預(yù)定時間多導(dǎo)彈三維協(xié)同制導(dǎo)律

池海紅，丁棲航，張國良

(1. 哈爾濱工程大學(xué)智能科學(xué)與工程學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076)

0 引 言

隨著各種軍用高速飛行器機動能力的不斷提升,用單枚導(dǎo)彈來打擊這種具有高速高機動特性的目標變得越來越困難[1-3]。由于近年來多智能體一致性理論和信息通信技術(shù)的快速發(fā)展,使各導(dǎo)彈間的實時信息通信成為可能。在成員間可以進行信息交互的基礎(chǔ)上,多枚導(dǎo)彈協(xié)作打擊目標成為一種有效且可行的打擊方法。因此,對協(xié)同制導(dǎo)律的研究對于未來戰(zhàn)場具有非常重要的意義。

協(xié)同制導(dǎo)律要求打擊系統(tǒng)中的每個成員必須同時命中目標,甚至在此基礎(chǔ)上,要求各導(dǎo)彈以各自不同的視線角來命中目標,以達到對目標更好的毀傷效果[4-6]。

文獻[7]針對反艦導(dǎo)彈,首次提出了攻擊時間可控制導(dǎo)律(ITCG),其將比例導(dǎo)引律結(jié)合攻擊時間誤差偏置項得到導(dǎo)引律,通過對各反艦導(dǎo)彈預(yù)置相同的攻擊時間,使多枚反艦導(dǎo)彈同時命中目標。文獻[8]根據(jù)攻擊時間誤差和視線角誤差設(shè)計了一個新型的滑模面,在各導(dǎo)彈同時擊中目標的基礎(chǔ)上,各導(dǎo)彈可以達到各自的期望視線角。協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)采用這類打擊方式時,各個導(dǎo)彈之間沒有通信,等同于每一枚導(dǎo)彈單獨在期望攻擊時間約束下進行打擊,對靜止和慢速移動的目標具有較好的打擊效果,但在突發(fā)情況下預(yù)設(shè)理想攻擊時間是不太現(xiàn)實的。

隨著信息通信技術(shù)的發(fā)展,導(dǎo)彈之間的信息共享也成為可能。文獻[9]在傳統(tǒng)ITCG基礎(chǔ)上,由各導(dǎo)彈的攻擊時間實時均值與實際攻擊時間的誤差組成ITCG中的誤差反饋項,不再需要預(yù)設(shè)期望的攻擊時間。伴隨有限時間控制理論和多智能體一致性理論的興起,結(jié)合兩種理論的協(xié)同制導(dǎo)律也得到了快速發(fā)展。文獻[10]根據(jù)有限時間控制理論,設(shè)計了有限時間一致性協(xié)議,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律,使各導(dǎo)彈可以在有限時間內(nèi)同時命中固定目標,最后在協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)中增加了擴張狀態(tài)觀測器來觀測目標的機動信息,增強了系統(tǒng)的魯棒性。文獻[11]設(shè)計了有限時間擾動觀測器來觀測機動目標的加速度,并設(shè)計了新型的非奇異快速終端滑模面(NFTSM),兩者結(jié)合設(shè)計了一種可打擊機動目標的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻[12]針對大機動目標,設(shè)計了基于自適應(yīng)超螺旋滑?？刂评碚摰囊浑A有限時間一致性協(xié)議,在此基礎(chǔ)上在視線方向設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律,在有限時間內(nèi)將攻擊時間收斂到一致的同時,有效地保證了系統(tǒng)存在外部擾動時的魯棒性;此外在視線法向設(shè)計了基于自適應(yīng)律和有限時間NFTSM的協(xié)同制導(dǎo)律,使視線角在有限時間內(nèi)收斂到期望值。盡管有限時間協(xié)同制導(dǎo)律可以在有限時間內(nèi)完成各導(dǎo)彈的攻擊時間趨于一致和各導(dǎo)彈的視線角達到期望值的任務(wù),但系統(tǒng)收斂時間上界很大程度取決于系統(tǒng)的初始值,在系統(tǒng)初始值很大或者不可確定的時候,收斂時間上界也可能會變得很大甚至不可預(yù)測。

