基于自適應(yīng)魯棒的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制

趙化民,呂成興,陳 健

(青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院,山東 青島 266520)

1 引言

近年來,隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展,如何在不增加成本的前提下提高機(jī)器人性能以達(dá)到更高的精度和速度受到越來越多的關(guān)注[1]?，F(xiàn)階段的實(shí)際應(yīng)用中,在保證機(jī)械臂任務(wù)完成質(zhì)量與速度的同時(shí),對(duì)于給定的軌跡達(dá)到期望的跟蹤精度成為了研究的熱點(diǎn)問題。

在機(jī)械臂軌跡跟蹤問題受到越來越多人關(guān)注的同時(shí),針對(duì)軌跡跟蹤問題,各種優(yōu)良的控制策略被廣泛提出用以保證機(jī)械臂進(jìn)行精確軌跡跟蹤。比如魯棒控制,自適應(yīng)控制以及滑?？刂芠2]等。自適應(yīng)控制可以在不確定因素和模型參數(shù)變化的情況下確保良好的系統(tǒng)性能,但這種方法需要大量計(jì)算設(shè)計(jì)控制律。傳統(tǒng)滑?？刂芠3,4]雖然有著較好的魯棒性和快速的響應(yīng)能力,但其會(huì)引起控制的抖振從而削減系統(tǒng)控制性能。文獻(xiàn)[5]提出的自適應(yīng)反步滑?？刂?通過推導(dǎo)出精確的包含摩擦的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型,使系統(tǒng)在存在外界干擾時(shí)仍可以進(jìn)行精確的軌跡跟蹤。擾動(dòng)觀測(cè)器[6-8]通常被用來處理系統(tǒng)所受干擾以及系統(tǒng)本身存在的一些不確定性,其因設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單直觀而受到廣泛歡迎。文獻(xiàn)[9,10]為更好抑制抖振現(xiàn)象設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的非線性滑?？刂破?同時(shí)提高了機(jī)械臂抗干擾能力。文獻(xiàn)[11]為解決系統(tǒng)的時(shí)滯效應(yīng)提出了一種帶有干擾觀測(cè)器與狀態(tài)觀測(cè)器的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)控制方案。Tran等[12]提出一種使用終端滑模控制(TSMC)和RBFNN的機(jī)械臂自適應(yīng)控制,此方法加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度但TSMC仍存在奇異問題。魯棒自適應(yīng)[13]跟蹤控制方法也能夠很好的解決系統(tǒng)跟蹤問題且提高系統(tǒng)跟蹤精度。以上傳統(tǒng)算法雖然一定程度上提高了系統(tǒng)性能但未能使誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂或存在奇異問題。

文獻(xiàn)[14]采用一種遞歸分散有限時(shí)間控制,使跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)附近從而保證系統(tǒng)良好的跟蹤性能,但其方法較為復(fù)雜。Sun等[15]將隨機(jī)控制理論與自適應(yīng)技術(shù)結(jié)合設(shè)計(jì)了一種克服過度參數(shù)化問題的控制器,能夠保證跟蹤誤差的均方根任意小。文獻(xiàn)[16]通過一種新穎的雅可比矩陣自適應(yīng)(JMA)方法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行跟蹤控制,同樣達(dá)到了期望跟蹤精度。文獻(xiàn)[17]以時(shí)延控制(TDC)為控制框架,提出一種無模型軌跡跟蹤控制方法,能夠保證較好的跟蹤精度,但其具有較大的計(jì)算量。在文獻(xiàn)[18]中,通過使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整定傳統(tǒng)PID的方法對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行控制,保證在最小的穩(wěn)態(tài)誤差下完成軌跡跟蹤。反步控制[19,20]設(shè)計(jì)過程獨(dú)特且具有較好的不確定性處理能力,但存在干擾時(shí)也會(huì)降低控制性能。以上雖不同于一些傳統(tǒng)方案,可以保證誤差在有限時(shí)間收斂,但未考慮摩擦等外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。因此通過以上分析以及機(jī)械臂控制系統(tǒng)自身特點(diǎn),針對(duì)機(jī)械臂受到復(fù)雜時(shí)變擾動(dòng)時(shí)的高精度軌跡跟蹤問題,本文提出了一種帶擾動(dòng)觀測(cè)器的機(jī)械臂自適應(yīng)魯棒軌跡跟蹤控制策略,能夠有效減小擾動(dòng)對(duì)軌跡跟蹤的影響且使跟蹤誤差能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

