慣性力矩

Ii1——桿AiBi相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

ri1、ri2——點Ai、點Bi相對桿質(zhì)心的位置矢量

其中

2.1.2被動桿BiCi受力分析

這三個環(huán)節(jié)從整體上決定了一個企業(yè)的品牌能不能做起來，能不能被公眾認可，而企業(yè)品牌建設(shè)的長期規(guī)劃也是圍繞著這三個環(huán)節(jié)展開和操作的。在這個過程中，品牌價值的評估是企業(yè)有條不紊地進行品牌建設(shè)的重要一環(huán)，可以幫助企業(yè)實時掌握自身品牌建設(shè)的效果，及時做出分析與戰(zhàn)略調(diào)整。

圖4 桿件BiCi的受力分析

則桿BiCi力平衡方程為

磷石膏是磷化工企業(yè)采用濕法工藝，在磷酸生產(chǎn)中用硫酸處理磷礦時產(chǎn)生的固體廢渣，其主要成分為二水硫酸鈣，此外還含有未分解完的磷礦、氟化物、磷酸、有機質(zhì)、酸不溶物、鐵鋁化合物等雜質(zhì)。[1]通常情況下，濕法生產(chǎn)1t磷酸就會副產(chǎn)4.5-5.5t磷石膏。[2]

(25)

對桿BiCi質(zhì)心取矩,得力矩平衡方程

(26)

其中

Mi2=Ii2εi2+ωi2Ii2ωi2

式中Mi2——桿BiCi慣性力矩

Ii2——桿BiCi相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

2.1.3中間平臺受力分析

中間平臺受力包括3個轉(zhuǎn)動副Ri3處的反力-Fci和約束反力矩-Mci,以及轉(zhuǎn)動副RD處的約束力Ft1=(Ft1x,Ft1y,Ft1z)和約束力矩Mt1=(Mt1x,Mt1y,0),以及自身重力m1g,見圖5。

圖5 中間平臺受力分析

中間平臺力平衡方程為

(27)

由于中間平臺僅有移動,只產(chǎn)生慣性力,在定坐標(biāo)系下對質(zhì)心的力矩平衡方程為

(28)

式中rci——點Ci相對于中間平臺質(zhì)心點D的位置矢量

2.2 子結(jié)構(gòu)2運動構(gòu)件

2.2.1驅(qū)動桿A4B4受力分析

驅(qū)動桿A4B4在圓柱副C41處受力Fa4=(Fa4x,Fa4y,Fa4z)和約束力矩Ma4=(Ma4x,0,Ma4z);轉(zhuǎn)動副R42處受約束力Fb4=(Fb4x,Fb4y,Fb4z)和約束力矩Mb4=(0,Mb4y,Mb4z),以及自重m41g,如圖6所示。其中,Fa4y為支鏈驅(qū)動力,記為τ4。

圖6 驅(qū)動桿A4B4受力分析

則桿A4B4的力平衡方程為

(29)

對桿A4B4質(zhì)心取矩,得力矩平衡方程為

(30)

其中

M41=I41ε41+ω41I41ω41

式中M41——桿A4B4慣性力矩

I41——桿A4B4相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

r41、r42——點A4、點B4相對質(zhì)心位置矢量

桿BiCi(i=1,2,3)兩端均以轉(zhuǎn)動副與驅(qū)動桿AiBi和中間平臺連接,受到驅(qū)動桿的反力-Fbi和反力矩-Mbi,受到中間平臺的約束力Fci=(Fcix,Fciy,Fciz)和約束力矩Mci(支鏈1、2、3分別記為Mc1=(0,Mc1y,Mc1z)、Mc2=(Mc2x,0,Mc2z)、Mc3=(Mc3x,Mc3y,0)),以及桿件自重mi2g,受力如圖4所示。

2.2.2被動桿B4C4受力分析

被動桿B4C4在虎克鉸U43處受動平臺的約束力Ft2=(Ft2x,Ft2y,Ft2z)和約束力矩Mt2=(Mt2x,0,0),在轉(zhuǎn)動副R42處受反力-Fb4和約束反力矩-Mb4,以及桿件自重m42g,如圖7所示。