隨著固定時間控制理論的興起,結(jié)合了固定時間控制理論的協(xié)同制導(dǎo)律得到了快速發(fā)展,固定時間控制有著系統(tǒng)收斂時間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)的優(yōu)點。文獻[13]設(shè)計了二階固定時間一致性協(xié)議和固定時間滑模面,并將兩者結(jié)合設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律,針對固定目標,在三維空間中進行了仿真驗證。文獻[14]在視線方向上設(shè)計了基于固定時間多智能體一致性理論的攻擊時間協(xié)同制導(dǎo)律,在視線法向設(shè)計固定時間NFTSM,針對高機動目標在固定時間內(nèi)滿足視線角約束下的攻擊時間一致。文獻[15]基于固定時間一致性理論為多個主飛行器設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律,使各個主飛行器可以在固定時間內(nèi)同時命中目標,并為各個主飛行器所在群組中的從飛行器設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律,使每個組的從飛行器可以與其所在組的主飛行器的攻擊時間在固定時間內(nèi)達到一致,最后使整個打擊群組在固定時間內(nèi)同時命中目標。盡管固定時間協(xié)同制導(dǎo)律可以使系統(tǒng)收斂時間上界通過控制器參數(shù)準確確定,然而兩者之間卻沒有較為明確的關(guān)系,大多數(shù)情況下都需要經(jīng)過對控制器參數(shù)的復(fù)雜運算才能確定具體值。

為了克服有限時間控制和固定時間控制的缺點,文獻[16]首次提出了預(yù)定時間控制理論,其最大的優(yōu)點在于系統(tǒng)收斂時間的上界可以通過一個控制器中的顯式參數(shù)直接設(shè)置,不再需要對控制器中的多個參數(shù)進行復(fù)雜運算。文獻[17]根據(jù)預(yù)定時間控制理論,在二維空間中在切換通信拓撲下設(shè)計了基于預(yù)定時間一致性的協(xié)同制導(dǎo)律,使得各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致。

受以上文獻啟發(fā),針對三維空間中的機動目標,設(shè)計基于視線角約束和攻擊時間約束的預(yù)定時間三維協(xié)同制導(dǎo)律。貢獻如下,設(shè)計了一個新的預(yù)定時間收斂的非線性系統(tǒng),其收斂時間上界可以通過顯式參數(shù)直接進行設(shè)置?；诖讼到y(tǒng)設(shè)計了新的預(yù)定時間多智能體一致性協(xié)議,在此基礎(chǔ)上設(shè)計了視線方向的協(xié)同制導(dǎo)律,使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致。此外設(shè)計了新型預(yù)定時間收斂非奇異快速終端滑模面,在此基礎(chǔ)上設(shè)計了視線法向的協(xié)同制導(dǎo)律,使各導(dǎo)彈的視線角可以在預(yù)定時間內(nèi)達到期望值。

1 預(yù)備知識和問題描述

1.1 代數(shù)圖論

在本文中,假設(shè)各導(dǎo)彈之間可以相互共享信息,既通信方式為雙向通信,所以導(dǎo)彈之間通信拓撲圖可以用無向圖G=(v,ζ,A)來表示,v=(v1,v2, …,vn)是無向圖G的所有節(jié)點的集合;ζ代表了無向圖G中節(jié)點之間的連線;A=[aij]∈Rn×n為權(quán)重系數(shù)矩陣。在本文中,如果導(dǎo)彈i和j可以實現(xiàn)相互通信,則aij=aji=1,否則aij=aji=0。如果無向圖中任意兩個節(jié)點都可以通過一條無向路徑連接起來,則稱此無向圖是連通的。

引理1.[18]設(shè)LA=[lij]∈Rn×n為與無向圖G相對應(yīng)的拉普拉斯矩陣,矩陣定義為

(1)

且LA具有如下性質(zhì):

