仿青蛙變形輪式跳躍機(jī)器人的機(jī)構(gòu)優(yōu)化

曹?chē)?guó)強(qiáng),李鵬越,葉長(zhǎng)龍,李邦宇

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110136)

(2.沈陽(yáng)新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司,遼寧 沈陽(yáng) 110169)

跳躍機(jī)器人具有良好的越障能力,但在平坦路面上的運(yùn)動(dòng)性能并不出眾,而兩輪移動(dòng)機(jī)器人行動(dòng)靈活、效率高,但越障能力差。變形輪式跳躍機(jī)器人結(jié)合了二者的優(yōu)點(diǎn),具有輪式移動(dòng)和跳躍兩種運(yùn)動(dòng)方式,增強(qiáng)了機(jī)器人的適應(yīng)能力[1]。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者從事跳躍機(jī)器人的研究,取得令人矚目的成績(jī),如蘇黎世機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究所研制的CHARO機(jī)器人[2]、瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院研制的仿蝗蟲(chóng)跳躍機(jī)器人[3]、西北工業(yè)大學(xué)葛文杰團(tuán)隊(duì)研制的仿袋鼠跳躍機(jī)器人和哈爾濱工業(yè)大學(xué)王猛設(shè)計(jì)的仿青蛙跳躍機(jī)器人等[4-5]。日本學(xué)者利用曲柄滑塊機(jī)構(gòu)和板簧的組合設(shè)計(jì)了一種小型跳躍機(jī)器人,跳躍水平距離達(dá)580 mm,約為其自身長(zhǎng)度的6.7倍,高度達(dá)180 mm[6],但該機(jī)器人運(yùn)動(dòng)形式單一,靈活性較差;哈爾濱工業(yè)大學(xué)研制了一種利用化學(xué)燃料燃燒進(jìn)行跳躍的機(jī)器人[7],該機(jī)器人有四個(gè)輪子,可進(jìn)行輪式移動(dòng),但其跳躍運(yùn)動(dòng)只能進(jìn)行一次,且在松軟路面上的能量利用率很低;北京郵電大學(xué)的張小飛[8]設(shè)計(jì)了一種可跳躍式兩輪機(jī)器人,該機(jī)器人可在輪式移動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行跳躍運(yùn)動(dòng),但由于底部質(zhì)量過(guò)大導(dǎo)致能量利用率較低。綜上所述,目前的跳躍機(jī)器人普遍存在儲(chǔ)能量較小的問(wèn)題,須通過(guò)優(yōu)化解決。本文通過(guò)對(duì)青蛙的仿生研究對(duì)文獻(xiàn)[1]中的變形輪式跳躍機(jī)器人的彈簧布置進(jìn)行了優(yōu)化,并利用動(dòng)力學(xué)分析和最優(yōu)化方法確定了變形輪機(jī)構(gòu)的尺寸,使機(jī)器人在整體尺寸不變的情況下有效提高了儲(chǔ)能量。

1 仿青蛙變形輪機(jī)構(gòu)

1.1 青蛙的仿生分析

青蛙的整個(gè)跳躍運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為準(zhǔn)備階段、起跳瞬間、騰空階段和著陸瞬間。整個(gè)跳躍過(guò)程中,前肢只起到調(diào)節(jié)方向、角度和落地緩沖的作用,主要由后肢的運(yùn)動(dòng)決定跳躍的高度和距離。為探究后肢關(guān)節(jié)對(duì)青蛙起跳的影響,在A(yíng)DAMS環(huán)境中進(jìn)行青蛙跳躍模型的仿真。以文獻(xiàn)[5]中的角度作為模型的輸入,輸出并記錄如圖1所示的各關(guān)節(jié)角速度曲線(xiàn)。

圖中踝、膝和髖關(guān)節(jié)的角速度變化曲線(xiàn)說(shuō)明,在起跳過(guò)程中各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)有先后順序,這有助于延長(zhǎng)加速時(shí)間和調(diào)整起跳方向。從數(shù)值的角度分析各關(guān)節(jié)角速度的最大值,膝關(guān)節(jié)角速度等于髖關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)角速度之和,且髖關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)角速度值的比為3∶2。

