空間方向關系表達與推理模型研究綜述

董星星，高繼勛，王曉桐，李 松

（1.河南理工大學 計算機科學與技術學院，河南 焦作 454000；2.中南大學 計算機學院，長沙 410083；3.哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院，哈爾濱 150080）

0 概述

空間方向關系是定性空間推理中的重要屬性，用于表示空間對象間的序關系，可廣泛應用于空間數(shù)據(jù)庫、模式識別、地理信息系統(tǒng)、防災減災、城市管網配置等諸多領域［1-3］，成為近年來研究的熱點?；诘貥说亩ㄐ詤⒄障担?］在空間對象間方向關系的描述上比基于坐標的地理信息系統(tǒng)（Geographic Information System，GIS）［5-6］更加貼近大眾的實際生活和日常需求，在自然語言中，空間關系表達途徑比GIS 更加豐富，但存在較大的歧義和不確定性［7］。目前，研究人員對于二維空間方向關系模型進行了大量的研究并取得了一定的研究成果，從單目標空間對象到群組目標空間對象，逐漸出現(xiàn)了錐形、雙十字、方向關系矩陣等模型，形成了比較完善的理論體系。然而，現(xiàn)實世界是三維立體空間，空間對象更加復雜，無法用二維空間方向關系模型表達。此外，空間對象存在人類認知、位置信息等不確定性，使得針對空間對象不確定性的研究顯得尤為重要。目前，關于不確定性空間方向關系表達與推理模型的研究工作大致分為兩類：一類是基于確定性方向關系模型的改進；另一類是利用模糊集、粗糙集等理論工具處理不確定性空間對象。隨著空間方向關系研究的不斷深入，迫切需要對復雜空間對象的空間方向關系描述進行研究。

本文從二維單目標對象、二維群組目標對象、三維空間對象、不確定性對象等方面闡述空間方向關系表達與推理模型的研究進展，并針對現(xiàn)有空間對象方向關系表達與推理模型進行比較分析，總結歸納各種模型的特性及適用范圍，指出當前空間方向關系模型存在的不足以及未來發(fā)展方向，為進一步的研究提供借鑒和參考。

1 二維空間對象方向關系表達與推理模型

近年來，二維空間對象方向關系模型日趨成熟和完善，廣泛應用于查詢和推理［8-9］任務。依據(jù)描述對象的不同，將二維方向關系模型分為單目標點對象方向關系模型、單目標區(qū)域對象方向關系模型和群組目標方向關系描述模型。

1.1 單目標點對象方向關系模型

單目標點對象方向關系模型將空間對象抽象為點，適用于小比例尺空間，具有代表性的點對象方向關系模型是錐形模型。

HAAR［10］提出了一種錐形模型，該模型以參考對象為中心對空間區(qū)域進行劃分，通過考查目標對象所在的方向區(qū)域來描述空間方向關系。錐形模型包括四方向、八方向等錐形模型，如圖1 所示，四方向和八方向錐形模型均以參考對象為中心，分別將空間區(qū)域細分為4 個和8 個方向區(qū)域，其中，W、S、N、E 是指射線上的方向區(qū)域，NE、SW、SE、NW 是指4 個象限的方向區(qū)域。

圖1 錐形模型Fig.1 Cone model

錐形模型在描述空間方向關系時將空間對象抽象為點，但在描述相距較近的空間對象時會出現(xiàn)差錯。如圖2（a）所示，四方向錐形模型描述的方向關系是目標對象b在參考對象a的北面，而實際所感知的方向關系是b在a的東北面。如圖2（b）所示，八方向錐形模型存在圖2（a）同樣的問題，與實際所感知的方向關系存在偏差。總體來看，錐形模型雖然簡單且易于理解，但偏離實際。

圖2 錐形模型的出錯情況Fig.2 Error situations of the cone model

FRANK［11］提出了基于投影的點對象方向關系模型，該模型將點代數(shù)引入到空間方向關系的形式化描述中，以參考對象a為中心，利用垂直和水平直線將空間區(qū)域劃分為8 個方向區(qū)域，并給出了基本方向關系合成推理表，如圖3 所示。

圖3 基于投影的點對象方向模型Fig.3 Projection-based direction model for point objects

FREKSA［12］和ZIMMERMANN［13］提出了雙十字模型，模型利用視點對象表示相對方向關系，空間區(qū)域的劃分更加細化，將整個空間區(qū)域細分為15 個方向區(qū)域，如圖4 所示，更加符合人們的認知習慣。

