基于梯度流固超晶格的寬頻透聲結(jié)構(gòu)設(shè)計

張利娟,張 賽,沈佳敏,顧 鑫

(江蘇大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

濾波降噪、隔聲減振與人們的現(xiàn)實生活緊密相聯(lián)[1-2]。聲子晶體是由密度和彈性常數(shù)不同的材料周期性排列形成的一種具有彈性波帶隙特征的復(fù)合結(jié)構(gòu)。在帶隙頻率范圍內(nèi)聲波的傳播被抑制,而在通帶范圍內(nèi)聲波能低損耗傳播。聲子晶體豐富的帶隙特性使其在隔聲器、濾波器以及聲二極管等聲波調(diào)控器件的設(shè)計方面具有良好應(yīng)用潛力。隨著研究的不斷深入,聲子晶體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出多樣化的形式,例如缺陷[3]、無序[4-5]、梯度[6]等。對聲子晶體各類聲效應(yīng)的研究也取得了一定的成果,例如聲能聚焦[7]、聲能局域[8]、聲吸收[9]等。

在有限周期的周期性聲子晶體結(jié)構(gòu)通帶范圍內(nèi)存在透射率的波動,此現(xiàn)象稱為吉布斯振蕩,每一個通帶范圍內(nèi)有N-1個透射峰[10]。吉布斯振蕩的存在使得基于聲子晶體的功能型聲學(xué)人工結(jié)構(gòu)的設(shè)計具有兩種思路:一是利用強(qiáng)波動產(chǎn)生禁帶,例如文獻(xiàn)[11]基于強(qiáng)化吉布斯振蕩的方法設(shè)計了亞波長隔聲結(jié)構(gòu);二是弱化波動以形成平坦的通帶。然而,在周期性聲子晶體結(jié)構(gòu)中通過各種方式來弱化振蕩并不能完全消除振蕩。目前,關(guān)于研究弱化吉布斯振蕩的文獻(xiàn)報道較少。

廣義的梯度折射率(Gradient-Index,GRIN)材料是指一類等效折射率隨空間位置連續(xù)變化的人工結(jié)構(gòu)或材料[12-15]。根據(jù)折射率與等效密度、彈性模量之間的關(guān)系,可以設(shè)計人工單元結(jié)構(gòu),使折射率按一定空間梯度分布,從而使所設(shè)計的結(jié)構(gòu)具有靈活調(diào)控聲波傳輸?shù)哪芰?。梯度型聲子晶體屬于GRIN材料,按其工作環(huán)境可以分為固-氣型、固-液型和固-固型梯度聲子晶體;按照維度可以分成一維、二維和三維梯度聲子晶體。近年來,梯度聲子晶體在聲阻抗匹配應(yīng)用方面取得了較大的研究進(jìn)展。文獻(xiàn)[16]將鋼柱構(gòu)成的二維聲子晶體嵌入水凝膠基體中,實現(xiàn)了壓電換能器和水的阻抗匹配,并通過水下超聲實驗驗證了該聲子晶體結(jié)構(gòu)的寬帶聲傳輸特性。

對于梯度型聲子晶體而言,大量研究都集中在二維梯度結(jié)構(gòu)方面,并據(jù)此設(shè)計出了各類功能型聲學(xué)器件,而一維梯度聲子晶體的研究相對較少,特別是在水下環(huán)境中的研究工作目前開展較少。一維流固聲子晶體通常又被稱為一維流固超晶格。文獻(xiàn)[17]對一維梯度流固超晶格進(jìn)行了研究,設(shè)計了一種能夠?qū)崿F(xiàn)水下聲能捕獲的可調(diào)聲學(xué)彩虹結(jié)構(gòu)。這種彩虹結(jié)構(gòu)本質(zhì)上是由晶格常數(shù)不同的周期性流固超晶格級聯(lián)而成,通過具有能禁帶差異的每一組周期性流固超晶格的耦合來實現(xiàn)禁帶的低頻移動和拓寬,在拓寬的禁帶頻率范圍內(nèi)捕獲聲能。

