基于改進(jìn)NSGA-II的鐵路項(xiàng)目進(jìn)度計(jì)劃多目標(biāo)優(yōu)化

周國華，馬依婷

(西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031)

近年來，為深入貫徹黨的十九大作出的建設(shè)交通強(qiáng)國重大決策部署，我國鐵路路網(wǎng)規(guī)模持續(xù)擴(kuò)大，投資力度不斷增強(qiáng)[1]。面對如此大規(guī)模、高投資的鐵路建設(shè)項(xiàng)目，科學(xué)高效的項(xiàng)目管理是保障鐵路建設(shè)工程高質(zhì)量發(fā)展的關(guān)鍵。因此，研究鐵路項(xiàng)目的工期費(fèi)用優(yōu)化問題至關(guān)重要。

因項(xiàng)目中各活動(dòng)不斷重復(fù)進(jìn)行，鐵路項(xiàng)目在建設(shè)工程領(lǐng)域被稱為重復(fù)性項(xiàng)目?，F(xiàn)有研究指出傳統(tǒng)計(jì)劃方法對于重復(fù)性項(xiàng)目的不適用性，并提出了針對重復(fù)性項(xiàng)目設(shè)計(jì)的調(diào)度方法和技術(shù)。其中，最具代表性的是重復(fù)性調(diào)度法(repetitive scheduling method，RSM)[2]。RSM方法利用二維坐標(biāo)呈現(xiàn)出項(xiàng)目的時(shí)間進(jìn)度和空間進(jìn)度，能夠較好地滿足重復(fù)性項(xiàng)目對資源連續(xù)性的要求，具有更強(qiáng)的生動(dòng)性、可讀性，對鐵路項(xiàng)目具有獨(dú)特的適用性[3]。

重復(fù)性項(xiàng)目時(shí)間費(fèi)用權(quán)衡問題 (time-cost tradeoff problem with repetitive projects,TCTPRP) 是一類離散時(shí)間費(fèi)用權(quán)衡問題 (discrete time-cost tradeoff problem,DTCTP)，屬于NP難問題[4]。因此，目前大多數(shù)研究已應(yīng)用諸如遺傳算法等智能算法來解決TCTPRP問題。Hyari等[5]依據(jù)Pareto原理提出能夠同時(shí)最小化工期和費(fèi)用的遺傳算法；Long等[6]把費(fèi)用和工期整合到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)遺傳算法求解；相似地，王偉鑫等[7]以效用函數(shù)將工期費(fèi)用整合為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)滿足軟邏輯關(guān)系約束的云遺傳算法；張立輝[8]和Huang等[9]提出采用三段式整數(shù)編碼和雙層交叉算子的遺傳算法，通過horizon-varying方法得到了Pareto曲線；Shahriari等[10]和Heravi等[11]使用多目標(biāo)算法同時(shí)對工期和費(fèi)用進(jìn)行優(yōu)化。

相較一般重復(fù)性項(xiàng)目，鐵路項(xiàng)目施工里程較長，涉及到的活動(dòng)類型更復(fù)雜，往往存在逆向施工線性活動(dòng) (如架梁)、條狀活動(dòng) (如深水橋梁基礎(chǔ)、橋塔)、塊狀活動(dòng) (如長大隧道) 等特殊活動(dòng)。因此，考慮多種活動(dòng)類型，拓展施工場景，能夠提高模型對于鐵路項(xiàng)目的適用性。然而，目前幾乎所有TCTPRP研究均將研究對象聚焦于正向施工線性活動(dòng)。劉仍奎等[3]雖然在模型中考慮條狀活動(dòng)和逆向施工線性活動(dòng)，但是未考慮與項(xiàng)目不同方面相關(guān)的若干成本要素，并且缺少可行的智能算法進(jìn)行求解，無法實(shí)現(xiàn)大規(guī)模鐵路項(xiàng)目優(yōu)化。