圖4 雙十字模型Fig.4 Double cross model

丹曉飛［14］基于錐形模型和投影模型提出了針對點對象的相對方向關系模型和相應的空間表達和推理規(guī)則，并以柵格形式表達基于該模型的空間方位關系。總體而言，在單目標點對象方向關系模型中，錐形模型簡單便捷、易于理解，基于投影的點對象方向關系模型描述精度更高，理論上比錐形模型更容易實現(xiàn)，雙十字方向關系模型更符合人們的認知習慣。

1.2 單目標區(qū)域對象方向關系模型

為了進一步滿足實際應用的需求，需要考慮空間對象自身特性帶來的影響，以符合人們的認知習慣［15］。目前，代表性的單目標區(qū)域對象方向關系模型主要包括基于投影的方向關系模型、基于方向關系矩陣模型的改進模型和Voronoi 圖模型。

1）基于投影的方向關系模型

PAPADIAS 等［16］提出了基于投影的最小外包矩形（Minimum Bounding Rectangle，MBR）模型，通過MBR 模型描述空間方向關系，整個空間區(qū)域被最小外包矩形細分為9 個方向區(qū)域，通過考查目標對象的位置表達目標對象與參考對象之間的方向關系，雖然MBR 模型考慮了空間對象自身特性帶來的影響，但忽略了空間對象的內部細節(jié)問題，使得表達和推理的精度有所降低。

GOYAL 等［17］提出了方向關系矩陣模型，如圖5所示。

圖5 方向關系矩陣模型Fig.5 Direction relation matrix model

該模型將空間區(qū)域劃分成9 個具有方向性的空間區(qū)域，通過計算目標對象a與參考對象b的9 個方向區(qū)域相交情況，構造一個方向關系矩陣來描述與定義目標對象和參考對象間的方向關系。方向關系矩陣包括粗略和精確方向關系矩陣，粗略方向關系矩陣以1 表示非空、0 表示空，主對象a相對于參考對象b的方向關系矩陣如式（1）所示。精確方向關系矩陣的元素值是空間對象所占面積比，如式（2）所示。該模型易于計算且可推理性強，是當前較為理想的方向關系模型。

總體而言，與錐形模型相比，基于投影的MBR模型考慮了參考對象自身形狀、大小等因素帶來的影響，可適應性強，易于應用推廣。其中方向關系矩陣模型是當前較為理想的二維區(qū)域對象形式化表達模型，易于應用推廣，具有兩大優(yōu)勢：一是消除在空間方向關系表達時利用近似點或基于坐標投影的方法帶來的大量不合理結果集的情況；二是不再使用任何過濾算法對結果進行過濾。

2）基于方向關系矩陣模型的改進模型

方向關系矩陣模型考慮了空間對象自身形狀和大小帶來的影響，能夠有效地描述空間方向關系，計算簡單且易于進行形式化推理，但該模型忽略了參考對象的內部細節(jié)問題，因此研究人員陸續(xù)提出了諸多針對方向關系矩陣模型的改進模型。

GOYAL 等［18］提出了深度方向關系矩陣模型，該模型利用9 位鄰域碼描述空間對象間的方向關系和相對應的方向邊界關系，適用于點、線、面等多種類型的空間對象。GOYAL 等［19］提出了一種基于方向關系矩陣模型的計算模型來計算空間區(qū)域對象方向關系的相似性，可用于基于視圖的檢索。為了更加細致地描述方向關系，曹菡等［20］基于方向關系矩陣模型提出了描述空間方向關系的多層多級處理方法，在點、線、面空間對象間建立了3 層模式結構用于描述方向關系，拓展了模型的適用范圍。

SKIADOPOULOS 等［21］證明了GOYAL 等提出的主方向關系復合理論是不完善的，從結果的一致性和存在性對其進行修正，給出較為嚴謹?shù)男问交x以及原子方向關系合成推理表，為后續(xù)的研究奠定了堅實的基礎。萬靜等［22］將方向關系矩陣模型拓展應用于點、線、面等多種類型的空間對象，提出了基于矩陣的方向關系表示與推理的方法，該方法可計算性及可推理性較強，為后續(xù)一致性檢驗和空間查詢奠定了基礎。