為了削弱有限周期的周期性流固超晶格通帶內(nèi)的吉布斯振蕩,本文引入結(jié)構(gòu)梯度,設(shè)計了占空比呈對稱線性分布的梯度流固超晶格結(jié)構(gòu)(GFSL)。本文以理論計算為主,以仿真計算為輔,對GFSL的寬頻透聲特性及其調(diào)控機(jī)理進(jìn)行了研究與分析。

1 透聲結(jié)構(gòu)模型

如圖1(a)所示為GFSL結(jié)構(gòu)示意圖。該結(jié)構(gòu)沿y軸方向和z軸方向無限延伸,其中z軸垂直于x-y平面,在圖中未畫出。黑色區(qū)域表示固體層,灰色區(qū)域表示流體層。結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為D,總周期數(shù)為N,dsj和dfj分別表示第j個周期單元的固體層厚度和流體層厚度,D=dsj+dfj。本文定義固體層厚度與晶格常數(shù)的比值為固體層占空比,簡稱占空比,記為υsj,如式(1)所示。

(a)

(b)圖1 梯度流固超晶格(a)結(jié)構(gòu)示意圖(b)占空比梯度分布圖Figure 1. Gradient fluid-solid superlattice(a)Structure schematic diagram (b)The filling fraction distribution function diagram

(1)

GFSL結(jié)構(gòu)的周期數(shù)N為奇數(shù),其中中間層為占空比最大的層,其余層的占空比依照梯度函數(shù)呈現(xiàn)對稱分布。各固體層的占空比由一次函數(shù)調(diào)制,如圖1(b)所示,占空比最小值為υ0,最大值為υm,則第j層的占空比υsj可以表示為

(2)

對應(yīng)的固體層厚度如式(3)所示。

dsj=υsj×D,j=1,2,3,…,N

(3)

2 理論與方法

2.1 傳遞矩陣方法

如圖1(a)中的箭頭所示,假設(shè)平面縱波以入射角θ和波矢k入射至GFSL結(jié)構(gòu),聲波在GFSL結(jié)構(gòu)中的傳輸可以用傳遞矩陣來描述。前期的研究工作已經(jīng)詳細(xì)描述了聲波在周期性流固超晶格結(jié)構(gòu)中傳播的聲勢傳遞矩陣[18-20],聲波在第j個周期單元傳播的傳遞矩陣Tj如下

(4)

該計算式中各變量定義如下所示。

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

對于周期數(shù)為N的周期性流固超晶格,各周期單元的參數(shù)完全一致,故每個單元的傳遞矩陣Tj相同,因此只需要利用一個周期單元的傳遞矩陣就可以表示聲勢通過整個結(jié)構(gòu)傳播的狀態(tài)變化?？偟膫鬟f矩陣如式(10)所示。

(10)

基于此傳遞矩陣,通過掃描聲波入射角度和頻率可以計算得到流固超晶格結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性。然而對于GFSL結(jié)構(gòu),當(dāng)j取不同值時Tj中的結(jié)構(gòu)參量存在差異,因此需要設(shè)置含有變量的周期傳遞矩陣,在主程序中掃描含梯度的固體層厚度參數(shù),順次調(diào)用周期傳遞矩陣得到總的傳遞矩陣T,進(jìn)而得到聲波通過整個GFSL結(jié)構(gòu)的透射率計算式。

(11)

2.2 聲傳輸特性的理論計算

固體層材料和流體層材料分別為有機(jī)玻璃和水。材料參數(shù)如下:有機(jī)玻璃的質(zhì)量密度ρs=1 180 kg·m-3,縱波聲速csL=2 700 m·s-1,橫波聲速csT=1 300 m·s-1,水的質(zhì)量密度ρf=1 000 kg·m-3,縱波聲速cf=1 500 m·s-1。結(jié)構(gòu)參數(shù)如下:晶格常數(shù)D=3 mm,固體層占空比最小值υ0=0.01,最大值υm=0.25,周期數(shù)N=13。