1)0是LA的一個特征值,且其對應(yīng)特征向量為1N=[1,…,1]T∈Rn。

3)如果無向圖G是連通的,λ2(LA)>0是LA的第二大特征值。

引理2.[19]設(shè)x1,x2,…,xn≥0,有如下性質(zhì):

(2)

1.2 固定時間穩(wěn)定和預(yù)定時間穩(wěn)定

考慮如下一類非線性系統(tǒng)

(3)

式中:x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài);f(x;ρ):Rn→Rn是一個非線性函數(shù),ρ∈Rb為系統(tǒng)的常量參數(shù),假設(shè)原點為系統(tǒng)的平衡點,所以f(0;ρ)=0。系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0=x(0)∈Rn。

定義1.[20]如果系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定的,并且對于?x0∈Rn,存在0≤T<∞,當t>T時,系統(tǒng)(3)的解滿足Φ(t,x0)=0,且系統(tǒng)狀態(tài)收斂到原點的收斂時間函數(shù)T(x0)=inf{T≥0:Φ(t,x0)=0, ?t≥T},其中T:Rn→R+∪{0},此時稱系統(tǒng)(3)為全局有限時間穩(wěn)定。

定義2.[21]如果系統(tǒng)(3)是全局有限時間穩(wěn)定的,并且收斂時間的上界是與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)的,即?Tmax>0,對于?x0∈Rn,滿足T(x0)≤Tmax<∞,此時稱系統(tǒng)(3)為全局固定時間穩(wěn)定。

注1.對于?x∈R,且k>0,定義sigk(x)=|x|ksgn(x)。對于?x=[x1,…,xn]T∈Rn, sigk(x)=[sigk(x1),…,sigk(xn)]T。

引理3.[22]考慮如下受到擾動的二階非線性系統(tǒng)

(4)

對系統(tǒng)(4)設(shè)計固定時間擾動觀測器

(5)

(6)

定義3.[23]對于系統(tǒng)(3),如果參數(shù)ρ和預(yù)定的參數(shù)Tp滿足關(guān)系:Tp=Tp(ρ)>0。如果系統(tǒng)(3)是固定時間穩(wěn)定的,且對于?x0∈Rn,收斂時間T(x0)滿足T(x0)≤Tp<∞,此時稱系統(tǒng)(3)為全局預(yù)定時間穩(wěn)定,即系統(tǒng)的收斂時間上界可以由系統(tǒng)中的一個參數(shù)直接獲得。

定理1.設(shè)計一個新的預(yù)定時間收斂系統(tǒng)

(7)

式中:x∈R為系統(tǒng)狀態(tài),對于?x0=x(0)∈R,Tp>0, 0<α<1,k>0為系統(tǒng)參數(shù),則系統(tǒng)(7)是全局預(yù)定時間穩(wěn)定的,且收斂時間滿足supx0∈RT(x0)=Tp。

證.設(shè)Lyapunov函數(shù)為

V=x2

(8)

對上式求導(dǎo)得

(9)

進一步得

(10)

進而可得系統(tǒng)狀態(tài)收斂到原點的時間T(x0)

(11)

可得系統(tǒng)收斂時間滿足

supx0∈RT(x0)=Tp

(12)

由定義3可知,系統(tǒng)為預(yù)定時間穩(wěn)定,預(yù)定的收斂時間上界為Tp。

注2.文獻[23]設(shè)計了一個預(yù)定時間收斂系統(tǒng),考慮到其設(shè)計的預(yù)定時間收斂系統(tǒng)中的各項不能以各自不同的倍數(shù)進行放縮,本文定理1在其設(shè)計的系統(tǒng)基礎(chǔ)上增加了這一功能,設(shè)計了一個新的預(yù)定時間收斂系統(tǒng),相較于原有系統(tǒng),新系統(tǒng)提升了系統(tǒng)的可調(diào)整性的同時保留了預(yù)定時間收斂特性。