綜上所述，本文的主要研究貢獻(xiàn)體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)。1) 在模型方面，現(xiàn)有研究僅考慮了正向施工線性活動(dòng)，施工場景單一，雖然簡化了求解過程，但是降低了模型對鐵路項(xiàng)目的適用性。針對鐵路項(xiàng)目施工計(jì)劃優(yōu)化在施工場景及約束表達(dá)等方面存在的欠缺，本文基于RSM完善鐵路施工計(jì)劃方法的數(shù)學(xué)表達(dá)和約束體系，在傳統(tǒng)重復(fù)性項(xiàng)目時(shí)間費(fèi)用優(yōu)化問題的基礎(chǔ)上增加對于條狀活動(dòng)、塊狀活動(dòng)、逆向施工線性活動(dòng)的優(yōu)化，以總工期最短和總費(fèi)用最低為目標(biāo)建立考慮多模式的多目標(biāo)優(yōu)化模型。2) 在算法方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未針對包含特殊活動(dòng)的大規(guī)模鐵路項(xiàng)目提出智能優(yōu)化算法，為填補(bǔ)這一空缺，本文提出適用于鐵路項(xiàng)目的改進(jìn)NSGA-II算法。首先，針對鐵路項(xiàng)目特征設(shè)計(jì)活動(dòng)調(diào)度流程；然后，為提高算法尋優(yōu)能力，設(shè)計(jì)均勻進(jìn)化的精英選擇策略，并引入差分進(jìn)化算法的變異、交叉算子，構(gòu)造出分層多策略自適應(yīng)的變異、交叉算子；最后，用一個(gè)算例驗(yàn)證模型的合理性和算法的有效性，并通過與傳統(tǒng)NSGA-II對比，證明改進(jìn)后的算法性能更加優(yōu)越穩(wěn)定。

1 問題描述

一個(gè)鐵路項(xiàng)目中有I個(gè)活動(dòng)J個(gè)單元。各活動(dòng)在施工范圍內(nèi)具有重復(fù)性特征，即相同活動(dòng)在不同施工單元內(nèi)重復(fù)進(jìn)行?；赗SM框架，項(xiàng)目中包含線性、塊狀和條狀活動(dòng)。線性活動(dòng)在施工范圍內(nèi)連續(xù)施工 (如無砟道床、架梁)；條狀活動(dòng)在一個(gè)固定里程點(diǎn)進(jìn)行施工 (如深水橋梁基礎(chǔ)、橋塔)；塊狀活動(dòng)在一段固定區(qū)間內(nèi)進(jìn)行施工 (如長大隧道、特殊結(jié)構(gòu)橋梁)。其中，線性活動(dòng)可逆向施工或正向施工，逆向施工指從項(xiàng)目終點(diǎn)方向向起點(diǎn)方向施工，反之，即為正向施工。

本問題包含以下關(guān)鍵決策：1) 線性活動(dòng)施工方向；2) 各活動(dòng)各單元施工模式；3) 各活動(dòng)開工時(shí)間和結(jié)束時(shí)間。

1.1 基本假設(shè)

1) 活動(dòng)間優(yōu)先關(guān)系為“開始-開始”型、“結(jié)束-結(jié)束”型、“結(jié)束-開始”型和“開始-結(jié)束”型；

2) 線性活動(dòng)在各單元間連續(xù)施工，且在全施工段落內(nèi)僅能選擇一個(gè)施工方向;

3) 各活動(dòng)施工模式可選，在同一單元內(nèi)只能選擇一種施工模式。

1.2 符號定義

本文符號定義如表1所示。

表1 符號定義Table 1 Symbol definitions

決策變量定義如下。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

1) 項(xiàng)目總工期最短。

項(xiàng)目總工期D為第1個(gè)活動(dòng)開始時(shí)間到最后1個(gè)活動(dòng)結(jié)束時(shí)間，目標(biāo)函數(shù)如下。