圖7 連桿B4C4的受力分析

則桿B4C4的力平衡方程為

如果短期燃油修正值在圖2所示“3”區(qū)域(-35%～-60%)或在“4”區(qū)域(+35%～+60%)，說明發(fā)動機的反饋控制已經(jīng)無法修正混合汽的狀態(tài)，此時發(fā)動機會激活故障碼P0172(混合汽過濃)或故障碼(P0171)，同時發(fā)動機故障指示燈點亮。

(31)

對桿B4C4質(zhì)心取矩,得力矩平衡方程

(32)

——堅持以人民為中心的發(fā)展思想，始終把維護人民群眾資源權(quán)益作為各項工作的出發(fā)點和落腳點，積極推動資源為民惠民利民，不斷健全完善自然資源社會服務(wù)體系，人民群眾的幸福感獲得感持續(xù)增強。

對式(15)、(16)求導(dǎo),可得桿AiBi質(zhì)心加速度和角加速度為

M42=I42ε42+ω42I42ω42

式中M42——桿B4C4慣性力矩

I42——桿B4C4相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

2017年9月23日，在當(dāng)?shù)亟?jīng)銷商的配合下，召開了農(nóng)戶觀摩和部分零售商觀摩會暨訂貨會，成功銷售云天化葡萄套餐肥24套。為云天化紅寶石套餐肥在山東省招遠市紅寶石葡萄作物上的推廣打下了堅實的基礎(chǔ)。

r43、r44——點B4、點C4相對質(zhì)心位置矢量

2.3 動平臺受力分析

動平臺兩側(cè)分別通過RD和U43與支鏈相連,受力如圖8所示,包括轉(zhuǎn)動副約束反力-Ft1和約束反力矩-Mt1;約束反力-Ft2和約束反力矩-Mt2,外力Fe=(Fex,Fey,Fez)、外力矩Me=(Mex,Mey,Mez);以及自身重力mg。

圖8 動平臺受力分析

則動平臺力/力矩平衡方程為

關(guān)于“音樂產(chǎn)業(yè)”的興起，可追溯到20世紀80年代左右。隨改革開放的深入，音樂形式不斷豐富，音樂人才隊伍逐漸壯大。以磁帶為主的唱片銷量突飛猛進，得到空前發(fā)展。20世紀末，互聯(lián)網(wǎng)的普及使數(shù)字音樂崛地而起，并占據(jù)音樂產(chǎn)業(yè)的核心地位。此外，還延伸出許多相關(guān)產(chǎn)業(yè)，如音樂教育業(yè)、音樂生產(chǎn)業(yè)等。音樂產(chǎn)業(yè)不僅為經(jīng)濟和文化創(chuàng)造出財富，而且極大擴展了文化產(chǎn)業(yè)的領(lǐng)域。

(33)

(34)

其中

M=Iε+ωIω

式中M——動平臺慣性力矩

I——動平臺相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量

rD、rC4——點D和點C4相對質(zhì)心位置矢量

2.4 并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)方程

聯(lián)立式 (23)～(34),共60個方程,60個未知量,方程可解。通過消元法消除內(nèi)力/力矩,可得到機構(gòu)驅(qū)動力的顯式表達式,并記驅(qū)動力為

τ=[τ1τ2τ3τ4]T=[Fa1xFa2yFa3zFa4y]T

3 動力學(xué)數(shù)值算例

3.1 動力學(xué)模型仿真驗證

由式(1)～(4)可得機構(gòu)位置反解方程

圖9 ADAMS仿真模型

機構(gòu)幾何和慣性參數(shù)如表1所示。為提高理論建模精度,桿件質(zhì)心、質(zhì)量和慣量均由仿真模型獲得;中間平臺和桿件采用碳纖維,驅(qū)動系統(tǒng)采用1FL6024-2AF型直流伺服電機和1605型滾珠絲桿。

表1 機構(gòu)的幾何和物理參數(shù)

假設(shè)外負載為0,動平臺姿態(tài)角不變φ=0°,初始運動條件下動平臺質(zhì)心坐標(biāo)為(x0,y0,z0),給定動平臺運動軌跡為

(35)

將表1中參數(shù)值代入動力學(xué)方程,利用Matlab計算各支鏈驅(qū)動力,計算結(jié)果與ADAMS仿真軟件按同樣軌跡仿真運動的結(jié)果進行對比,結(jié)果如圖10 所示。由圖10c可知,理論值與仿真值基本吻合,4條驅(qū)動力曲線的最大相對誤差分別為5.49%、2.51%、8.26%、0.35%,驗證了動力學(xué)模型正確性。