1.3 協(xié)同制導(dǎo)問題描述

在三維空間中,多個導(dǎo)彈協(xié)作打擊敵方目標,在末制導(dǎo)階段單枚導(dǎo)彈與目標的三維幾何關(guān)系如圖1所示。OXYZ為慣性坐標系,OXLYLZL為視線坐標系;M為導(dǎo)彈,T為目標;R,θL和ψL分別代表彈目相對距離、視線傾角和視線偏角;AMx,AMy,AMz和ATx,ATy,ATz分別為導(dǎo)彈的加速度AM和目標的加速度AT在視線坐標系下的分量。

圖1 導(dǎo)彈目標攔截示意圖Fig.1 Missile-target engagement geometry

由圖1可以得到彈目三維相對運動模型為式(13)～(15)

(13)

(14)

(15)

式中:amx,amy,amz和atx,aty,atz分別為AMx,AMy,AMz和ATx,ATy,ATz的大小,皆為標量。將第i枚導(dǎo)彈的彈目相對運動模型分為視線方向和視線法向建立狀態(tài)空間模型。

與式(13)～(15)結(jié)合可以得到第i枚攔截彈的彈目相對運動狀態(tài)空間模型為

(16)

式中:

第i枚導(dǎo)彈的剩余攻擊時間tgoi可近似得

(17)

攻擊時間tfi可以近似為

tfi=t+tgoi

(18)

將式(18)求導(dǎo)并與式(16)聯(lián)立,得到包含視線角約束的協(xié)同制導(dǎo)模型為

(19)

(20)

2 預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

在本節(jié)中,將會分別設(shè)計視線方向的協(xié)同制導(dǎo)律ari和視線法向的協(xié)同制導(dǎo)律ai,其中ari使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致,ai使各導(dǎo)彈在預(yù)定時間內(nèi)達到各自的期望視線角。

假設(shè)1.存在0≤dr,d1,d2<∞,使得|di(1)|

2.1 視線方向預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

為了提升對目標打擊的成功率,本文采用多枚導(dǎo)彈協(xié)作同時命中目標的打擊方案。本節(jié)基于預(yù)定時間控制理論,針對一階多智能體系統(tǒng),設(shè)計一種新的預(yù)定時間多智能體一致性協(xié)議,在此基礎(chǔ)上,基于本文的協(xié)同制導(dǎo)問題,以各導(dǎo)彈的攻擊時間tfi為協(xié)調(diào)狀態(tài),結(jié)合固定時間擾動觀測器式(5)設(shè)計視線方向的協(xié)同制導(dǎo)律ari,引入固定時間擾動觀測器目的在于觀測目標加速度在視線方向上分量的大小,設(shè)T*為預(yù)先設(shè)定的不變常數(shù),使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)達到一致,并通過設(shè)計相應(yīng)的Lyapu-nov函數(shù)嚴格證明了本文提出的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律可以使協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)達到預(yù)定時間穩(wěn)定。

視線方向協(xié)同制導(dǎo)模型為

(21)

根據(jù)定理1設(shè)計一種新的預(yù)定時間一階多智能體一致性協(xié)議

(22)

式中:Tc>0, 0<αr<1,kr>0,i=1,…,n,λ2(LA)min為無向通信拓撲圖為連通情況下λ2(LA)的最小值,n為智能體的個數(shù)。

設(shè)視線方向的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律ari

(23)

定理2.在假設(shè)1和各導(dǎo)彈的通信拓撲始終為連通的前提下,針對系統(tǒng)(21),基于預(yù)定時間一致性協(xié)議(22)設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律(23)可以使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間T*+Tc內(nèi)趨近于一致。

證.將協(xié)同制導(dǎo)律(23)代入到系統(tǒng)(21)中可得:

(24)

(25)

設(shè)Lyapunov函數(shù)為

(26)

式中:tf=[tf1,tf2,…,tfn]T,tf的初值tf0=tf|t=0。

(27)

根據(jù)引理2,可得

(28)

各導(dǎo)彈的通信拓撲圖G始終是連通的,所以LA始終是對稱的半正定矩陣?？傻?/p>

LA=P-1ΛP

(29)

(30)

從式(30)可知,滿足引理1中性質(zhì)(4)的應(yīng)用條件,根據(jù)引理1可得

(31)

因為

(32)