基于傳遞矩陣方法,利用MATLAB編寫聲透射率計算程序,計算得到的聲全向透射譜如圖2(a)所示,顏色條表示透射率的值。在此結(jié)構(gòu)中存在著明顯的Bragg禁帶與低頻禁帶,而在通帶范圍內(nèi)幾乎觀察不到吉布斯振蕩。基于此結(jié)果,本文進(jìn)一步計算了聲波垂直入射時的聲透射率,并以對應(yīng)的周期性流固超晶格結(jié)構(gòu)為參照,兩者的透射率如圖2(b)所示。從圖中可以看出,在周期結(jié)構(gòu)的透射率曲線中存在著較為強(qiáng)烈的吉布斯振蕩,而GFSL結(jié)構(gòu)通帶內(nèi)的透射率曲線較平坦且接近于1,這說明引入本文提出的結(jié)構(gòu)梯度分布能有效消除周期結(jié)構(gòu)通帶中存在的吉布斯振蕩現(xiàn)象,從而形成寬頻通帶。

圖2 GFSL結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性理論計算結(jié)果(a)透射譜 (b)聲波垂直入射時周期結(jié)構(gòu)與GFSL結(jié)構(gòu)的透射率Figure 2. Theoretical calculation results of sound transmission characteristics of GFSL structure(a)Transmission spectrum (b)Transmittance of periodic structure and GFSL structure when the sound wave is incident vertically

為了驗證GFSL結(jié)構(gòu)在大角度范圍內(nèi)仍具有良好的透聲效果,本文分別計算了10°、30°、50°、70°入射角下的聲透射率,如圖3所示。從圖3中可以看出,禁帶及低透射位置與圖2(a)中全向透射譜中所描述的位置相對應(yīng),隨著斜入射角度升高,第一Bragg通帶頻率范圍持續(xù)變寬(見灰色陰影部分),且透射率的值均近乎1。該結(jié)果說明本文提出的GFSL結(jié)構(gòu)在一定范圍的斜入射角度下也具有良好的寬頻透聲性能。

圖3 入射角為10°、30°、50°和70°時 GFSL 結(jié)構(gòu)的透射率Figure 3. Transmittance of GFSL structure at incident angles of 10°, 30°, 50°and 70°

3 結(jié)果與討論

3.1 不同梯度函數(shù)參量對寬頻透聲特性的影響

本文進(jìn)一步研究了不同梯度函數(shù)參量對GFSL結(jié)構(gòu)透聲特性的影響,分別討論了同一函數(shù)類型下的周期數(shù)N、極值υm和υ0的差值、函數(shù)非對稱分布以及不同梯度函數(shù)類型對GFSL結(jié)構(gòu)聲傳輸特性的影響。在每種討論情況下,聲波入射角度均設(shè)置為垂直入射。圖4是周期數(shù)N分別為7、3、19、41時GFSL結(jié)構(gòu)的聲透射率,其余結(jié)構(gòu)參數(shù)以及材料參數(shù)設(shè)置與章節(jié)2相同。陰影部分表示第1個通帶的范圍,可以看出隨著周期數(shù)N的增加,通帶范圍逐漸拓寬。周期數(shù)較少時,第1個通帶較平坦,但后兩個通帶內(nèi)仍出現(xiàn)不同程度的振蕩。隨著周期數(shù)的增加,振蕩逐漸減弱,通帶范圍逐漸拓寬?？紤]到周期數(shù)的增加會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體的尺寸變大,因此折中考慮結(jié)構(gòu)整體尺寸與通帶效果,在下文的分析中選取周期數(shù)N=19。

圖4 聲波垂直入射至周期數(shù)N=7,13,19,41時的GFSL結(jié)構(gòu)的透射率Figure 4. The transmittance of GFSL structure with the period number N is equal to 7, 13, 19 and 41 when the sound wave is incident vertically

由式(2)可知,定義一次函數(shù)的斜率|k|=2(υm-υ0)/(N-1),當(dāng)N一定時,斜率由υm和υ0共同確定。為研究斜率的變化對透聲特性的影響,以章節(jié)2.2中占空比極值差Δυ=υm-υ0=0.24為參照,定義斜率改變時新的極值差Δυ*與Δυ的比值為ζ=Δυ*/Δυ。利用控制變量法分別研究隨υm和υ0值的變化所引起的一次函數(shù)斜率發(fā)生變化時的聲透射率,如圖5所示。圖5中帶有下標(biāo)的ζ0表示υ0為不變量時受υm的變化所影響的比值狀態(tài),ζm的意義與之相同。圖5(a)為斜率受υm的變化影響時對應(yīng)的GFSL結(jié)構(gòu)的透射率,通過觀察可知低頻區(qū)內(nèi)第1個通帶的變化微小,但其對高頻區(qū)內(nèi)的通帶和禁帶影響較為顯著。υm的變化對透射率整體影響較小,υm的減小對拓寬通帶起到促進(jìn)作用。然而,當(dāng)υ0的值發(fā)生改變時,其對透射率曲線的影響顯著。如圖5(b)所示,當(dāng)ζm減小至0.63時,通帶內(nèi)出現(xiàn)了明顯的振蕩,而當(dāng)ζm的變化范圍較小時對透射譜幾乎不會產(chǎn)生影響。因此,為了保持結(jié)構(gòu)的寬頻透聲性能應(yīng)選擇較小的υ0值。