空間方向關系的相似性計算在空間數(shù)據(jù)的搜索［23-24］、查詢［25-26］、匹配［27］、質量檢測［28-29］等任務中發(fā)揮重要作用，但已有模型在凹邊形對象方向關系表達與推理方面存在不足，因此研究人員對此進行了研究并陸續(xù)提出了一些改進方法?？淀樀龋?0］基于凹邊形地標給出了主方向關系推理方法。李朋朋等［31］改進了方向關系相似性計算模型，得到了更準確的相似性計算結果，但該模型無法描述空間目標相互纏繞的情形。MAITI 等［32］為了挖掘不同實體集合中的行為模式，提出一種相似性度量以及一種行為模式計算方法，用于理解來自不同實體集的對象之間的交互，可以度量感興趣區(qū)域內對象之間的行為相似性，這種新定義的度量和挖掘方法可有助于數(shù)據(jù)的提取和分析。

宗琴等［33］基于方向關系矩陣模型和錐形模型提出復合表達模型，考慮了空間對象自身特性帶來的影響，但僅適用于空間對象的定性描述。王云閣等［34］給出基于改進TDD 模型的空間場景相似性度量方法，適用于多個相同實體數(shù)目的相似性計算，但該方法僅考慮了空間關系相似性，準確率不高。為了進一步提高相似性度量結果的精度，龔希等［35］提出了方向關系二元組模型，能夠區(qū)分同一方向區(qū)域內的方向關系，該模型的計算方法簡便、度量結果更準確，適用于制圖結果評估等任務。

針對傳統(tǒng)方向關系矩陣（Direction Relation Matrix，DRM）模型對目標物體的位置特征不敏感的問題，CHENG 等［36］提出一種考慮目標物體位置特征的DRM 模型，該模型基于空間認知給出考慮目標方向場的概念，建立方向場的概率密度函數(shù)，采用目標物體所在區(qū)域的累積概率代替常規(guī)DRM 模型中的區(qū)域，并給出累積概率計算方法，該方法得到的結果更加符合人類的直觀經驗，描述方向準確，在一定程度上緩解了傳統(tǒng)DRM 模型對位置特征不敏感的問題?？傮w而言，針對方向關系矩陣模型的改進模型解決了方向關系矩陣模型靈活性不高、忽略參考對象內部細節(jié)等問題，能夠區(qū)分同一方向區(qū)域內的方向關系，提高了描述精度。

3）Voronoi 圖模型

Voronoi 圖作為計算幾何的重要分支，具有很強的實用性，是解決相關幾何問題強有力的工具，在空間方向關系領域發(fā)揮極其重要的作用［37］。依據(jù)空間對象集合中元素的最近屬性將空間區(qū)域分為多個具有方向性的區(qū)域，即Voronoi 區(qū)域，空間生成對象與Voronoi 區(qū)域相對應，從而描述空間對象間的方向關系。生成對象可以是點、線段、曲線、多邊形等。當生成對象為點時，所對應的Voronoi 圖如圖6 所示，其中，圖形中的點稱為基點，基點所在區(qū)域稱為Voronoi 區(qū)域。

圖6 點集目標的Voronoi 區(qū)域與Voronoi 圖Fig.6 Voronoi region and Voronoi diagram of point set target

多邊形的Voronoi 圖主要分為簡單多邊形和一般多邊形。簡單多邊形是指由一條簡單、封閉的曲線圍成的平面區(qū)域，僅有一個邊界；一般多邊形是指由多條簡單、封閉、不相交的曲線圍成的平面區(qū)域，有多個邊界，如圖7 所示，其中P1，P2，…，P10表示空間對象的特征點。

圖7 多邊形及其Voronoi 圖Fig.7 Polygon and its Voronoi diagram

由于Voronoi 圖具有很多優(yōu)良特性，例如最近鄰特性、局域動態(tài)性與Delaunay 三角對偶等，使得其在地質、測繪、氣象、生態(tài)學、計算機科學等諸多領域都有比較深入的應用［38］。閆浩文等［39］提出了一種基于Voronoi 圖的空間方向關系形式化描述模型，即單目標Voronoi 圖模型，參考對象a和目標對象b的方向關系Voronoi 圖為線段L1L2，如圖8 所示，該模型克服了MBR 模型將空間方向關系單一化的缺陷。

