Gorenstein 正則環(huán)上 Gorenstein 投射覆蓋的存在性

張豫岡，曹天涯

(1.蘭州工業(yè)學院 基礎學科部，甘肅 蘭州 730050；2.西北師范大學 計算機科學與工程學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

本文環(huán)R均表示具有單位元的結合環(huán)，所有的模均是某個環(huán)R上的左R-(酉)模.

覆蓋與包絡(也稱逼近)理論的研究源于模的內(nèi)射包絡及投射覆蓋的概念，目前已成為(相對)同調代數(shù)領域的基本課題之一.眾所周知，在經(jīng)典的同調代數(shù)中，著名的“平坦覆蓋猜想”成立，即任意環(huán)上所有模都具有平坦覆蓋.同時，任意環(huán)上所有模都具有內(nèi)射包絡.由Wakamutsu引理可知，任意環(huán)上所有模具有特殊的平坦預覆蓋和特殊的內(nèi)射預包絡.另一方面，所有模都具有特殊的投射預覆蓋，所有模具有投射覆蓋當且僅當基環(huán)R是左完全環(huán).受Holm 研究思路的啟發(fā)，國內(nèi)外許多學者研究了Gorenstein投射(預)覆蓋、Gorenstein內(nèi)射(預)包絡和Gorenstein平坦(預)覆蓋的存在性[1-7].值得一提的是，aroch等[5]證明了任意環(huán)上所有模都具有Gorenstein內(nèi)射包絡，并且任意環(huán)是GF-閉的；因為任意環(huán)上所有模都具有Gorenstein平坦覆蓋[2]，進而由Wakamutsu引理可知，任意環(huán)上所有模具有特殊的Gorenstein內(nèi)射預包絡和特殊的Gorenstein 平坦預覆蓋.但是，任意環(huán)上所有模是否具有特殊的 Gorenstein 投射預覆蓋(進而怎樣的環(huán)滿足其上所有模具有 Gorenstein 投射覆蓋)仍然未知.

2014年，Enochs 等[8]將Beligiannis[9]稱為左 Gorenstein環(huán)的環(huán)重新命名為左Gorenstein正則環(huán).由文獻[10]定理4.1可知，左Gorenstein正則環(huán)即具有有限左Gorenstein整體維數(shù)的環(huán).作為具有有限左整體維數(shù)的環(huán)和Iwanaga-Gorenstein環(huán)的共同推廣，左Gorenstein正則環(huán)上Gorenstein模類具有良好性質.由文獻[11]引理5.1(1)可知，左Gorenstein正則環(huán)上所有模具有特殊的Gorenstein投射預覆蓋.因此，自然地可以考慮如下問題：

問題A怎樣的左Gorenstein正則環(huán)滿足所有模具有Gorenstein投射覆蓋？

本文定理1給出了上述問題的徹底回答.

定理1設R是左Gorenstein正則環(huán)，則如下結論等價：

(1)所有左R-模具有Gorenstein投射覆蓋.

(2)R是左完全環(huán).

Auslander最后定理說明，在任意 Iwanaga-Gorenstein環(huán)上每個有限生成模具有 Gorenstein投射覆蓋.但是，由定理1可知，非完全的Iwanaga- Gorenstein環(huán)不能保證所有模具有Gorenstein投射覆蓋.作為定理1的另一應用，我們給出交換Gorenstein遺傳環(huán)是Gorenstein Artin代數(shù)的 Gorenstein同調刻畫.

1 預備知識

用R-Mod 表示所有R-模的類，其中由所有投射、內(nèi)射、平坦及FP-內(nèi)射R-模構成的(子)類分別用P,I,F及FI表示，pdR(M),idR(M),fdR(M)和FP-idR(M)分別表示R-模M的投射、內(nèi)射、平坦和FP-內(nèi)射維數(shù).

其中X,X′∈X且Y,Y′∈Y.

