基于T-S模糊模型的下肢關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)魯棒跟蹤控制

張巍巍,梁 婷,潘俊濤,張 白

(1. 北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,寧夏 銀川 750021;2. 寧夏醫(yī)科大學(xué)總醫(yī)院,寧夏 銀川 750004)

1 引言

近些年來(lái),在全球范圍內(nèi),獲得性神經(jīng)損傷患者(如腦卒中、腦外傷和脊髓損傷等)數(shù)量越來(lái)越大,與之伴隨的是對(duì)康復(fù)的需求也越來(lái)越大[1,2]。功能性電刺激(Functional electrical stimulation,FES)是臨床應(yīng)用中主要的肢體智能康復(fù)技術(shù)之一[3]。其利用低頻電流脈沖誘發(fā)肌肉收縮,使癱瘓的肢體再學(xué)習(xí)和重組,完成相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)功能。相比其它康復(fù)治療技術(shù),FES還可以促進(jìn)肌肉再學(xué)習(xí),加強(qiáng)血液循環(huán),防止肌肉萎縮,具有很高的研究?jī)r(jià)值。然而,成熟的FES產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)還面臨許多問(wèn)題,例如,電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系本質(zhì)為一類具有強(qiáng)干擾和不確定等特征的高階非線性系統(tǒng)[4],考慮到患者個(gè)體差異和運(yùn)動(dòng)后肌肉疲勞等干擾因素,FES控制系統(tǒng)可能無(wú)法完成預(yù)期的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。

為實(shí)現(xiàn)高精度的功能性電刺激控制,各國(guó)研究學(xué)者都展開(kāi)了深入的研究,先后出現(xiàn)了多種基于不同控制理論的控制算法。最早的FES系統(tǒng)控制算法是Chizeck等提出的手動(dòng)開(kāi)關(guān)控制[5]。Shimada等人使用加速度傳感器檢測(cè)足下垂患者的步態(tài),用加速度信號(hào)觸發(fā)電刺激儀器產(chǎn)生指定刺激電流來(lái)校正足下垂患者的步態(tài)[6]。這類開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)中,采用固定的脈沖序列進(jìn)行刺激,難以達(dá)到理想的康復(fù)效果。為實(shí)現(xiàn)刺激量的精確調(diào)節(jié),文獻(xiàn)[7-10]使用自適應(yīng)PID控制器和模糊PID控制器,系統(tǒng)存在干擾時(shí)也能取得較好的控制效果,但對(duì)電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的非線性模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化;陳盛勤[12]和Freeman[13]基于迭代學(xué)習(xí)控制了肘關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng),吳強(qiáng)等[11]考慮肌肉疲勞對(duì)控制精度的影響,提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂品椒?跟蹤系統(tǒng)未建模部分和參數(shù)誤差,取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)[14,15]針對(duì)個(gè)體差異,分析了電刺激-關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的魯棒控制,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)條件,但從仿真結(jié)果看,系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng)。

因此,面對(duì)復(fù)雜的非線性生物系統(tǒng),如何設(shè)計(jì)非線性控制算法以有效處理人體肌肉疲勞帶來(lái)的運(yùn)動(dòng)控制精度問(wèn)題和患者個(gè)體差異的自適應(yīng)問(wèn)題一直是該領(lǐng)域的難題,目前依然缺乏系統(tǒng)化的設(shè)計(jì)方法和有效的處理手段。

模糊控制憑借其不依賴于控制對(duì)象精確數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)給復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制綜合研究帶來(lái)了新的契機(jī),特別是Takagi-Sugeno(T-S)模糊理論的提出為利用成熟的線性系統(tǒng)理論知識(shí)研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)成為可能。T-S模糊模型的主要思想是將輸入空間分為若干個(gè)模糊子空間,在每個(gè)模糊子空間建立關(guān)于輸入/輸出的局部線性模型,然后使用隸屬度函數(shù)將各個(gè)局部模型平滑地連接起來(lái),形成一個(gè)全局的非線性模型[16-21]。T-S模糊模型正是憑借其具有的萬(wàn)能逼近性質(zhì)和線性子系統(tǒng)后件為研究復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供了一套系統(tǒng)有效的解決辦法。

患者個(gè)體差異帶來(lái)的模型參數(shù)攝動(dòng)問(wèn)題,本文提出了一種基于T-S模糊模型的魯棒跟蹤控制方法,實(shí)現(xiàn)電刺激下膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確跟蹤控制。通過(guò)引入期望軌跡,將跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定性問(wèn)題;基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,分析得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,通過(guò)仿真驗(yàn)證,針對(duì)個(gè)體差異,本文提出的控制算法均可以準(zhǔn)確控制關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。

2 電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)跟蹤控制

以下肢膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)為例,討論膝關(guān)節(jié)在電刺激下的運(yùn)動(dòng)跟蹤控制問(wèn)題。