2) 項(xiàng)目總費(fèi)用最低。

項(xiàng)目總費(fèi)用由直接費(fèi)用 DC和 間接費(fèi)用 IC組成，其中直接費(fèi)用包括人工費(fèi)用、材料費(fèi)用和設(shè)備費(fèi)用，間接費(fèi)用為間接費(fèi)用率和工期的乘積。目標(biāo)函數(shù)如下。

2.2 約束分析

由于模型考慮了逆向施工線性活動(dòng)、條狀活動(dòng)和塊狀活動(dòng)，因此各個(gè)活動(dòng)之間的時(shí)間約束可以根據(jù)緊前關(guān)系、施工方向及活動(dòng)類型分為多種場景。本文基于RSM法，針對可能出現(xiàn)的情況構(gòu)造相應(yīng)的約束。

1) 首日施工約束。

保證項(xiàng)目第一個(gè)活動(dòng)的開始時(shí)間為0。本文以活動(dòng)i的緊前活動(dòng)集合Pi為空作為判斷活動(dòng)i為首日施工活動(dòng)的依據(jù)。

2) 施工連續(xù)性約束。

重復(fù)性項(xiàng)目通常需要施工人員在各個(gè)單元間頻繁移動(dòng)，重復(fù)進(jìn)行相同的工作。保持工作連續(xù)性能夠提高人員工作效率、減少閑置費(fèi)用[10]。因此，為保證各活動(dòng)在施工過程中不發(fā)生間斷，作如下約束。

3) 最小時(shí)間間隔約束。

根據(jù)本文提出的假設(shè)，活動(dòng)間的時(shí)間間隔約束包含多種類型，具體約束類型需根據(jù)相鄰活動(dòng)的活動(dòng)類型、施工區(qū)段來確定。由于條狀活動(dòng)可以看成一個(gè)跨度為0的塊狀活動(dòng) (bi=ei)，因此本文主要分析線性活動(dòng)和塊狀活動(dòng)之間的約束關(guān)系?；顒?dòng)b與其緊前活動(dòng)a之間的最小時(shí)間間隔約束如下 (圖1為最小時(shí)間間隔示意圖，具體時(shí)間和里程的單位還需要根據(jù)具體工程項(xiàng)目確定)。

圖1 活動(dòng)間最小時(shí)間間隔約束Figure 1 Minimum time interval constraints between activities

當(dāng)活動(dòng)a和活動(dòng)b均為線性活動(dòng)時(shí) (對應(yīng)圖1中場景1～ 4)，

當(dāng)活動(dòng)a為線性活動(dòng)，活動(dòng)b為條狀活動(dòng)時(shí) (對應(yīng)圖1中場景5～ 6)，

當(dāng)活動(dòng)a為塊狀活動(dòng)，活動(dòng)b為線性活動(dòng)時(shí) (對應(yīng)圖1中場景7～ 8)，

當(dāng)活動(dòng)a、活動(dòng)b為塊狀活動(dòng)時(shí) (對應(yīng)圖1中場景9) 。

4) 施工模式約束。

每個(gè)活動(dòng)在各單元僅能采取一種施工模式。

5) 優(yōu)先關(guān)系約束。

優(yōu)先關(guān)系描述的是同一個(gè)單元中不同活動(dòng)的施工先后順序，優(yōu)先關(guān)系約束要求任意活動(dòng)i必須在其緊前活動(dòng)全部結(jié)束后才能開始。

3 基于NSGA-II的算法設(shè)計(jì)

本文研究的問題屬于NP難問題，因此選擇帶精英策略的非支配排序遺傳算法 (non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II) 進(jìn)行求解[12]。在標(biāo)準(zhǔn)NSGA-II的基礎(chǔ)上，根據(jù)問題的特點(diǎn)開發(fā)了調(diào)度流程，并對遺傳操作進(jìn)行了改進(jìn)，使新算法能夠適用于大規(guī)模鐵路進(jìn)度計(jì)劃優(yōu)化。