將式(31)和式(32)代入式(28)中可得

(33)

設(shè)Vr1=2λ2(LA)Vr,則上式轉(zhuǎn)化為

(34)

將上式進一步展開

(35)

對上式積分可得

(36)

由上式積分可得各導(dǎo)彈的攻擊時間收斂到一致所需的收斂時間T(tfo)滿足

(37)

由上式可知

suptf0∈RnT(tf0)=Tc

(38)

對于?t>T*+Tc,Vr=0,即tfi=tfj,其中i,j=1,…,n,即各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)達到一致。

注 3.通過在協(xié)同制導(dǎo)律(23)中加入λ2(LA)min,就會滿足不等式(36),所以,在制導(dǎo)過程中發(fā)生通信拓撲切換但保持連通的情況下,系統(tǒng)的收斂時間上界并不會發(fā)生任何改變,依然是在設(shè)定的預(yù)定時間內(nèi)穩(wěn)定。

綜上所述得到結(jié)論,系統(tǒng)(21)在協(xié)同制導(dǎo)律(23)的控制下,各導(dǎo)彈的攻擊時間可以在預(yù)定時間T*+Tc內(nèi)收斂到一致。證明完畢。

2.2 視線法向上協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

在本節(jié)中,基于實際打擊任務(wù),期望導(dǎo)彈以不同的視線角直接命中目標,以達到對目標的最大毀傷效果,本節(jié)基于預(yù)定時間控制理論,設(shè)計一個新的預(yù)定時間非奇異快速終端滑模面和預(yù)定時間滑模趨近律,針對視線角約束問題,在視線法向設(shè)計由引理3中的擾動觀測器和本文設(shè)計的新型預(yù)定時間非奇異快速終端滑模面組合的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律ai,使各導(dǎo)彈在預(yù)定時間內(nèi)達到期望的攻擊角,同樣的,引入擾動觀測器的目的在于觀測目標加速度在視線法向上的分量。

根據(jù)文獻[24]設(shè)計非線性函數(shù)w(x),同時定義非線性函數(shù)f(x)

(39)

f(x)=sig1+α2i(x)

(40)

式中:x∈R, 0<α2i<1, 0<δ<1,w0=(1+α2i)δ-α2i,σ0=-α2iδ-(α2i+1)。

w(x)和f(x)的導(dǎo)數(shù)為

(41)

(42)

根據(jù)定理1設(shè)計預(yù)定時間非奇異快速終端滑模面

(43)

式中:T2i>0,k2i>0,Si=[Si(1),Si(2)]T,Si的初值Si0=Si|t=0,w(x3i)=[w(x3i(1)),w(x3i(2))]T,f(x3i)=[f(x3i(1)),f(x3i(2))]T,i=1,…,n,n為導(dǎo)彈的個數(shù)。

定理3.針對系統(tǒng)(20),在系統(tǒng)到達了式(43)所示的預(yù)定時間非奇異快速終端滑模面后,各導(dǎo)彈的視線傾角θLi和視線偏角ψLi均可以在預(yù)定時間T2i內(nèi)達到期望值。

證.系統(tǒng)到達滑模面(43)后,即Si=0。

在系統(tǒng)剛到達滑模面時,如果系統(tǒng)狀態(tài)x3i滿足|x3i(j)|>δ,j=1,2。此時滑模面Si為

(44)

由上式可得

(45)

設(shè)Lyapunov函數(shù)為

(46)

對上式求導(dǎo)得

(47)

根據(jù)引理2可得

(48)

根據(jù)定理1,在到達滑模面(43)之后,x3i可以在預(yù)定時間T2i內(nèi)到達零附近得小鄰域內(nèi),這個小鄰域為|x3i(j)|≤δ,j=1,2。

當|x3i(j)|≤δ,j=1,2,滑模面Si滿足

(49)

由上式可知

(50)

根據(jù)式(46)可得

(51)

由式(51)可知,系統(tǒng)(50)會在|x3i(j)|≤δ的范圍內(nèi),j=1,2,x3i會繼續(xù)向系統(tǒng)原點進行收斂,且滿足漸進收斂條件。