1.2 變形輪機(jī)構(gòu)

基于上述研究,本文提出了新的輪式跳躍機(jī)構(gòu),將后肢系統(tǒng)中的關(guān)節(jié)提取為轉(zhuǎn)動(dòng)副,骨骼提取為轉(zhuǎn)動(dòng)副之間的連桿,用彈簧代替肌肉,并與輪式結(jié)構(gòu)相結(jié)合進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到新的變形輪結(jié)構(gòu),如圖2所示[9]。

圖3 變形輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)原理

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)建模

為掌握變形輪在起跳過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),通過(guò)合理的設(shè)置,對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化并建立數(shù)學(xué)模型。假定所有桿都是不彎曲、不扭轉(zhuǎn)的剛體,且都只在一個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),足部與地面剛性接觸,不發(fā)生滑動(dòng),在起跳過(guò)程中忽略摩擦和空氣阻力。當(dāng)足部與地面之間的力為零時(shí),機(jī)器人離地起跳。簡(jiǎn)化的變形輪機(jī)構(gòu)模型如圖4所示[10-11]。

圖4 變形輪機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

圖4中的參數(shù)包括每根桿的長(zhǎng)度li,i=1,2,…,6,桿的質(zhì)心到參考位置的距離ci,桿的質(zhì)量mi,桿與水平方向的夾角θi,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji,每根彈簧的長(zhǎng)度si以及彈簧連接點(diǎn)到參考位置的距離(a、b、c、d、e、f)。令每根桿的質(zhì)心都在其幾何中心,則各參數(shù)滿(mǎn)足以下關(guān)系:

(1)

每根桿的位置可用桿與水平方向的夾角θi和長(zhǎng)度li進(jìn)行描述:

(2)

式中:xi、yi為桿質(zhì)心的坐標(biāo)。

該變形輪機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度,可以用θ3描述系統(tǒng)的狀態(tài),故選取θ3為廣義坐標(biāo),其他變量(θ1,θ2,θ4)可用廣義坐標(biāo)表示。

θ1=θ2,θ3=θ4

(3)

根據(jù)圖4中的矢量關(guān)系得到:

(4)

變形輪在起跳過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)可用拉格朗日方程描述:

L=T-P

(5)

(6)

式中:L為拉格朗日函數(shù);T為機(jī)器人總動(dòng)能,包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能;P為總勢(shì)能,由線(xiàn)彈簧的彈性勢(shì)能和機(jī)器人的重力勢(shì)能組成;Q1為等于零的廣義力;t為時(shí)間。

(7)

(8)

式中:g為重力加速度;k為彈簧的勁度系數(shù);Δs為彈簧的形變量。

最后通過(guò)計(jì)算變形輪質(zhì)心的垂直速度vy、垂直加速度ay和垂直地面反力Fy來(lái)表示變形輪在起跳過(guò)程的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):

(9)

(10)

(11)

當(dāng)變形輪離地起跳時(shí),ay=-g,Fy=0。

變形輪可以離地起跳的條件為在起跳過(guò)程中彈簧釋放的能量大于系統(tǒng)的重力勢(shì)能之差,即:

(12)

Δyi=yi(θ3,max)-yi(θ3,min)

(13)

式中:yi(θ3,max)、yi(θ3,min)分別表示角θ3為最大值和最小值時(shí)各桿質(zhì)心的高度。

若機(jī)器人在輪式移動(dòng)過(guò)程中進(jìn)行跳躍,且跳躍方向與地面存在夾角φ,則在離地后受重力作用以初速度v0做斜拋運(yùn)動(dòng),其質(zhì)心軌跡(xc,yc)為:

(14)