3.1 染色體編碼

染色體采用自然編碼方式，隨機(jī)生成初始種群。染色體第1部分表示施工模式ki,j，當(dāng)工作量為零時(shí) (Qi,j=0)，施工模式為0；反之，則在當(dāng)前活動(dòng)對應(yīng)的施工模式集合Ki中隨機(jī)選取。第2部分表示線性活動(dòng)的施工方向ci，0為逆向施工，1為正向施工。染色體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 染色體編碼方式Figure 2 Chromosome coding

3.2 適應(yīng)度值

算法采用基于目標(biāo)函數(shù)的非支配排序和擁擠度排序的適應(yīng)度賦值策略，目標(biāo)函數(shù)計(jì)算過程如下。

1) 工期計(jì)算。

通過調(diào)度流程計(jì)算得到各活動(dòng)在各單元的開工時(shí)間Si,j、完工時(shí)間Fi,j和項(xiàng)目工期D。具體流程如下。

步驟1計(jì)算最早開工時(shí)間 ESi,j和最早完工時(shí)間EFi,j。首先根據(jù)施工模式計(jì)算各活動(dòng)各單元的工期di,j，然后假設(shè)所有活動(dòng)均在第0天開工，依據(jù)式(6)～ (7) 計(jì)算各子活動(dòng)滿足工作連續(xù)性的E Si,j和EFi,j。此時(shí)，根據(jù)首日開工約束，可直接依據(jù)式 (3)～(5) 得到首日開工活動(dòng)Si,j和Fi,j。

步驟2計(jì)算最大推遲時(shí)間 MAXi，即各活動(dòng)為滿足與其緊前活動(dòng)的最小時(shí)間間隔約束，需要在ESi,j、EFi,j的基礎(chǔ)上往后推遲的時(shí)間。如圖3所示，首先依據(jù)式 (8)～ (14) (不同場景的計(jì)算方式不同)，計(jì)算各單元節(jié)點(diǎn)處滿足最小時(shí)間間隔約束的最早施工時(shí)間tlogic[b,j]，然后計(jì)算各單元節(jié)點(diǎn)推遲時(shí)間 ?b,j，取最大值作為 MA。根據(jù)優(yōu)先關(guān)系約束，當(dāng)活動(dòng)b存在多個(gè)緊前活動(dòng)時(shí)，依次計(jì)算針對各緊前活動(dòng)a(a∈Pb) 的M A，選取其中最大值作為M AXb。

圖3 活動(dòng)調(diào)度過程圖Figure 3 Activity scheduling process diagram

步驟3計(jì)算各活動(dòng)各單元最終開始時(shí)間Si,j和結(jié)束時(shí)間Fi,j。各活動(dòng)在最早開工時(shí)間 ESi,j和最早完工時(shí)間E Fi,j的基礎(chǔ)上推遲M AXi，得到Si,j、Fi,j、D。

以圖1中場景1為例的活動(dòng)調(diào)度流程偽代碼如下。

2) 費(fèi)用計(jì)算。

根據(jù)給定的任意施工方案，計(jì)算直接費(fèi)用和間接費(fèi)用。計(jì)算方法見式 (2)。

3.3 改進(jìn)均勻進(jìn)化精英選擇策略

標(biāo)準(zhǔn)NSGA-II通過擁擠度和非支配排序，運(yùn)用錦標(biāo)賽法選擇1/2的個(gè)體進(jìn)入下一代[12]。為了保證種群對解的空間的充分探索，提高算法收斂性，本文將其改進(jìn)為：前期在各支配層均抽取一定數(shù)量的個(gè)體，對各支配層由低到高選擇種群個(gè)體數(shù)量依次遞減，隨著迭代次數(shù)的增加，選擇個(gè)體的范圍逐漸縮減，直到迭代至最后選取種群前1/2個(gè)體進(jìn)入下一代。每一代選取個(gè)體數(shù)量的計(jì)算方式如式 (17)～ (18) 所示。