注4.從后文可知,由于預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律(54)中存在負冪次項(1-α2i)|x3i(j)|-α2ix4i(j),j=1,2,在系統(tǒng)接近平衡點時式(54)會存在奇異現(xiàn)象,所以借鑒文獻[24],通過設(shè)計w(x)對滑模面進行分段處理,當系統(tǒng)狀態(tài)進入到平衡點附近的小鄰域時,用非奇異的項將負冪次項替換掉,其中w(x)中系數(shù)設(shè)計原則在于,在解決奇異問題且保證系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,使w(x)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),防止因滑模面分段造成控制律的不連續(xù),從式(49)～(51)可知,在進入到滑模面的第二階段后,系統(tǒng)滿足漸進收斂條件,盡管系統(tǒng)并不是直接收斂到平衡點,但本文通過設(shè)定小的滑模面分段值δ=0.01,其對應(yīng)到本問題中的視線角誤差約為0.57°,這就是說在預(yù)定時間內(nèi)可以使視線角誤差達到0.57°,且通過后文的仿真驗證可知,視線角是可以在預(yù)定的收斂時間上界內(nèi),與期望值的差值達到(10-3)°級別。

證明完畢。

進一步地,對式(43)求導(dǎo)得

Ai+Biai+di

(52)

設(shè)計預(yù)定時間滑模趨近律為

(53)

式中:T1i>0, 0<α1i<1,k1i>0。

將式(53)和式(52)聯(lián)立可得系統(tǒng)(20)的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律

(54)

定理4.針對系統(tǒng)(20),協(xié)同制導(dǎo)律(54)可以使系統(tǒng)在預(yù)定時間T*+T1i內(nèi)到達滑模面。

證.將協(xié)同制導(dǎo)律(54)代入式(52)可得

(55)

選取Lyapunov函數(shù)為

(56)

對其求導(dǎo)得

(57)

(58)

根據(jù)引理2,可得

(59)

根據(jù)定理1,可知系統(tǒng)(20)在預(yù)定時間內(nèi)到達滑模面,滑模面收斂時間T(Si0)滿足

supSi0∈R2T(Si0)=T1i+T*

(60)

進一步地,系統(tǒng)(20)的系統(tǒng)狀態(tài)收斂時間T(x3i(0))滿足

supx3i(0)∈R2T(x3i(0))=T1i+T2i+T*

(61)

綜上所述,本節(jié)通過設(shè)計合理的Lyapunov進行了的嚴格的穩(wěn)定性證明,本文設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律ari和ai,可以使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致,且可以使各導(dǎo)彈的視線角在預(yù)定時間內(nèi)達到期望值。

3 仿真校驗

在本節(jié)中,以在三維空間中三枚導(dǎo)彈攔截一個機動目標為背景,驗證本文提出的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律的有效性,由于在2.1節(jié)中得出了本文的協(xié)同制導(dǎo)律可以保證各導(dǎo)彈在切換通信拓撲但保持連通的情況下,各導(dǎo)彈的攻擊時間也可以在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致的結(jié)論。所以本文直接在如圖2所示的切換通信拓撲條件下進行數(shù)學(xué)仿真。

圖2 通信拓撲圖切換過程Fig.2 Communication topology change process

圖2中M1,2,3分別代表導(dǎo)彈1,2,3。表1中x,y和z為目標以及各導(dǎo)彈在慣性坐標系下的位置坐標,θ,ψ和v分別為彈道傾角、彈道偏角和速度值。

表1 初始參數(shù)Table 1 Initial parameters

協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的初始條件見表1。

假設(shè)各導(dǎo)彈的法向加速度最大為10g,軸向加速度最大為5g,g=9.8 m·s-2,目標在三維空間中做機動規(guī)避的加速度在其速度坐標系下的表示見表2。