本文主要?jiǎng)?chuàng)新工作如下:1)考慮帶有摩擦的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型,反步跟蹤控制器有效地提高了軌跡跟蹤精度,并引入一階濾波器解決虛擬控制輸入的復(fù)雜求導(dǎo)問題。2)設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)律更新擾動(dòng)觀測(cè)器增益,提高了觀測(cè)器性能進(jìn)而準(zhǔn)確獲得擾動(dòng)估計(jì)。3)所設(shè)計(jì)控制器控制精度與跟蹤速度均優(yōu)于非線性PD控制器。

2 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

考慮機(jī)械臂各關(guān)節(jié)類型為旋轉(zhuǎn)型,故串聯(lián)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)化簡(jiǎn)得到如下形式

(1)

其中M(q)∈n×n為機(jī)械臂慣性矩陣且為正定矩陣,n×n表示離心力與哥氏力矩陣,G(q)∈n代表重力項(xiàng)。n分別為關(guān)節(jié)角位移,角速度,角加速度向量。τ∈n為系統(tǒng)輸入向量,τd∈n為擾動(dòng)向量,包括摩擦以及外部隨機(jī)干擾。本文采用摩擦項(xiàng)如下

(2)

其中φ1,φ2,φ3,γ1,γ2,γ3為設(shè)計(jì)參數(shù)。

該機(jī)械臂滿足以下動(dòng)力學(xué)特性:

1)慣性陣M(q)為對(duì)稱正定且可逆矩陣,并存在正數(shù)Mmax,Mmin使其范數(shù)有界

(3)

(4)

由于存在外部干擾信號(hào),為了能更好地跟蹤給定位置信號(hào)xd,做以下兩點(diǎn)假設(shè):

1)期望角度xd及其n階導(dǎo)數(shù)存在且有界。

3 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

在機(jī)械臂控制中,由于模型不確定性以及系統(tǒng)所受外部干擾的影響,系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定導(dǎo)致軌跡跟蹤效果差。反步法對(duì)不確定性有較好的處理能力,因此本文通過反步法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制律,有效地提高了系統(tǒng)的跟蹤精度。通過擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)系統(tǒng)所受干擾,得到估計(jì)值,較好地克服了擾動(dòng)造成的對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

重新定義系統(tǒng)狀態(tài)變量如下

(5)

Step1)定義誤差向量e1=x1-xd,其中xd為期望軌跡,設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)

(6)

定義虛擬控制量

(7)

其中k1為參數(shù)向量,引用以下一階濾波器:

(8)

最終V1對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(9)

Step2:定義誤差向量e2=x2-α,設(shè)計(jì)李雅普諾夫函數(shù)

(10)

由誤差向量可知

(11)

忽略擾動(dòng)時(shí),由式(1),(9),(11)對(duì)(10)求導(dǎo)

(12)

故取控制律τs為

(13)

3.2 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

一般情況下,通過估計(jì)的方法來獲取復(fù)合干擾τd。但估計(jì)值往往與實(shí)際值存在誤差,而擾動(dòng)觀測(cè)器得原理就是對(duì)估計(jì)值進(jìn)行修正。為了估計(jì)機(jī)械臂的擾動(dòng),很多作者提出了不同的觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法,常用形式為非線性擾動(dòng)觀測(cè)器。本文采用如下形式觀測(cè)器

(14)

器增益。

定義李亞普諾夫函數(shù)

(15)

由式(1)與(14)可知

(16)

對(duì)估計(jì)誤差求導(dǎo),并由式(16)得

(17)

因此,式(15)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

(18)

其中

(19)

ξ為正常數(shù),根據(jù)式(19),將(18)改寫為

≤-βV3+c

(20)

其中

β=2(P0-ξ),

(21)

(22)

3.3 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

為增強(qiáng)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的觀測(cè)性能并簡(jiǎn)化參數(shù)選取過程,通過式(13)設(shè)計(jì)自適應(yīng)律更新觀測(cè)器增益。首先構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