其中，r popr,g為從第g代第r個(gè)支配層選取的個(gè)體數(shù)量；npopg為第g代可選取的個(gè)體數(shù)量；θ為縮減比例，設(shè)置為0.8；Ng為第g代可選取的支配層級總數(shù)；pop為 種群規(guī)模；G為最大迭代次數(shù)；g為當(dāng)前迭代次數(shù)；e表示自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)。

3.4 改進(jìn)分層多策略自適應(yīng)變異、交叉算子

NSGA-II采用了遺傳算法的交叉、變異方式，在一定程度上降低了算法的收斂速度和效率。為提高算法性能，本文將差分進(jìn)化算法 (differential evolution,DE) 的變異、交叉算子引入NSGA-II中。DE已被證明在大多數(shù)基準(zhǔn)測試中，其性能優(yōu)于遺傳算法、自適應(yīng)模擬退火和粒子群優(yōu)化等算法[13]。

1) DE算法的變異、交叉算子。

差分進(jìn)化算法利用N維向量表示一個(gè)種群Xg=[x1,g,x2,g,···,xpop,g]。目前常見的3種變異算子Rand/1、Best/1、Current to best/1，其變異方式為

其中，V為變異因子；xp1,g、xp2,g、xp3,g為從第g代種群中隨機(jī)選擇的3個(gè)個(gè)體，且p1 ≠p2 ≠p3；xbest,g為從第g代優(yōu)秀個(gè)體中隨機(jī)選擇的個(gè)體，本文選取排序后種群的前10%作為優(yōu)秀個(gè)體。Best/1傾向于探索能力，Rand/1傾向于開采能力，Current to best/1能夠兼顧兩種特性。變異因子V值越大，種群變異的步長越大，有利于提高種群多樣性，增強(qiáng)全局搜索能力。V越小則開采能力越好，局部搜索能力越強(qiáng)。

交叉方式表示為

2) 多策略自適應(yīng)變異、交叉算子。

為了平衡整個(gè)種群的開采能力和探索能力，本文依托上述變異算子的不同特性，設(shè)計(jì)了一種分層次、多策略、自適應(yīng)的變異策略，來實(shí)現(xiàn)搜索能力的互補(bǔ)。首先，將種群根據(jù)支配等級和擁擠度排序等分為3層：精英層、普通層、劣勢層，然后針對不同層次選取不同的變異策略和參數(shù)控制因子。

針對精英層，主要需要保持當(dāng)前個(gè)體的優(yōu)勢，同時(shí)增強(qiáng)其局部探索能力，因此選擇策略Best/1，設(shè)置V=0.8，C R=0.9。

針對普通層，主要目的在于探尋一些有潛力的解，進(jìn)而增強(qiáng)種群的全局搜索能力，避免種群陷入早熟收斂，因此選擇Rand/1，設(shè)置V=1.2，C R=0.8。

針對劣勢層，其適應(yīng)度較差，一方面應(yīng)使其向優(yōu)秀個(gè)體的方向進(jìn)化，同時(shí)在一定程度上避免其陷入局部最優(yōu)，因此選取策略Best/1、Rand/1混合使用，同時(shí)設(shè)置自適應(yīng)參數(shù)。策略表示為

其中，αi為當(dāng)前第i個(gè)個(gè)體對應(yīng)的擁擠度。隨著迭代次數(shù)不斷增大，V、CR減小，加快種群收斂；同時(shí)引入擁擠度α，α較小時(shí)，當(dāng)前個(gè)體周圍解較為密集，此時(shí)提高V、CR有利于跳出局部最優(yōu)，相反α較大時(shí)，適當(dāng)降低V、CR以提高探索能力。