表2 目標加速度Table 2 Acceleration of the target

在上述一系列數(shù)學(xué)仿真背景的設(shè)定下,進行了對本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律的數(shù)學(xué)仿真校驗。將仿真校驗分為兩部分,3.1節(jié)為驗證預(yù)定時間制導(dǎo)律(23)和(54),并將其與目前主流的如文獻[14]中所設(shè)計的固定時間協(xié)同制導(dǎo)律進行對比分析,仿真結(jié)果如圖3所示。3.2節(jié)對比了不同的預(yù)定時間參數(shù)設(shè)定對協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的影響,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖3 第一組參數(shù)下的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of the first set of parameters

圖4 第二組參數(shù)下的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the second set of parameters

3.1 預(yù)定時間和固定時間協(xié)同制導(dǎo)律對比分析

具體的協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)計為:視線方向協(xié)同制導(dǎo)律參數(shù):Tc=55,n=3,λ2(LA)min=1,kr=20,αr=0.5。視線法向上協(xié)同制導(dǎo)律參數(shù):δ=0.01,T2i=30,α2i=0.7,k2i=3,T1i=25,α1i=0.4,k1i=3,i=1,2,3,固定時間擾動觀測器的收斂時間上界T*=10,簡要來講,各導(dǎo)彈攻擊時間的預(yù)定收斂時間上界為T*+Tc=65 s,各導(dǎo)彈達到期望視線角的預(yù)定收斂時間上界為T*+T1i+T2i=65 s,各導(dǎo)彈的脫靶量如表3所示,仿真圖像如圖3所示。

在文獻[14]中,基于固定時間一致性協(xié)議在視線方向上設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律,又在視線法向上設(shè)計了基于固定時間非奇異快速終端滑模的協(xié)同制導(dǎo)律,文獻[14]中設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律具體內(nèi)容如下。

根據(jù)文獻[14],基于本文的背景下,針對系統(tǒng)(21),設(shè)計了視線方向協(xié)同制導(dǎo)律為

(62)

各導(dǎo)彈攻擊時間的收斂到一致的收斂時間上界具體表達式為

(63)

針對系統(tǒng)(20),設(shè)計了固定時間非奇異快速終端滑模面

Sci=x4i+k1cisiga1ci(x3i)+k2cisiga2ci(x3i)

(64)

式中:a1ci>1,00,k2ci>0。

在滑模面(64)的基礎(chǔ)上設(shè)計了視線法向的協(xié)同制導(dǎo)律為

(k1cia1cidiag(|x3i(1)|a1ci-1, |x3i(2)|a1ci-1)+

k2cia2cidiag(|x3i(1)|a2ci-1,

|x3i(2)|a2ci-1))x4i]

(65)

系統(tǒng)到達滑模面時間上界滿足

(66)

系統(tǒng)狀態(tài)x3i到達系統(tǒng)原點時間上界滿足

(67)

由于篇幅有限,不在文中展示此固定時間協(xié)同制導(dǎo)律的仿真圖像,文中將只針對預(yù)定時間收斂和固定時間收斂這兩種系統(tǒng)收斂方式的特點進行分析對比。

從表3、圖3(a)～(b)可知,本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律可以使三枚導(dǎo)彈同時命中機動目標,且從脫靶量來看,打擊的準確度達到了厘米級別。從圖3(c)可知,本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律可以使各導(dǎo)彈的剩余攻擊時間在7.32 s時達到一致,滿足預(yù)期設(shè)定的在預(yù)定時間65 s內(nèi)各導(dǎo)彈的攻擊時間收斂到一致的設(shè)計目標。從圖3(d)～(e)可知,視線角速率可以在25.10 s之前穩(wěn)定到零附近極小鄰域內(nèi),滿足在預(yù)定時間65 s內(nèi)收斂到零附近極小鄰域的要求。

從圖3(f)～(g)也可知,在25.27 s之前,θL和ψL與期望值的差值已經(jīng)達到了(10-3)°級別,滿足了在預(yù)定時間65 s內(nèi)達到預(yù)定時間穩(wěn)定的要求。由于篇幅原因,以第一枚導(dǎo)彈的視線方向控制輸入為例來分析制導(dǎo)系統(tǒng)控制輸入的變化過程,從圖3(h)可知,控制輸入是連續(xù)無抖振無奇異的,控制輸入飽和持續(xù)時間較短,這對于實際協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)來說,有利于維持制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以第一枚導(dǎo)彈對目標視線方向機動信息的觀測情況為例來分析觀測器的觀測效果,從圖3(i)可知,擾動觀測器分別可以在6.89 s之前準確地觀測外部擾動,滿足其固定時間10 s內(nèi)準確觀測外部擾動的要求。

