巧借數(shù)學(xué)問題 演繹精彩課堂

徐小鋒

[摘? 要] 適度、適量的問題在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣等方面具有重要價(jià)值. 文章以“基本不等式”第一課時(shí)為例，巧借“問題”將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生在解決問題的過程中深化知識(shí)理解、掌握知識(shí)本質(zhì)，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)和學(xué)習(xí)質(zhì)量.

[關(guān)鍵詞] 問題;數(shù)學(xué)本質(zhì);學(xué)習(xí)品質(zhì);學(xué)習(xí)質(zhì)量

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了追求學(xué)習(xí)速度和容量，部分教師延續(xù)利用“以師為主”的講授式教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生的課堂參與率低下. 為了改變這一現(xiàn)象，筆者以“基本不等式”第一課時(shí)為例，嘗試從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)有效的問題讓學(xué)生的思維“活”起來(lái)，通過合作探究讓課堂“動(dòng)”起來(lái)，以此凸顯學(xué)生的主體地位，提高學(xué)生的課堂參與率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

分析教材內(nèi)容

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，根據(jù)課程要求，基本不等式教學(xué)分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)側(cè)重基本不等式的探究，要求學(xué)生了解簡(jiǎn)單的證明過程;第二課時(shí)側(cè)重基本不等式的應(yīng)用. 不過在實(shí)際教學(xué)中，大多數(shù)教師常將內(nèi)容進(jìn)行了壓縮，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)基本不等式的應(yīng)用，對(duì)基本不等式的探索及證明常常一帶而過. 但由于探索及證明過程的缺失，使學(xué)生“只知其然，而不知其所以然”，造成學(xué)生的“學(xué)”缺乏深度和廣度，影響到了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 鑒于此，筆者將第一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)放在基本不等式的探究上，引導(dǎo)學(xué)生通過多角度探究深化知識(shí)理解，同時(shí)通過有效拓展發(fā)散學(xué)生的思維、培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣.

教學(xué)設(shè)計(jì)理念

新課標(biāo)倡導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索知識(shí)，關(guān)注學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升與發(fā)展. 不過探索知識(shí)的過程離不開教師引導(dǎo)，教學(xué)中將教師主導(dǎo)和學(xué)生主體有機(jī)地結(jié)合起來(lái)不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以避免學(xué)生“誤入歧途”，有利于提高課堂教學(xué)的有效性. 在本節(jié)課教學(xué)中，筆者采取“自主、合作、探索”的教學(xué)方式，通過行之有效的問題將教學(xué)活動(dòng)串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下積極參與基本不等式的發(fā)展過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的樂趣. 在整個(gè)教學(xué)過程中，筆者堅(jiān)持“以生為本”，使學(xué)生的主體地位得到了保證，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到了激發(fā)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了發(fā)展，課堂氣氛積極、活躍.

教學(xué)片段

1. 借助情境，引出新知

師：對(duì)于天平大家并不陌生，在物理課和化學(xué)課上都看到過，今天老師也帶來(lái)了一架天平. 請(qǐng)說一說如何用它來(lái)稱物體的質(zhì)量. （問題1）

生1：將物體放在天平的左托盤，砝碼放在天平的右托盤，讓天平平衡，此時(shí)砝碼的質(zhì)量即為物體的質(zhì)量.

師：很好，誰(shuí)動(dòng)手來(lái)做一做？（筆者讓學(xué)生用天平稱數(shù)學(xué)書的質(zhì)量）

師：今天老師帶來(lái)的這架天平，兩臂長(zhǎng)略有不同，用這架天平能否準(zhǔn)確地稱物體的質(zhì)量呢？（問題2）

生2：不能. 設(shè)物體的質(zhì)量為M，天平的左臂長(zhǎng)為L(zhǎng)，砝碼的質(zhì)量為M，天平的右臂長(zhǎng)為L(zhǎng)，根據(jù)物理學(xué)中的杠杜原理可知M·L=M·L，而L≠L，所以不能準(zhǔn)確地稱物體的質(zhì)量.