3.5 改進(jìn)NSGA-II 算法框架

綜上，具體計(jì)算步驟如下。

步驟1根據(jù)染色體編碼規(guī)則生成種群規(guī)模為pop的初始種群。

步驟2依據(jù)活動(dòng)調(diào)度和費(fèi)用計(jì)算規(guī)則，計(jì)算各方案S適應(yīng)度值。

步驟3進(jìn)行非支配排序并計(jì)算擁擠度，依據(jù)均勻進(jìn)化精英選擇策略，選擇p op/2個(gè)個(gè)體作為父代種群。

步驟4依據(jù)分層多策略自適應(yīng)變異、交叉因子進(jìn)行變異、交叉操作，得到子代種群。

步驟5合并父代種群和子代種群，得到合并種群，計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度值，執(zhí)行選擇操作，得到下一代父代種群。

步驟6判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)G，若是，篩選得到非支配解集，算法結(jié)束；若否，轉(zhuǎn)至步驟4。

4 實(shí)例分析

4.1 實(shí)例數(shù)據(jù)

某鐵路工程十標(biāo)段DK404+867～ DK432+908全長28 km，施工范圍劃分為6個(gè)單元，各單元起點(diǎn)分別為DK404+867、DK408+936、DK415+210、DK419+072、DK424+100、DK428+595。該項(xiàng)目中包含27個(gè)活動(dòng)，各活動(dòng)基本信息如表2所示，施工模式及費(fèi)用信息如表3所示。對于鐵路工程中的橋隧工程，由于其施工量和施工技術(shù)難度的限制，其施工工期基本固定，因此在表2中直接給出了工期數(shù)據(jù)，在表3中省略了施工速率。項(xiàng)目間接費(fèi)用率為24 000 元/d。

表2 活動(dòng)基本信息Table 2 Basic information of activities

表3 活動(dòng)各施工模式速率及費(fèi)用率Table 3 Rates and cost rates of various construction modes of activities

4.2 優(yōu)化方案

利用改進(jìn)的NSGA-II算法，采用Matlab2016b實(shí)現(xiàn)，在操作系統(tǒng)為Windows10，處理器為Intel Core i5-8250U，CPU主頻為1.80 GHz的環(huán)境下運(yùn)算，取種群數(shù)量 pop=90，迭代次數(shù)G=900，得到7個(gè)工期-費(fèi)用權(quán)衡最優(yōu)的進(jìn)度計(jì)劃方案S1～ S7，各方案對應(yīng)的項(xiàng)目總工期和總費(fèi)用如表4所示。

表4 Pareto解集Table 4 Pareto solution set

由圖4可知，本文提出的模型和算法在一次運(yùn)行中自動(dòng)生成構(gòu)成Pareto前沿 (pareto front，PF) 的所有可能的非支配解，確保了對解空間的充分探索。相較于將工期-費(fèi)用均衡綜合為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，最后生成一種施工方案，本文提出的方法能夠獲得更加豐富的工期-費(fèi)用最優(yōu)方案，使決策者能夠根據(jù)需求從中選取合適的方案。例如，若唯一的優(yōu)化目標(biāo)是工期最小化，則方案S1將是最佳方案，該方案工期最短，總工期為976 d，但對應(yīng)最高費(fèi)用647 021.6萬元；若優(yōu)先考慮費(fèi)用因素，則應(yīng)選擇方案S7，該方案的總費(fèi)用646 997.6萬元，對應(yīng)最長工期1 006 d。表5和表6為方案S1的具體施工方案，表5中的數(shù)據(jù)表示“ (開工時(shí)間，完工時(shí)間) 施工模式”。圖5為對應(yīng)的進(jìn)度計(jì)劃圖。

圖4 總工期-總費(fèi)用Pareto曲線Figure 4 Pareto curve of total costs with the construction periods