式中:v為機(jī)器人輪式移動(dòng)的速度。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

參數(shù)優(yōu)化的目的是在變形輪機(jī)構(gòu)整體尺寸不變的情況下,最大限度地提高系統(tǒng)的儲(chǔ)能量。首先建立目標(biāo)函數(shù),確定優(yōu)化變量,其次確定約束條件,最后進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。在機(jī)器人起跳前系統(tǒng)的最大儲(chǔ)能量E為:

(15)

式中:si0為變形輪機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)時(shí)彈簧的長(zhǎng)度,si和si0都是關(guān)于廣義坐標(biāo)θ3的函數(shù)。根據(jù)圖4中的幾何關(guān)系,儲(chǔ)能量E可以用變量l1、l3、l5、l6、a、b、c、d、e、f進(jìn)行描述,則將上述10個(gè)變量作為優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量。

由于彈簧兩端只在對(duì)應(yīng)的桿上連接,因此對(duì)彈簧連接點(diǎn)距參考點(diǎn)的距離做以下約束:

(16)

為保證機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)輪式移動(dòng),考慮原機(jī)構(gòu)整體尺寸,要求跳躍機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一狀態(tài)可以被半徑為R=60 mm的外接圓包裹,即所有桿的外接圓弧長(zhǎng)之和不大于2πR:

(17)

(18)

在對(duì)青蛙的仿生研究中發(fā)現(xiàn),延長(zhǎng)加速時(shí)間有利于其跳躍運(yùn)動(dòng),因此要求跳躍機(jī)構(gòu)在起跳過(guò)程中垂直高度具有一定的變化量,對(duì)跳躍機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)和極限狀態(tài)的垂直高度、水平距離做以下約束:

(19)

(20)

式中:θ3,inc為機(jī)構(gòu)初始狀態(tài)下桿3與水平方向的夾角。

考慮變形輪中彈簧的最短長(zhǎng)度,設(shè)彈簧最短可壓縮至20 mm,則:

(21)

為滿(mǎn)足機(jī)器人可以離地起跳的條件,添加約束:

(22)

上述約束為優(yōu)化模型的約束條件,利用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解,通過(guò)改變優(yōu)化變量來(lái)實(shí)現(xiàn)儲(chǔ)能E最大化。最優(yōu)參數(shù)為l1=d=e=e=67.9 mm,l3=b=c=70.8 mm,l5=l6=a=f=39.7 mm,其他參數(shù)θ3,inc=θ1,inc=89°,θ3,min=16.4°,θ1,min=0°。代入優(yōu)化后的參數(shù),得到E的最大值為30.97 J,比原機(jī)構(gòu)提高了5.1倍。

下文通過(guò)一組圖展示優(yōu)化變量的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。圖5所示為其他變量固定為最優(yōu)值時(shí)彈簧兩端連接點(diǎn)距參考點(diǎn)的距離對(duì)E的影響。

圖5 彈簧連接點(diǎn)變化對(duì)E的影響

由圖可以看出,在有限的范圍內(nèi)彈簧兩端在桿上的連接點(diǎn)距參考位置越遠(yuǎn),E越大,即參考距離與被參考桿長(zhǎng)相等時(shí),E達(dá)到最大值。因此,在滿(mǎn)足該條件下繪制圖6來(lái)說(shuō)明桿長(zhǎng)的變化對(duì)E的影響。

圖6 桿長(zhǎng)變化對(duì)E的影響

由圖5、6可以看出,當(dāng)所有變量均達(dá)到最優(yōu)值時(shí),E最大,證明了優(yōu)化結(jié)果的正確性。

在確保彈簧形變量不變的前提下對(duì)各變量的最優(yōu)值進(jìn)行簡(jiǎn)化并繪制變形輪機(jī)構(gòu)模型,如圖7所示。

圖7 優(yōu)化后變形輪機(jī)構(gòu)

4 仿真與實(shí)驗(yàn)

對(duì)優(yōu)化后的變形輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行跳躍運(yùn)動(dòng)仿真,質(zhì)心位置、質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及彈簧勁度系數(shù)均與優(yōu)化前相同。在起跳推離階段的仿真中得到了如圖8所示的變形輪質(zhì)心的速度變化曲線(xiàn)。