師：將物體放在左托盤稱出的質(zhì)量為a，放在右托盤稱出的質(zhì)量為b，那么物體的實(shí)際質(zhì)量是多少呢？（問題3）

生3：. （學(xué)生不假思索地回答）

師：你們同意生3的觀點(diǎn)嗎？（筆者讓學(xué)生進(jìn)行分組探究）

學(xué)生積極思考，利用物理學(xué)知識(shí)計(jì)算出物體的實(shí)際質(zhì)量為.

師：那么能否將作為物體的實(shí)際質(zhì)量呢？

生齊聲答：不能，要比較與的大小關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，與其他學(xué)科知識(shí)相關(guān)聯(lián)，借助天平稱物引出新知，并激發(fā)學(xué)生的探究熱情.

2. 探究大小，引出主題

師：如何判斷與的大小關(guān)系呢？（問題4）

問題給出后，筆者預(yù)留2分鐘的時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考.

生4：可以取一些特殊值進(jìn)行驗(yàn)證，其結(jié)果為>.

生5：當(dāng)a=b時(shí)，=，所以應(yīng)該是≥.

師：通過特殊值法猜想得到≥，那么猜想的結(jié)果能否作為最終的結(jié)論呢？

生齊聲答：不能.

師：如何證明≥呢？

生6：-=（a+b-2）=（-）2≥0，所以≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

師：很好，利用比較法驗(yàn)證了結(jié)論，還有其他方法嗎？

生7：因?yàn)椋?）2≥0，所以a+b≥2，故≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

師：很好，生7利用綜合法驗(yàn)證了結(jié)論. 該結(jié)論的證明方法還有許多，但限于時(shí)間，這里我們就不再一一探究了，在日后章節(jié)里再詳細(xì)探討.

師：結(jié)合生6、生7的推理過程，思考一下，不等式≥中a，b有什么限定條件嗎？（問題5）

生8：a>0，b>0.

師：一定是a>0，b>0嗎？若它們等于0是否成立呢？

生8：哦，等于0也成立，那么限定條件就是a≥0，b≥0.

師：很好. 我們將不等式≥稱為基本不等式，其成立條件是a≥0，b≥0.

師：你們能否用文字語(yǔ)言表述基本不等式呢？（問題6）

生9：對(duì)于兩個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 通過問題誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想，從而引出本課探究主題. 在探究中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度出發(fā)，通過比較法和綜合法驗(yàn)證結(jié)論，并總結(jié)歸納出限定條件，以此抽象概括出基本不等式.

3. 探究圖形，理解主題

師：圖1上有兩條線段，其長(zhǎng)度分別為a，b，你能利用這兩條線段作出表示的線段嗎？（問題7）

生10：先畫一條直線，在直線上取AC=a，CB=b，線段AB的一半就是. （如圖2所示）

師：很好，還有其他方法作出更多的嗎？（學(xué)生不語(yǔ)）

師：聯(lián)想我們學(xué)過的圖形，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：很棒，能否在圓O上作出一條線段，使線段的長(zhǎng)度為？（問題8）

（問題給出后，筆者鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行小組討論，幾分鐘后各小組都有所發(fā)現(xiàn)，筆者點(diǎn)名讓學(xué)生回答）

生12：如圖4所示，過點(diǎn)C作DE⊥AB交圓O于點(diǎn)D，E，由射影定理可知DC=.

師：很好，由圖4可知，DO為圓O的半徑，其長(zhǎng)度為，DC=，DO與DC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

生13：觀察圖4可知，DO>DC，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，即a=b時(shí)，DO=DC，所以DO≥DC，即≥.

師：很好，這樣借助圖形我們進(jìn)一步解釋了基本不等式. 上述我們用了三種不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示基本不等式，現(xiàn)在你們是否理解并掌握了基本不等式呢？

生齊聲答：理解了.