圖5 S1進(jìn)度計(jì)劃圖Figure 5 Schedule diagram of S1

表5 S1線性活動(dòng)施工方案Table 5 Linear activity construction scheme of S1

表6 S1條塊活動(dòng)施工方案Table 6 Strip and block activity construction scheme of S1

4.3 算法性能比較分析

本文選擇綜合指標(biāo)超體積 (hyper-volume，HV)作為評價(jià)指標(biāo)，反映算法的收斂速度、PF的均勻性和寬廣性等。HV計(jì)算的是參考點(diǎn)和PF構(gòu)成的不規(guī)則圖形的面積，HV越大，則所獲得的PF越接近真實(shí)PF[14]。

為進(jìn)一步測試本文提出算法的優(yōu)化性能，本文將產(chǎn)生不同規(guī)模的算例，對算法進(jìn)行更深入的分析。本文按照以下步驟隨機(jī)生成算例。

步驟1確定問題的規(guī)模，主要為項(xiàng)目活動(dòng)個(gè)數(shù)I與施工單元數(shù)目J;

步驟2隨機(jī)生成任意活動(dòng)i的相關(guān)參數(shù)，包括表2、表3所列數(shù)據(jù)。

本文對于不同規(guī)模的4組算例分別使用NSGAII和本文算法以相同種群規(guī)模、迭代次數(shù)及運(yùn)行環(huán)境進(jìn)行求解。表7為兩種算法獨(dú)立運(yùn)行25次所得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中，HV平均值反映了求解精度，HV方差反映了算法穩(wěn)定性?？梢?，改進(jìn)后的算法得到的PF分布更均勻?qū)拸V，具有良好的穩(wěn)定性。

表7 不同規(guī)模各算法獲得HV平均值及標(biāo)準(zhǔn)差Table 7 The mean and standard deviation of HV obtained by various algorithms of different scales

將不同規(guī)模下各算法獨(dú)立執(zhí)行 25 次所獲最大HV時(shí)對應(yīng)的HV收斂曲線進(jìn)行對比，如圖6所示，可得本文算法收斂速度更快，且針對較大規(guī)模的算例仍能保持良好的收斂性。

圖6 不同規(guī)模各算法HV進(jìn)化過程Figure 6 Evolution process of HV with various algorithms at different scales

5 結(jié)論

本文基于RSM方法，結(jié)合我國鐵路建設(shè)活動(dòng)的實(shí)際特點(diǎn)，考慮了施工方向和特殊活動(dòng)對施工方案的影響，構(gòu)建了工期-費(fèi)用多目標(biāo)優(yōu)化模型。相較以往只考慮正向施工線性活動(dòng)，本文針對活動(dòng)類型的拓展，增加了可行施工方案的數(shù)量，大大增強(qiáng)了模型對于鐵路項(xiàng)目的適用性。在模型的求解過程中，設(shè)計(jì)了均勻進(jìn)化的精英選擇策略，引入差分進(jìn)化的變異、交叉算子，構(gòu)造了分層多策略自適應(yīng)的變異、交叉算子改進(jìn)NSGA-II算法獲得Pareto解集，決策者可根據(jù)實(shí)際情況和需求從中選取合適方案。文中以一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了本文所提出模型和算法的有效性。最后，通過求解不同規(guī)模隨機(jī)算例，與傳統(tǒng)NSGA-II對比，結(jié)果顯示改進(jìn)NSGA-II收斂速度更快，解的質(zhì)量更優(yōu)，運(yùn)行更加穩(wěn)定。

本研究假定所有子活動(dòng)只能按照一個(gè)固定的順序進(jìn)行施工，而在實(shí)際工程中，可能存在活動(dòng)上各子活動(dòng)之間的邏輯施工順序是可變的情況[7]。因此，后續(xù)的研究將增加對軟邏輯、多工作隊(duì)等因素的考慮，使模型算法能適應(yīng)情況更加復(fù)雜的場景。