圖8 質(zhì)心速度變化曲線(xiàn)

變形輪從開(kāi)始釋放能量到離地起跳經(jīng)過(guò)約0.02 s,伸展行程為51.3 mm,比優(yōu)化前提高了65.5%,有效增加了起跳加速時(shí)間,理論起跳速度可達(dá)5.4 m/s,比優(yōu)化前提升了42.1%。以圖8的質(zhì)心起跳速度為輸入,通過(guò)式(14)輸出變形輪騰空階段質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖9所示。

圖9 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡

由圖可以看出,整個(gè)跳躍過(guò)程持續(xù)時(shí)間與起跳角度成正比,圖9(a)中垂直起跳持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng),約1 s,跳躍高度最高可達(dá)1.29 m,比優(yōu)化前提升了65%。圖9(b)、(c)、(d)分別為不同起跳角度下質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡,可以看出優(yōu)化后變形輪的跳躍性能得到了明顯提升。

為驗(yàn)證優(yōu)化后變形輪的實(shí)際跳躍性能,進(jìn)行了樣機(jī)跳躍實(shí)驗(yàn),樣機(jī)如圖10所示。

圖10 變形輪樣機(jī)

共進(jìn)行了7次實(shí)驗(yàn),均成功起跳。圖11是實(shí)驗(yàn)視頻的合成圖像,將變形輪開(kāi)始釋放能量的時(shí)刻設(shè)為零時(shí)刻,整個(gè)跳躍過(guò)程經(jīng)歷1 s。變形輪的平均跳躍高度為110 cm,比優(yōu)化前實(shí)際跳躍高度提高了50%,是其自身高度的11倍。理論起飛速度與跳躍高度分別為5.4 m/s和129 cm,樣機(jī)的實(shí)際速度和跳躍高度分別為4.7 m/s和110 cm,與仿真結(jié)果相近。

圖11 樣機(jī)垂直跳躍軌跡

實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的差異主要是由制造誤差和鉸接點(diǎn)之間的摩擦導(dǎo)致,空氣阻力所造成的能量損失可忽略不計(jì)。在起跳過(guò)程中,部分能量因?yàn)榭朔Σ炼D(zhuǎn)化為內(nèi)能,導(dǎo)致實(shí)際的伸展速度、起跳速度和跳躍高度小于仿真結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)中可以看出,樣機(jī)的實(shí)際跳躍性能比優(yōu)化前的實(shí)際跳躍性能有了較大提升,進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化方法和結(jié)果的有效性。

5 結(jié)論

儲(chǔ)能的增加提高了變形輪的跳躍性能。本文根據(jù)對(duì)青蛙的仿生分析提出一種新的變形輪機(jī)構(gòu),通過(guò)最優(yōu)化方法確定了變形輪機(jī)構(gòu)的尺寸,實(shí)現(xiàn)了高效儲(chǔ)能。優(yōu)化后的變形輪機(jī)構(gòu)最大儲(chǔ)能可達(dá)30.97 J,是原機(jī)構(gòu)的5.1倍。仿真結(jié)果表明:優(yōu)化后變形輪在起跳階段的加速行程得到了明顯提升,理論離地起跳速度可達(dá)5.4 m / s,提高了42.1%;理論跳躍高度可達(dá)129 cm,提高了65%。樣機(jī)實(shí)驗(yàn)中,實(shí)際起跳速度和跳躍高度分別為4.7 m/s和110 cm,分別提高了37%和50%。綜上所述,優(yōu)化后變形輪的儲(chǔ)能和跳躍性能得到了改善,驗(yàn)證了優(yōu)化方法和結(jié)果的可靠性。但是,該機(jī)構(gòu)仍存在能量損失的問(wèn)題,未來(lái)的研究將集中在如何減少能量損失和關(guān)節(jié)數(shù)量上。