圖10 驅(qū)動力計算結(jié)果

3.2 加速度對驅(qū)動力的影響

對高速并聯(lián)機構(gòu),主要承受來自高速運動產(chǎn)生的慣性力,因此下面分析當(dāng)動平臺最大加速度為3、7、11 m/s2時機構(gòu)驅(qū)動力的變化,并假設(shè)外負載為0,動平臺姿態(tài)角不變φ=0°,沿平行于坐標(biāo)軸方向和空間直線運動(4條軌跡如圖11所示),均采用五次多項式進行路徑規(guī)劃,且初始位置的速度、加速度為0,驅(qū)動力計算結(jié)果如圖12所示,每條支鏈驅(qū)動力最大值見表2。

表2 不同加速度時的驅(qū)動力

圖11 不同運動軌跡

圖12 加速度對驅(qū)動力的影響

由于機構(gòu)沿x、y、z軸的運動分別由支鏈1、2、3的驅(qū)動控制,因此當(dāng)動平臺平行于x、y、z軸運動時,支鏈1、2、3分別定義為驅(qū)動支鏈,其余支鏈定義為相應(yīng)的鎖定支鏈。

由圖12和表2可得出:

(1)無論沿哪個方向運動,驅(qū)動力隨動平臺加速度的增加而增加。特別是平行于坐標(biāo)軸方向運動時,驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力對加速度呈線性增加,但鎖定支鏈的驅(qū)動力增加幅度較小。

(2)無論平面運動還是空間運動,支鏈3的驅(qū)動值都較大。沿x、y軸運動時,支鏈3的驅(qū)動力接近甚至超過驅(qū)動支鏈的驅(qū)動力,特別是低加速度時更為明顯,因此機構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計時支鏈3是關(guān)鍵。

(3)動平臺做定姿態(tài)運動時,支鏈4僅與y軸方向的運動有關(guān),當(dāng)動平臺沿x、z軸運動時,支鏈4的驅(qū)動力接近0。

(4)支鏈間驅(qū)動力存在耦合。相同的加速度條件下,空間運動時的驅(qū)動力大于單軸運動時的驅(qū)動力,且加速度越大,差值越明顯,這也證明了慣量對機構(gòu)動力學(xué)性能有較大影響。

3.3 動平臺姿態(tài)角對驅(qū)動力的影響

為研究姿態(tài)角對機構(gòu)驅(qū)動力的影響,假設(shè)動平臺中心點D按圖11中軌跡4運動,姿態(tài)角分別保持為φ=±60°、±30°、0°時,計算支鏈的驅(qū)動力,結(jié)果如圖13所示。由圖13可得:①當(dāng)運動軌跡相同時,動平臺姿態(tài)角的變化對驅(qū)動力τ1、τ3沒有影響,對τ2、τ4有影響,且影響規(guī)律相同。②當(dāng)姿態(tài)角為-60°時,所需驅(qū)動力最小,可以將此姿態(tài)設(shè)置為機構(gòu)的初始姿態(tài)。

圖13 姿態(tài)角φ對驅(qū)動力的影響

4 動力學(xué)耦合特性分析

并聯(lián)機構(gòu)笛卡爾空間逆動力學(xué)模型可表示為

(36)

式中τ——主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力

MX——機構(gòu)廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣

F——外力

對高加減速機構(gòu)而言,與加速度有關(guān)的項MX將起主導(dǎo)作用。對(3CRR/R)&CRU并聯(lián)機構(gòu)而言,廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣為

(37)

式中M——動平臺在廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣

M1——中間平臺廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣

Mi1——驅(qū)動桿在廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣

Mi2——被動桿在廣義坐標(biāo)下的慣性矩陣

為研究并聯(lián)機構(gòu)主動支鏈間的動力學(xué)耦合特性,需要建立其關(guān)節(jié)空間的驅(qū)動力模型。由于機構(gòu)動能既能在關(guān)節(jié)空間下表示,又能在廣義坐標(biāo)下表示,則有

(38)

(39)

將式(39)代入式(38),可得到笛卡爾坐標(biāo)下的慣量矩陣MX與關(guān)節(jié)空間的慣量矩陣Mq之間的關(guān)系為[22]

Mq=(J-1)TMX(J-1)

(40)