綜上所述,本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律在確定協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂時間上界方面更具優(yōu)勢,因為可以通過協(xié)同制導(dǎo)律中的顯式參數(shù)直接確定系統(tǒng)收斂時間上界,而從式(63)和式(66)～(67)可知,文獻[14]中系統(tǒng)收斂時間上界盡管與系統(tǒng)初始條件無關(guān),但收斂時間上界的表達式構(gòu)成復(fù)雜,系統(tǒng)收斂時間上界和某個參數(shù)之間沒有太直接的聯(lián)系,這也體現(xiàn)了預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律的優(yōu)勢。

3.2 不同預(yù)定時間參數(shù)下的對比仿真

在3.1節(jié)中協(xié)同制導(dǎo)律參數(shù)的選取原則為預(yù)定的系統(tǒng)收斂時間上界接近于整個協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的工作時間,由于預(yù)定的時間本身就是系統(tǒng)的收斂時間上界,所以這樣的參數(shù)設(shè)計是可以完成任務(wù)要求的。為了對比不同預(yù)定時間參數(shù)下協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的動態(tài)表現(xiàn),由于篇幅有限,只為預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)置第二組參數(shù),其選擇原則為追求更短的協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂時間上界,具體協(xié)同制導(dǎo)律參數(shù)為Tc=20,T2i=30,T1i=5,T*=15,i=1,2,3,其余參數(shù)與3.1節(jié)中相同,同樣的,簡要來講,各導(dǎo)彈攻擊時間的預(yù)定收斂時間上界為T*+Tc=35 s,各導(dǎo)彈達到期望視線角的預(yù)定收斂時間上界為T*+T1i+T2i=50 s,同樣由于本文篇幅有限,圖4中僅展示第二組參數(shù)下的部分仿真圖像。

從圖4中各圖分析可知,同第一組參數(shù)設(shè)定下的仿真相比,第二組參數(shù)下的制導(dǎo)系統(tǒng)攻擊時間收斂過程中的動態(tài)表現(xiàn)變差,且控制輸入飽和持續(xù)時間更長,視線角速率和視線角等收斂速度提升不是非常明顯。綜上所述,將預(yù)定收斂時間上界設(shè)置的過短,由于導(dǎo)彈自身的過載限制,對系統(tǒng)實際的收斂速度提升有限,但控制輸入飽和持續(xù)時間變長,進而影響了擾動觀測器的收斂速度,最后影響了各導(dǎo)彈攻擊時間收斂的速度和動態(tài)表現(xiàn)。

4 結(jié) 論

本文針對在三維空間中多枚導(dǎo)彈協(xié)同打擊機動目標的問題進行研究,首先在視線方向上,基于新設(shè)計的預(yù)定時間一致性協(xié)議設(shè)計了視線方向的協(xié)同制導(dǎo)律,可以使各導(dǎo)彈的攻擊時間在預(yù)定時間內(nèi)收斂到一致;此外,在視線法向上,基于新設(shè)計的預(yù)定時間非奇異快速終端滑模面和趨近律,設(shè)計了視線法向的協(xié)同制導(dǎo)律,使各導(dǎo)彈的視線角可以在預(yù)定時間內(nèi)達到期望值。最后,對本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律進行了相應(yīng)數(shù)學(xué)仿真驗證,并與固定時間協(xié)同制導(dǎo)律進行對比分析,又對不同預(yù)定時間參數(shù)設(shè)定下的協(xié)同制導(dǎo)系統(tǒng)的仿真表現(xiàn)進行了分析。綜上所述,表明本文設(shè)計的預(yù)定時間協(xié)同制導(dǎo)律是有效的。