R-模M的X-預覆蓋是指一個同態(tài)α:X→M，使得X∈X并且對任意的X′∈X，序列HomR(X′,X)→HomR(X′,M)→0是正合的.稱R-模M的X-預覆蓋α:X→A是X-覆蓋，如果滿足αf=α的自同態(tài)f:X→X都是同構.稱A的X-(預)覆蓋α:X→A是特殊的，如果α是滿同態(tài)，并且Kerα∈X⊥.稱模類X是(預)覆蓋類(或特殊的預覆蓋類)，如果A中的每個對象都具有X-(預)覆蓋(或特殊的X-預覆蓋).稱余撓對(X,Y)是完全的，如果X是覆蓋類且Y是包絡類，這里包絡類是覆蓋類的對偶.

稱R-模M是Gorenstein投射的，如果存在一個由投射R-模構成的Hom(-,P)-正合的正合序列

…→P1→P0→P0→P1→…，

使得M?Im(P0→P0).對偶可定義Gorenstein內(nèi)射模.

用GP表示由所有Gorenstein投射R-模構成的類.分別稱GP-(預)覆蓋及特殊的GP-預覆蓋為Gorenstein投射(預)覆蓋及特殊的Gorenstein投射預覆蓋.

近來，汪軍鵬[12,13]研究了奇點范疇和相對于Ding模的穩(wěn)定范疇之間的關系，并刻畫了Gorenstein正則環(huán).用1.G-gl.dim(R)表示環(huán)R的左Gorenstein整體維數(shù)，即所有R-模的Gorenstein投射維數(shù)的上確界和所有R-模的Gorenstein內(nèi)射射維數(shù)的上確界這兩個相等的值；維數(shù)silp(R)和spli(R)定義如下:

spli(R)=sup{pdR(M):M是內(nèi)射R-模},

silp(R)=sup{idR(M):M是投射R-模}.

定義1[12]稱環(huán)R是左Gorenstein正則的，如果R滿足如下等價條件之一：

(1)silp(R)<∞且spli(R)<∞;

(2)1.G-gl.dim(R)<∞;

(3)存在一個非負整數(shù)n使得1.G-gl.dim(R)≤n.

定義2稱環(huán)R是右Gorenstein正則環(huán)，如果R的反環(huán)Rop是左Gorenstein正則的.

易知環(huán)R是右Gorenstein正則環(huán)當且僅當R的右Gorenstein整體維數(shù)有限，這里R的右Gorenstein整體維數(shù)是指其反環(huán)Rop的左Gorenstein整體維數(shù).

2 主要結論及證明

下述引理1給出了左Gorenstein正則環(huán)的性質，其意義平行于Gorenstein環(huán)的相應性質[1].

引理1([13,引理 3.9]) 設R是滿足1.G-gl.dim(R)≤n的左Gorenstein正則環(huán)，則對任意的R模M，以下條件等價：

(1)fdR(M)<∞;

(2)pdR(M)<∞;

(3)idR(M)<∞;

(4)FP-idR(M)<∞.

而且，以上所有維數(shù)均不超過n.

引理1表明，在左Gorenstein正則環(huán)上每個投射模具有有限的內(nèi)射維數(shù)，因而由文獻[8]引理2.4可得如下Gorenstein投射模的刻畫.

引理2設R是左Gorenstein正則環(huán)，M是R-模，則以下條件等價：

(1)M是Gorenstein投射模；

(2)存在正合序列0→M→P0→P1→…，其中每個Pi是投射模.

引理3設R是環(huán)，R-模的類X對直和因子封閉且P?X，則以下條件等價：

(3)X是特殊預覆蓋類；

(4)存在完備的余撓對(X,X⊥).

下證余撓對(X,X⊥)的完備性.對于任意的R-模N，由前述證明可知，存在R-模的短正合序列

0→KN→XN→N→0，

其中KN∈X⊥且XN∈X.換句話說，余撓對(X,X⊥)具有足夠的投射對象.因而由文獻[8]命題7.1.7可知，余撓對(X,X⊥)亦具有足夠的內(nèi)射對象.所以，余撓對(X,X⊥)是完備的.

其中K∈X⊥且X∈X.通常的同調代數(shù)方法可以驗證f:X→N是N的特殊的X-預覆蓋.】

結合引理3和文獻[11]引理 5.1(1)可得如下結論.