（正在筆者想結(jié)束基本不等式的探索時(shí)，學(xué)生又有了其他想法）

生14：老師，還可以用其他圖形來(lái)表示基本不等式.

師：哦，還有其他圖形？你來(lái)說一說，還可以如何表示呢？

生14：利用圓的切線和割線來(lái)表示. 如圖5所示，過圓O外一點(diǎn)A作圓O的切線AD，切點(diǎn)為D，連接AO交圓O于點(diǎn)B，C. 設(shè)AC=a，AB=b，由圓的切割線定理可知AD2=AC·AB=ab，故AD=，AO=AC+CO=a+=. 所以在Rt△AOD中，AO>AD，即>. 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B，C與切點(diǎn)D重合，則=. 綜上所述，≥.

（生14給出驗(yàn)證思路后，其他學(xué)生的驗(yàn)證熱情被點(diǎn)燃了起來(lái)，很快有學(xué)生就想到了其他驗(yàn)證思路）

生15：如圖6所示，△ACB和△ADE為等腰直角三角形，設(shè)AD=DE=，AC=BC=，則S△ACB=b，S△ADE=a，S=，顯然S

師：大家真是太棒了，利用不同的圖形驗(yàn)證了基本不等式，我這里也準(zhǔn)備了一個(gè)圖形，圖7是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽，它由8個(gè)全等的直角三角形和1個(gè)小正方形構(gòu)成，這個(gè)圖形中存在相等和不等的關(guān)系，請(qǐng)各小組探究一下，看看你們有什么發(fā)現(xiàn)？（筆者帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行拓展）

生16：如圖8所示，根據(jù)已知可得，正方形ABCD由8個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ構(gòu)成. 設(shè)PF=a，PE=b，則S>8S△EPF，也就是（a+b）2>8×ab=4ab，所以ab<

2，即<. 當(dāng)a=b時(shí)，正方形MNPQ縮成了一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)=. 由此，基本不等式得以驗(yàn)證.

師：太棒了，用多個(gè)圖形驗(yàn)證了基本不等式，數(shù)學(xué)真是太奇妙了.

設(shè)計(jì)意圖 從“形”的角度出發(fā)，通過師生交流，引導(dǎo)學(xué)生借助熟悉的圖形驗(yàn)證基本不等式.

4. 探究變式，深化主題

師：對(duì)于基本不等式≥（a≥0，b≥0），是否可以將其轉(zhuǎn)化為其他形式呢？（問題9）

學(xué)生積極思考，給出了如下形式：

①≥?a+b≥2;

②a+b≥2?≥2?+≥2;

③≥?

2≥ab.

師：基本不等式中的a，b除了代表數(shù)字外，還能代表其他的嗎？（問題10）

生17：可以，還可以代表大于等于0的代數(shù)式.

師：你能用一些大于等于0的代數(shù)式來(lái)替換a，b嗎？替換后你能得到什么結(jié)論呢？（問題11）

生18：可以用a2，b2代替a，b，則有a2+b2≥2ab（a，b∈R）.

生19：可以用，代替a，b，則有+≥2（a，b同號(hào)）.

師：非常好，這樣其他很多不等式都可以用≥（a≥0，b≥0）衍生出來(lái)，所以我們稱它為基本不等式.

設(shè)計(jì)意圖 通過有效變式深化學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，為后續(xù)應(yīng)用基本不等式解決問題奠定基礎(chǔ).

5. 例題講解，應(yīng)用主題

師：學(xué)習(xí)基本不等式后，看看你能否靈活應(yīng)用它解決問題. （筆者用PPT給出問題）

（1）若x>0，x+的最小值為____，此時(shí)x=____.

（2）若a>0，b>0，且a+b=2，則ab的最大值為____，此時(shí)a=____，b=____.

設(shè)計(jì)意圖 借助應(yīng)用進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，同時(shí)讓學(xué)生領(lǐng)悟應(yīng)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”.