2.1 電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型

假設(shè)患者坐在高椅上,上身及大腿固定不動(dòng),踝關(guān)節(jié)與腳保持一定角度,可視作一個(gè)整體,則膝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)可以看做是由兩個(gè)剛性部分組成的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng):大腿和脛足復(fù)合體,如圖1所示,該系統(tǒng)的平衡方程為[22](文中與角度θ有關(guān)的變量均隨時(shí)間變化,為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔,均省略后綴(t))

圖1 膝關(guān)節(jié)電刺激示意圖

(1)

剛性力矩Ms為

Ms=λe-Eθ(θ-ω)

(2)

式中,λ和E是指數(shù)項(xiàng)的系數(shù),ω是膝關(guān)節(jié)彈性靜止角。

肌肉受到電刺激產(chǎn)生的有效力矩Ma和電刺激的脈沖寬度(P)之間的關(guān)系是

(3)

其中G和τ為電刺激儀系統(tǒng)參數(shù)。

(4)

(5)

由于個(gè)體差異,脛足復(fù)合體模型中的參數(shù)具有不確定性,如表1所示,H1-H5各行表示5名健康者參數(shù),P1-P3各行表示2名患者參數(shù)?？梢钥闯?每名個(gè)體的參數(shù)都不完全一樣,因此,要設(shè)計(jì)控制器,使得控制器對(duì)個(gè)體差異引起的控制對(duì)象的參數(shù)不確定性具有魯棒性,是本文的主要工作。

表1 不同個(gè)體的模型參數(shù)[22]

2.2 T-S模糊模型

對(duì)于一類仿射非線性系統(tǒng)

(6)

其中x∈n為狀態(tài)變量,u∈m為輸入變量,f(x)和g(x)都為光滑非線性函數(shù)。采用扇區(qū)非線性方法,系統(tǒng)(6)可以精確表示為T(mén)-S模糊模型的形式,該模型主要是通過(guò)“IF-THEN”模糊規(guī)則描述非線性系統(tǒng),每個(gè)模糊規(guī)則表示一個(gè)模糊子系統(tǒng),整個(gè)模糊系統(tǒng)是每個(gè)模糊子系統(tǒng)的線性組合?？紤]系統(tǒng)參數(shù)的不確定性,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫(xiě)為

(7)

其中Ainom∈n×n為模型的標(biāo)稱系統(tǒng)矩陣,Binom∈n×m為模型的標(biāo)稱輸入矩陣,ΔAi,ΔBi為系統(tǒng)模型中的不確定性矩陣。

第i個(gè)規(guī)則的表達(dá)形式為:

模糊規(guī)則i：

(8)

記z(t)=[z1(t),…,zp(t)]

(9)

(10)

不失一般性,假設(shè)系統(tǒng)的不確定性范數(shù)有界且具有如下結(jié)構(gòu)

ΔAi=LaiδaiRai

(11)

ΔBi=LbiδbiRbi

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(11)-(12)帶入系統(tǒng)式(7),可得

(17)

(18)

模糊子系統(tǒng)為

(19)

(20)

(21)

記a22=-B/J,a23=1/J,a33=-1/τ,b31=G/τ,參數(shù)χ的標(biāo)稱值記χnom,則對(duì)于式(19)-(21),有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

記參數(shù)χ的最小值和最大值記χmin和χmax,有0<τmin≤τ≤τmax, 0

a22nom=(a22max+a22min)/2,a23nom=(a23max+a23min)/2

a33nom=(a33max+a33min)/2,b31nom=(b31max+b31min)/2

(27)

有

Δa22=δ1(a22max-a22min)/2,-1≤δ1≤1

Δa23=δ2(a23max-a23min)/2,-1≤δ2≤1

Δa33=δ3(a33max-a33min)/2,-1≤δ3≤1

Δb31=δ4(b31max-b31min)/2,-1≤δ4≤1

(28)

令

ε1=(a22max-a22min)/2,ε2=(a23max-a23min)/2

ε3=(a33max-a33min)/2,ε4=(b31max-b31min)/2

(29)

(30)

(31)

(32)

則考慮個(gè)體差異的電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型可以表示為式(17)的形式。

2.3 基于T-S模糊模型的跟蹤控制器設(shè)計(jì)

在上節(jié)建立的電刺激-膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上,本節(jié)設(shè)計(jì)基于該模型的跟蹤控制器,使得膝關(guān)節(jié)的角度能跟蹤給定的運(yùn)動(dòng)軌跡。假設(shè)期望的運(yùn)動(dòng)軌跡為r(t),控制的目標(biāo)是使得當(dāng)t→∞時(shí),y(t)-r(t)→0。本文引入虛擬變量,將跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定性問(wèn)題,定義期望軌跡xd(t),可以跟蹤系統(tǒng)狀態(tài),跟蹤誤差為xe(t)=x(t)-xd(t),由式(17),其微分為

(33)

令

(34)

μ(t)為待設(shè)計(jì)的新的控制量。則

(35)