(a)

(b)圖5 梯度函數(shù)斜率變化時聲波垂直至GFSL結(jié)構(gòu)的透射率(a)最大值υm變化 (b)最小值υ0變化Figure 5. The transmittance of GFSL structure with gradient function slope change when the sound wave is incident vertically(a)Maximum υm change (b)Minimum υ0 change

本文使兩側(cè)固體層占空比呈不對稱分布,這種不對稱分布呈現(xiàn)出兩種形式:一是兩側(cè)固體層的層數(shù)相同但兩側(cè)固體層占空比的梯度變化量不同;二是兩側(cè)固體層占空比的梯度變化量相同但兩側(cè)的層數(shù)不同。利用控制變量法對其聲透射率進(jìn)行計算,結(jié)果如圖6所示。圖6(a)、圖6(b)和6(c)、圖6(d)分別對應(yīng)上述兩種情形。用圖中左下方的小插圖來表示對應(yīng)情形下的GFSL結(jié)構(gòu)層數(shù)及其占空比的分布。根據(jù)4幅圖可得,結(jié)構(gòu)的非對稱分布對低頻區(qū)的寬頻性能影響較小,僅在第1通帶末尾出現(xiàn)微小的振蕩,其對透射率的影響主要集中在高頻段。

(a)

(b)

(c)

(d)圖6 聲波垂直入射至GFSL結(jié)構(gòu)的透射率(a～b)兩側(cè)固體層的層數(shù)相同而占空比梯度變化量不同 (c～d)兩側(cè)固體層占空比梯度變化量相同而層數(shù)不同F(xiàn)igure 6. Transmittance of GFSL structure when the sound wave is incident vertically (a～b)The number of solid layers on both sides is the same, but the change of filling fraction gradient is different (c～d)The gradient change of filling fraction of solid layers on both sides is the same, but the number of layers is different

最后,本文研究了固體層占空比分布為其他函數(shù)類型時GFSL結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性,其余參數(shù)設(shè)置與章節(jié)2.2相同,僅梯度函數(shù)不相同。圖7是占空比呈開口向下的二次函數(shù)分布時GFSL結(jié)構(gòu)的透射譜。由圖7可知透射譜中各寬頻通帶與對稱線性分布時較為相似,故在此不作贅述。在這種梯度分布下,透射譜中還出現(xiàn)了低頻雙禁帶。

圖7 占空比二次函數(shù)梯度分布時GFSL結(jié)構(gòu)的透射譜Figure 7. Transmission spectrum of GFSL structure with filling fraction as quadratic function gradient distribution

3.2 有限元仿真驗證

基于Comsol仿真軟件的聲-固相互作用模塊,對GFSL結(jié)構(gòu)聲傳輸特性展開了進(jìn)一步研究。首先驗證了垂直入射情況下基于傳遞矩陣法的聲透射率理論與仿真計算結(jié)果的吻合性,如圖8所示。從圖8中可以看出,兩種方法計算得到的透射率曲線幾乎完全重合,僅在高頻區(qū)透射率變化較快的位置出現(xiàn)了一些偏差,這是由于仿真計算過程中對所建模的結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分的精度不足而導(dǎo)致的誤差。有限元方法不僅能夠驗證理論計算結(jié)果的正誤,還能夠直觀反映聲場信息,下文將利用有限元方法對GFSL的透聲性能進(jìn)行驗證。

圖8 聲波垂直入射至GFSL結(jié)構(gòu)的透射率理論與仿真結(jié)果Figure 8. Theoretical and simulation results of transmittance of GFSL structure when the sound wave is incident vertically