6. 總結(jié)回顧，升華主題

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？

生20：多元探究有助于深化理解知識(shí).

生21：應(yīng)用基本不等式解決問題時(shí)，一定要注意它的應(yīng)用條件.

生22：體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合、歸納類比等思想方法的應(yīng)用價(jià)值.

……

設(shè)計(jì)意圖 通過反思、歸納，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)和技能，提高學(xué)生的認(rèn)知水平，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)概括的能力.

教學(xué)思考

本節(jié)課教學(xué)以問題為主線，不僅有效吸引住了學(xué)生的注意力，而且激發(fā)了學(xué)生參與課堂活動(dòng)的興趣，帶領(lǐng)學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)了基本不等式，并通過證明深化了對(duì)基本不等式本質(zhì)的理解. 經(jīng)歷以上探究活動(dòng)，筆者有以下幾點(diǎn)教學(xué)感悟.

首先，問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值是不言而喻的，不過孤立的、隨機(jī)的、零散的問題對(duì)數(shù)學(xué)思維的影響往往是微乎其微的，只有將問題“串”起來(lái)，形成一條主線，才能讓學(xué)生的思維在解決系列問題的過程中變得有序，讓學(xué)生的思維得到有效拓展和提升. 因此，教師設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)從整體出發(fā)，既要考慮知識(shí)結(jié)構(gòu)，又要關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，借助問題將知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，通過每一個(gè)問題的解決，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

例如本節(jié)課教學(xué)，筆者通過環(huán)環(huán)相扣的問題誘發(fā)學(xué)生深度思考，通過對(duì)小問題的解決實(shí)現(xiàn)對(duì)大問題的突破，使學(xué)生的思維發(fā)展得更有深度. 比如本節(jié)課開始通過一系列問題的探索——“天平準(zhǔn)確時(shí)如何稱重”“天平不準(zhǔn)確時(shí)如何稱重”“能否將作為物體的質(zhì)量”，引出了新知.

其次，教師設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)從學(xué)生的現(xiàn)有水平出發(fā)，讓學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)逐步發(fā)展到現(xiàn)有發(fā)展區(qū). 要知道，只有問題的設(shè)計(jì)符合學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平，才能激發(fā)學(xué)生參與的積極性，從而通過“跳一跳”過渡到更高的認(rèn)知水平. 由淺入深、由易到難的問題既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又能拓展學(xué)生思維的廣度與深度，有助于學(xué)習(xí)能力的提升.

例如本節(jié)課教學(xué)，筆者首先帶領(lǐng)學(xué)生從熟悉的情境出發(fā)，引出基本不等式;其次引導(dǎo)學(xué)生證明基本不等式，從“數(shù)”的角度出發(fā)，從符號(hào)語(yǔ)言到文字語(yǔ)言再到圖形語(yǔ)言，通過不同語(yǔ)言的表征深化學(xué)生對(duì)基本不等式的理解;最后通過基本不等式的適度變形，讓學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)和理解基本不等式. 這既符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，又順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)信心. 另外，理解基本不等式的幾何意義是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，為了突破這一難點(diǎn)，筆者先引導(dǎo)學(xué)生利用線段表示，然后引出半徑為的圓，再?gòu)默F(xiàn)有圖形出發(fā)，讓學(xué)生尋找，最終帶領(lǐng)學(xué)生用圖形語(yǔ)言表述基本不等式. 通過解決這些具有層次性、梯度性的問題，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

最后，教師設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)關(guān)注問題的拓展性，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、多方位進(jìn)行思考，使學(xué)生真正把握知識(shí)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通. 例如本節(jié)課教學(xué)，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式進(jìn)行變形，這樣既讓學(xué)生從更高的角度理解了基本不等式的本質(zhì)，又為接下來(lái)應(yīng)用基本不等式解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，精心設(shè)計(jì)問題，進(jìn)而在問題的引領(lǐng)下培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)和學(xué)習(xí)質(zhì)量.