根據(jù)文獻[14],可計算出機構(gòu)每個構(gòu)件j在定坐標(biāo)系下的廣義慣量矩陣為

(41)

式中m——構(gòu)件j質(zhì)量

R——構(gòu)件j局部坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣

I——單位矩陣

M——構(gòu)件j局部坐標(biāo)下的慣性矩陣

機構(gòu)關(guān)節(jié)空間的慣性矩陣Mq第i行除對角元素外的其他元素Mik(i≠k)為第i支鏈對其余支鏈的耦合慣量,會產(chǎn)生耦合力矩從而影響支鏈的動態(tài)性能?；诖?文獻[25]提出了并聯(lián)機構(gòu)支鏈間的動力學(xué)耦合強度指標(biāo)DCIi,計算式為

(42)

其中

式中,δDi為耦合強度系數(shù),是慣性矩陣Mq的非對角項相對對角項的占比,值越小表明機構(gòu)受到的耦合力矩越小。耦合強度指標(biāo)DCIi是對δDi的進一步處理,使其在[0,1]范圍內(nèi)變化。該值越接近1,動力學(xué)耦合越嚴重,反之,動力學(xué)耦合強度越小。由式(42)可知,DCIi為機構(gòu)位姿的函數(shù)。

將表1所示參數(shù)依次代入式(41)、(37)、(40)、(42),可得第i條支鏈的耦合強度指標(biāo)DCIi在工作空間的變化規(guī)律。為便于性能比較,采用同樣的方法,對結(jié)構(gòu)降耦前的Quadrupteron機構(gòu)[1]的耦合強度指標(biāo)進行計算。圖14、15分別為兩個機構(gòu)的DCI在工作空間內(nèi)的分布,DCI最大值見表3。

表3 機構(gòu)DCI的最大值

圖14 降耦后機構(gòu)(3CRR/R)&CRU的DCI

圖15 降耦前機構(gòu)Quadrupteron的DCI

由圖14、15以及表3可知:

(1)對所有支鏈而言,(3CRR/R)&CRU 降耦機構(gòu)的耦合強度明顯低于降耦之前的Quadrupteron機構(gòu)。DCI1的最大值從0.7降到0.22,DCI2最大值從0.6降到0.26,DCI3的最大值從0.4降到0.24,DCI4的最大值從0.86降到0.64。

(2)運動學(xué)解耦可降低機構(gòu)慣量耦合強度。由文獻[26]可知,降耦前機構(gòu)僅z向輸出完全解耦,其余輸出為部分解耦,因此機構(gòu)DCI3明顯低于DCI1、DCI2和DCI4。而降耦后機構(gòu)的3個移動輸出完全解耦,轉(zhuǎn)動部分解耦,輸出與支鏈2、4的驅(qū)動相關(guān),因此降耦后機構(gòu)的DCI4高于DCI1、DCI2和DCI3。

為進一步分析降耦之后機構(gòu)DCI的分布規(guī)律,繪制z=260 mm時DCIi在xy平面內(nèi)的等高線圖,結(jié)果如圖16所示。由圖16可知:

圖16 DCI分布(z=260 mm)

(1)降耦機構(gòu)(3CRR/R)&CRU所有支鏈的DCI值均很小,DCI1、DCI2和DCI3均低于0.26,說明支鏈間耦合強度較弱,尤其工作空間中心位置的DCI值達最小。

(2)整個xy平面內(nèi)DCI值的變化幅度較小,說明機構(gòu)具有較好的各向同性性能,對高速高精等工程應(yīng)用更為有利。

5 結(jié)論

(1)考慮重力、外負載,利用牛頓-歐拉法建立了(3CRR/R)&CRU并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型,并用ADAMS進行了仿真驗證。

(2)基于所建動力學(xué)模型分析了加速度和動平臺姿態(tài)角對機構(gòu)驅(qū)動力的影響,為機構(gòu)軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)。

(3)建立了慣量耦合強度指標(biāo),分析了其在工作空間內(nèi)的分布。結(jié)果表明,結(jié)構(gòu)降耦明顯降低了機構(gòu)支鏈間的耦合強度,提高了機構(gòu)的動態(tài)性能。

(4)降耦之后的機構(gòu),不僅慣量耦合強度弱,而且整個工作空間內(nèi)耦合強度變化較小,提升了機構(gòu)的各向同性性能。