(23)

(24)

將式(13)代入

(25)

故取P0自適應(yīng)律為

(26)

4 穩(wěn)定性分析

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

(27)

式(27)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

(28)

將式(26)代入(25),將式(28)可改寫為

(29)

其中

(30)

ξ1為正常數(shù),由式(19)和(30)將(29)改寫為

≤-2min[λmin(k1),λmin(k2)-ξ1,

≤-ρV+ω

(31)

其中

(32)

5 仿真結(jié)果

本文選取PUMA560機(jī)械臂為控制對(duì)象,關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)型關(guān)節(jié)。為了建模方便且易于分析,故只考慮機(jī)械臂前三個(gè)關(guān)節(jié)。各連桿質(zhì)量,桿長(zhǎng),轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見表1。給定機(jī)械臂期望軌跡:xd=[sin(0.5t),cos(0.5t),0.5cos(0.5t)]T?？倲_動(dòng):τd=τ0+τf,其中τ0如式(33)所示。摩擦項(xiàng)參數(shù):φ1=φ2=0.2,φ3=0.5,γ1=1,γ2=γ3=0.5?？刂破鲄?shù):k1=diag[90,90,90],k2=diag[100,100,100]。

表1 機(jī)械臂物理參數(shù)

(33)

通過與非線性PD跟蹤控制器式(34)進(jìn)行對(duì)比,突出了本文設(shè)計(jì)控制器的良好控制性能。非線性PD控制器為

(34)

其中kp1=kp2=600,kd1=kd2=400。反步控制器與非線性PD控制器產(chǎn)生的實(shí)際信號(hào)為q=[q1,q2,q3]T,qPD=[qPD1,qPD2,qPD3]T。期望信號(hào)為qd=[qd1,qd2,qd3]T。

由圖2與圖4可以知道,存在外界干擾的情況下,非線性PD控制器在開始前2s內(nèi),對(duì)關(guān)節(jié)2、3的跟蹤性能較差。而設(shè)計(jì)的反步控制器性能優(yōu)于PD控制器,跟蹤速度快,有良好的魯棒性。圖3與圖5顯示了各關(guān)節(jié)的跟蹤誤差,由圖可以看出誤差均收斂在原點(diǎn)附近且所提控制器收斂速度快于PD控制器。

圖2 關(guān)節(jié)位置跟蹤

圖3 位置跟蹤誤差

圖4 關(guān)節(jié)速度跟蹤

圖5 速度跟蹤誤差

用以下誤差指標(biāo)比較反步控制器與非線性PD控制器的跟蹤響應(yīng)特性,比較結(jié)果如表2所示。由表可知,本文設(shè)計(jì)控制器控制性能優(yōu)于PD控制器且誤差更小。各指標(biāo)如下:

表2 指標(biāo)對(duì)比

由圖6可知,輸入力矩為合理光滑曲線。在圖7中,觀測(cè)器可以快速地跟蹤外部擾動(dòng),較準(zhǔn)確的獲得了擾動(dòng)估計(jì)值且一定程度上提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖6 關(guān)節(jié)輸入力矩

圖7 關(guān)節(jié)擾動(dòng)觀測(cè)

6 總結(jié)

本文針對(duì)機(jī)械臂的精確軌跡跟蹤問題,提出一種帶有擾動(dòng)觀測(cè)器的機(jī)械臂自適應(yīng)魯棒軌跡跟蹤控制策略。由于反步法具有較好的不確定性處理能力,因此通過反步法對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制律,提高了系統(tǒng)的跟蹤精度。采用擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)系統(tǒng)所受擾動(dòng)以獲取其估計(jì)值,并且設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)律更新觀測(cè)器增益,較好的抑制了擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響,提高了系統(tǒng)的魯棒性。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論對(duì)整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,證明了系統(tǒng)半全局漸近穩(wěn)定。通過適當(dāng)選擇設(shè)計(jì)參數(shù)保證跟蹤誤差在有限時(shí)間快速收斂到原點(diǎn)附近。通過與非線性PD控制器對(duì)比,仿真結(jié)果表明了所提方法的跟蹤速度與精度均優(yōu)于PD控制器,驗(yàn)證了設(shè)計(jì)控制器良好的跟蹤性能。