引理4設R是左Gorenstein正則環(huán)，則存在完備遺傳的余撓對(GP,W)，其中W表示所有具有有限投射維數(shù)的R-模構成的類.因而GP是特殊的預覆蓋類.

引理4表明，在左Gorenstein正則環(huán)上每個模具有特殊的Gorenstein投射預覆蓋類.

稱一個環(huán)R是左(右)完全環(huán)，如果每個左(右)R-模具有投射覆蓋；特別地，稱環(huán)R是完全環(huán)，如果R是左、右完全環(huán).

下面定理2包含了引言中的定理1，給出了問題A的徹底回答.

定理2設R是左Gorenstein正則環(huán)，W表示所有具有有限投射維數(shù)的R-模構成的類，則以下條件等價：

(1)模類GP是覆蓋類；

(2)模類GP對正向極限封閉；

(3)(GP,W)構成完全的余撓對；

(4)每個投射維數(shù)有限的R-模M具有Gorenstein投射覆蓋；

(5)每個內(nèi)射維數(shù)有限的R-模M具有Gorenstein投射覆蓋；

(6)每個FP-內(nèi)射維數(shù)有限的R-模M具有Gorenstein投射覆蓋；

(7)每個平坦維數(shù)有限的R-模M具有Gorenstein投射覆蓋；

(8)每個平坦R-模M具有Gorenstein投射覆蓋；

(9)R是左完全環(huán).

顯然，每個左(右)整體維數(shù)有限的環(huán)是左(右)Gorenstein正則環(huán).由文獻[1]定理9.1.11可知，每個(Iwanaga-)Gorenstein環(huán)(因而每個Gorenstein Artin代數(shù))是左、右Gorenstein正則環(huán).這里稱環(huán)R是(Iwanaga-)Gorenstein環(huán)，如果存在非負整數(shù)n，使得R是n-Gorenstein環(huán)，即R是雙邊諾特環(huán)，并且R的雙邊自內(nèi)射維數(shù)均不超過n.特別地，稱Artin代數(shù)R是Gorenstein Artin代數(shù)，如果R作為環(huán)是Gorenstein環(huán)，等價地，如果R的雙邊自內(nèi)射維數(shù)不超過n.

注記1( i )作為定理2的推論，我們有：一個左(右)整體維數(shù)有限的環(huán)是左(右)完全環(huán)當且僅當每個左(右)R-模具有Gorenstein投射覆蓋.注意到存在非完全的整體維數(shù)有限的交換環(huán)(例如通常的整數(shù)環(huán)Z)，因而在這樣的環(huán)上的模類GP不是覆蓋類.

(ii)由于Gorenstein Artin代數(shù)是Gorenstein正則環(huán)，并且是雙邊Artin環(huán)(因而是雙邊完全環(huán))，從而由定理2可知，在Gorenstein Artin代數(shù)R上所有左、右R-模均具有Gorenstein投射覆蓋.

(iii)設R是Gorenstein環(huán).由著名的“Auslander 最后定理”(文獻[1]定理11.6.9)可知，每個有限生成R-模具有Gorenstein投射覆蓋.另一方面，Gorenstein環(huán)是左Gorenstein正則環(huán)，因而由定理2可知，所有R-模具有Gorenstein投射覆蓋當且僅當R是左完全環(huán).因此，在非左完全的Gorenstein環(huán)上模類GP不是覆蓋類.例如，通常的整數(shù)環(huán)Z是非完全的交換1-Gorenstein環(huán)，因而在環(huán)Z上模類GP不是覆蓋類.

稱一個環(huán)R是(Gorenstein)遺傳環(huán)，如果R的任意左、右理想均是(Gorenstein)投射的，等價地，如果R的左、右(Gorenstein)整體維數(shù)不超過1.顯然，每個遺傳環(huán)是Gorenstein遺傳環(huán)，并且每個Gorenstein遺傳環(huán)是左、右Gorenstein正則環(huán).另一方面，易知每個1-Gorenstein Artin代數(shù)是Gorenstein遺傳環(huán).

推論1設R是交換Gorenstein遺傳環(huán)，則以下條件等價：

(1)R是1-Gorenstein Artin代數(shù)；

(2)模類GP是覆蓋類.