利用分?jǐn)?shù)樣條模型求解分?jǐn)?shù)階線性微分方程組*

程建玲，　閆用杰

(1.鄭州大學(xué) 西亞斯國際學(xué)院，河南 新鄭 451100;2.江西科技師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330038)

分?jǐn)?shù)階微分方程由于其在物理、工程、化學(xué)、控制、醫(yī)學(xué)和生物學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而變得越來越重要[1-3].為了求解一般非線性泛函方程，尤其是求解分?jǐn)?shù)階微分方程，很多學(xué)者研究了多種技術(shù).[4]為利用線性泛函變元求解廣義微分方程提出了一種有效的算法.[5]為延遲積分微分方程提出了一種譜配置方法.[6]提出了指數(shù)近似法以獲得延時微分方程的近似解.[7]基于分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的 Bernoulli 運(yùn)算矩陣提出了一種新的配置方案.[8]為解決半無限域上的分?jǐn)?shù)階微分方程提出了一種新的 Jacobi rational-Gauss 配置法.多項(xiàng)式樣條函數(shù)在系統(tǒng)分析[9]、分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)階時滯微分方程[10]中獲得成功應(yīng)用.

針對分?jǐn)?shù)階線性微分方程組的求解問題，本文提出一種利用缺插值思想求解分?jǐn)?shù)階微分方程的方法.運(yùn)用分?jǐn)?shù)階樣條模型來得到分?jǐn)?shù)階線性微分方程組的數(shù)值解，同時驗(yàn)證了提出方法的收斂性.

1　提出的方法

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)有許多定義，最常使用的是Riemann Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù).本文方法正是基于Caputo導(dǎo)數(shù)提出的.假設(shè)α>0,x>a,α,x∈R，則有如下幾個定義.

定義1階數(shù)α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義為：

其中Γ為γ函數(shù).

定義2階數(shù)α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義為：

定義3階數(shù)α>0的Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義為：

由上面的定義容易得到：

1.1　方法描述

情況1假設(shè)定理1的條件滿足p=4和α=0.5，則定義樣條插值：

(1)

其中xk≤x≤xk+1,且k=0,1,…,n-1.

1.2　(1)的存在性和唯一性

令ST(x)和D1/2ST(x)在(0,1)上連續(xù)，則(1)存在且唯一.從ST(x)和D1/2ST(x)的連續(xù)性條件中可以得到：

(2)

(3)

1.3　誤差界限

假設(shè)定理1的條件滿足p=4和Dm·1/2ST(x)=Dm·1/2fi,i=0,1,…,n-1.

引理1以下估計對所有的k=0,1,…,n-1成立，

(4)

證明從(4)可以得出

其中xk

定理2的證明對于xk≤x≤xk+1和k=0,1,…,n-1，可以得到：

情況2假設(shè)定理?xiàng)l件滿足p=5且α=0.5，則定義樣條插值為：

其中，

則得出以下引理.

引理2對于k=0,1,…,n-1，有

其中xk

2　數(shù)值實(shí)例分析

用提出的方法求解一個分?jǐn)?shù)階線性微分方程組以證明其精度和性能，利用MATLAB執(zhí)行求解過程.為了驗(yàn)證該方法的有效性，計算了精確解與數(shù)值解的絕對誤差.考慮一個分?jǐn)?shù)階線性微分方程組：

表1　近似值與精確值的比較

其精確解為u(t)=t2+1，v(t)=t2-t.方程組的數(shù)值解和精確解如表1所示，從表中可以看出，數(shù)值解與精確解之間吻合度較高且誤差逐步減小，驗(yàn)證了提出方法的收斂性是有效的.但隨著t的增加，誤差有所增加，這是因?yàn)閠增加，u(t)和v(t)的值也會增加，這也就增加了具體的誤差數(shù)值，但都在合理范圍之內(nèi).

3　結(jié)　論

提出了一種求解分?jǐn)?shù)階線性微分方程的新方法，該方法引入了基于缺插值的多項(xiàng)式分?jǐn)?shù)樣條函數(shù)模型.案例計算分析表明，對于求解分?jǐn)?shù)階微分方程組，本文提出的方法具有可行性和高效性.通過設(shè)定參數(shù)并比較絕對誤差，驗(yàn)證了方法的正確性和收斂性.

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