為了驗證GFSL結(jié)構(gòu)在聲波斜入射時的聲傳輸特性,本文分別計算了聲波以 10°、20°和30°的角度斜入射至結(jié)構(gòu)的聲壓場分布,如圖9所示。在圖9中,入射聲波為10 mm、頻率為410 kHz的高斯聲束,其中心位于120 mm×160 mm的矩形計算域左邊界下方20 mm處。結(jié)合圖2(a)聲全向透射譜中410 kHz頻率所對應(yīng)的通帶區(qū)域,可以推知GFSL結(jié)構(gòu)在大角度的范圍確實具有良好的透聲性能。

(a)

(b)

(c)圖9 斜入射角度下GFSL結(jié)構(gòu)的聲壓場(a)10° (b)20° (c)30°Figure 9. Sound pressure field of GFSL structure at oblique incidence angle(a)10° (b)20° (c)30°

上文從理論計算和有限元頻域仿真的角度驗證了GFSL結(jié)構(gòu)的寬頻帶透聲特性。基于上述結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)GFSL結(jié)構(gòu)不僅具有良好的通帶特性,同時還保持了禁帶特性,說明GFSL結(jié)構(gòu)可能還具備優(yōu)異的濾波性能。為驗證此結(jié)構(gòu)的濾波特性,利用有限元仿真軟件的瞬態(tài)模塊對其進(jìn)行研究。在3個連續(xù)周期的五峰波信號中添加干擾雜波,二者耦合成一個新的波形作為入射端輻射邊界的時間信號,如圖10(a)所示。其中,五峰波中心頻率f0=40 kHz,處于第一通帶頻率范圍內(nèi);干擾波是處于第二禁帶523.4～541.9 kHz范圍內(nèi)隨機(jī)振幅隨機(jī)頻率隨機(jī)相位的正弦波組合。顯然,耦合后的入射聲波波形較為雜亂。本文將計算時間設(shè)置為40/f0,時間步為25/f0,該連續(xù)周期的五峰波信號傳輸通過GFSL結(jié)構(gòu)后在輸出端的輸出波形,如圖10(b)所示。由輸出波形可知,信號通過結(jié)構(gòu)后其中的干擾成分得到了抑制,原始的五峰波波形得以保留。這表明通過GFSL結(jié)構(gòu)對聲波的調(diào)控有效減弱了原周期結(jié)構(gòu)中的吉布斯振蕩現(xiàn)象,并且具有良好的濾波性能。

(a)

(b)圖10 濾波性能測試(a)輸入信號 (b)輸出信號Figure 10. Filtering performance test(a)Input signal (b)Output signal

4 結(jié)束語

本文基于傳遞矩陣方法,對占空比呈對稱梯度分布的梯度流固超晶格結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性進(jìn)行了研究。結(jié)果表明,本文提出的梯度流固超晶格結(jié)構(gòu)能夠有效弱化周期性流固超晶格結(jié)構(gòu)通帶內(nèi)的吉布斯振蕩,在大角度范圍內(nèi)具有寬頻帶的透聲特性。在此基礎(chǔ)上,本文還研究了不同梯度函數(shù)參量及其變化對GFSL結(jié)構(gòu)寬帶透聲特性的影響,以實現(xiàn)對通帶的調(diào)控。此外,通過有限元方法從頻域和時域兩個角度驗證了GFSL 結(jié)構(gòu)的聲傳輸特性。當(dāng)入射聲波的頻率在通帶范圍內(nèi),聲能幾乎可以完全傳輸通過GFSL結(jié)構(gòu),這使其在高強(qiáng)度超聲波能量集中、聲學(xué)阻抗匹配及換能器封裝應(yīng)用中具有潛在的應(yīng)用價值。而當(dāng)頻率處于禁帶范圍內(nèi)時,GFSL結(jié)構(gòu)能夠阻隔聲波的傳播,這說明GFSL結(jié)構(gòu)也具有水下隔聲效應(yīng)。綜合其能禁帶特性可知,本文所提出的基于梯度流固超晶格的寬頻透聲結(jié)構(gòu)在水下濾波方面亦具有潛在的應(yīng)用前景。