對(duì)于誤差系統(tǒng)式(33),如果能設(shè)計(jì)控制量μ(t)使其穩(wěn)定,即xe(t)→0(t→∞),即實(shí)現(xiàn)了x(t)→xd(t)(t→∞)?；赑DC方法[17],控制量μ(t)設(shè)計(jì)為

μ(t)=-Fhxe(t)

(36)

將式(36)帶入式(35),得到閉環(huán)系統(tǒng)為

(37)

為得到原系統(tǒng)(17)的控制律,將式(34)重寫(xiě)為

(38)

其中,0n-m∈(n-m)×m表示零矩陣,B(x)m∈m×m是非奇異矩陣。同理,將Ah和xd(t)也進(jìn)行相應(yīng)的劃分:

(39)

式(38)可以寫(xiě)為下面的形式

(40)

由式(37)和式(40),可以得到期望軌跡和控制律為

(41)

(42)

對(duì)于系統(tǒng)式(35),求得控制律式(36)后,可由式(42)求得原系統(tǒng)式(17)的跟蹤控制律。為得到控制律,用到了以下推論。定理1給出了系統(tǒng)式(35)漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。

推論[20]：對(duì)任意的常數(shù)1

(43)

定理1:對(duì)于含有不確定參數(shù)的系統(tǒng)(35),控制律(36)使其穩(wěn)定的充分條件是存在正定矩陣P=PT>0,半正定矩陣Y0,實(shí)數(shù)α>1,使得對(duì)所有允許的參數(shù)不確定性,以下矩陣不等式成立

Ψii+(α-1)Y1<0

(44)

Ξij-2Y2<0,i

(45)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(46)

(47)

(48)

(49)

證明:將式(11)-(12)代入系統(tǒng)式(37),有

(50)

式中

Gij=Ai-BiFj

(51)

(52)

(53)

若上式中①標(biāo)示的部分滿足

+P(Gii+Hii+Gji+Hji)-2Q0<0

(54)

由推論1 有

(55)

對(duì)上式中②標(biāo)示的部分滿足,有

(α-1)Q0

(56)

由式(13)-(16),有

(57)

則

(α-1)Q0<0

(58)

利用Schur補(bǔ)引理,由式(58)可得定理?xiàng)l件式(43)。

類似地,可由式(54)得到充分條件式(45),這里不在展開(kāi)。

定理得證。

定理1中的條件為雙線性不等式,不能方便求解,為了得到系統(tǒng)(35)穩(wěn)定的可行解,通過(guò)下面的定理將定理1中的條件進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI的可行解問(wèn)題。

定理2:對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(35),如果存在對(duì)稱正定矩陣X=XT>0,矩陣Mi,半正定矩陣Q0,實(shí)數(shù)α>1,使得以下線性矩陣不等式LMIs成立

Φii+(α-1)Q1<0

(59)

Θij-2Q2<0,i

(60)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(61)

(62)

(63)

(64)

則系統(tǒng)(35)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。反饋增益為

Fi=MiX-1

(65)

證明:對(duì)式(44)的左側(cè)左乘右乘對(duì)角矩陣

(66)

有

T1ΨiiT1+(α-1)T1Y1T1

=Φii+(α-1)Q1<0

(67)

其中,X=P-1,Q0=P-1Y0P-1,Mi=FiP-1,式(59)得證。

同理,對(duì)式(45)左側(cè)左乘右乘對(duì)角矩陣

(68)

式(60)得證。

定理得證。

3 膝關(guān)節(jié)跟蹤控制仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上節(jié)所提控制器的有效性,在Matlab/Simulink平臺(tái)下進(jìn)行仿真。取脛足復(fù)合體的標(biāo)稱參數(shù)如表2所示,所有參數(shù)在標(biāo)稱參數(shù)的±20%攝動(dòng),可涵蓋表1中不同個(gè)體的模型參數(shù)(注:健康者和患者λ參數(shù)范圍較大,這里取P1組參數(shù))。

表2 脛足復(fù)合體參數(shù)表

(69)

(70)

(71)

根據(jù)定理2,使用YAMIP工具[23]求解LMIs得到控制器增益為:

F1=[287.55 69.362 6.7586]

(72)

F2=[287.72 69.504 6.7399]

(73)

圖2 膝關(guān)節(jié)角度跟蹤曲線

圖3 膝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角速度曲線

圖4 電刺激力矩曲線

4 結(jié)論

本文基于T-S模糊模型,研究了考慮患者個(gè)體差異時(shí)功能性電刺激下膝關(guān)節(jié)的跟蹤控制問(wèn)題。將患者個(gè)體差異描述為模型參數(shù)的不確定性,通過(guò)引入期望軌跡,將跟蹤控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定問(wèn)題,得到了跟蹤控制器存在的線性矩陣不等式條件。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。但本文尚未肌肉疲勞引起的外部干擾問(wèn)題,也未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,未來(lái)的工作會(huì)針對(duì)此問(wèn)題進(jìn)一步分析。