圖8 Voronoi 圖模型Fig.8 Voronoi diagram model

現(xiàn)有的方向關系模型雖然各有優(yōu)缺點，但均無法滿足一個優(yōu)秀模型的5 個評價標準，即正確性、完整性、效率、量化和定性［40］。為此，需要整合現(xiàn)有模型的優(yōu)勢構建新模型，新模型不僅改進了方向區(qū)域劃分方法，而且融入方向關系矩陣模型和Voronoi 圖中計算和描述方向關系的思想，可以定性和定量地表示方向關系，實驗結果表明，新模型可以計算二維空間中任意物體間的方向關系?？傮w而言，與其他模型相比，Voronoi 圖模型既顧及了空間對象間的大小、形狀和距離等影響的因素，又可以獲得較為精確的計算結果，適用于多種情況下的空間方向關系，在廣泛性、正確性、唯一性、普遍性方面均有優(yōu)勢，但模型計算復雜且不易于進行形式化推理。

1.3 群組目標空間方向關系描述模型

在地理信息系統(tǒng)與實際生活中，研究對象除了單目標空間對象外，還存在形狀相似、距離相近的群組目標對象。目前，空間方向關系表達與推理模型的研究主要集中在單目標空間對象，其研究成果相對成熟，但群組目標空間方向關系描述模型的研究相對滯后?，F(xiàn)有模型主要分為3 類：1）借助凸殼對群組目標空間方向關系進行描述；2）通過方向Voronoi 圖計算群組目標間的方向關系；3）借助Delaunay 三角剖分［41］、“剝皮”算法［42］、數(shù)學形態(tài)學［43］等理論描述群組目標對象。張立峰［44］提出了凸殼模型，該模型針對點群目標對象進行分類討論，借助源目標群的凸殼，描述參考對象a與目標對象b間的方向關系，如圖9 所示，但該模型將群組目標抽象為單目標對象，未考慮群組對象空間形態(tài)的影響，在出現(xiàn)包羅等情況時結果會存在偏差。

圖9 凸殼模型Fig.9 Convex hull model

王中輝等［45］在單目標Voronoi 圖模型的基礎上進行改進，對源目標群和參考目標群的所有子目標進行Delaunay 三角剖分，構建目標群之間的可視區(qū)域，基于上述操作構建方向Voronoi 圖模型，該模型適用于多種復雜情況下群組目標間方向關系的描述。

群組對象間的空間方向關系在自動地圖概括和空間分析中具有重要作用，為了直觀定量地表達群組對象間的方向關系，祿小敏等［46］基于群組目標自身空間形態(tài)及其方向關系，提出了定性描述與定量計算模型，該模型考慮了空間形態(tài)的差異，對于包羅、纏繞等情況該模型同樣適用。陳超等［47］提出了基于Voronoi 圖的群組目標方向關系模型，定量表達群組目標對象間的方向關系，該模型利用矩陣描述其方向關系，較好地考慮了群組目標自身形狀、大小、距離、拓撲關系等因素帶來的影響。但由于上述模型無法描述各種空間方向關系，因此王玉竹等［48］提出一種改進的群組目標空間方向關系計算模型。總體而言，目前關于群組目標空間方向關系描述的研究成果相對較少，還處于起步階段，無法很好地考慮諸多因素對于群組目標空間方向關系的影響，并未實現(xiàn)群組目標方向關系的精準表達。

1.4 二維方向關系模型分析

在二維空間方向關系模型中，錐形模型將空間對象抽象為點，其簡單便捷、易于理解，但忽略了空間對象自身形狀、大小等因素帶來的影響，表達精度不高，有時結果會出現(xiàn)偏差，適用于描述相距較遠的空間對象。MBR 模型在一定程度上顧及了空間自身形狀、大小等因素帶來的影響，但利用空間對象的最小外包矩形近似地替代空間對象本身，在一定程度上降低了表達和推理的精度，適合于描述相距較近的空間對象。方向關系矩陣模型計算簡單且易于進行形式化推理，但忽略了距離等因素。Voronoi 圖模型克服了空間對象間自身形狀、大小、距離等因素的影響，在廣泛性、正確性、唯一性、普遍性方面均有優(yōu)勢，但計算復雜。凸殼模型適合于群組目標間方向關系比較精準的描述，但忽略了群組目標對象自身特性帶來的影響。雖然當前二維空間方向關系表達與推理模型已相對成熟，但描述精度仍有待進一步提高。因此，方向、距離、拓撲等多種空間關系的聯(lián)合表達是未來研究的重點，可增強對空間對象的約束，獲得更為精準的空間信息。

此外，基于二維空間對象方向關系表達模型已有一些推理工作，但并沒有實現(xiàn)真正意義上的自動推理，仍依賴于繁瑣的手工推理或推理運算表，尤其是二維空間基本方位關系數(shù)目繁多，工作量巨大，若依靠手工推理，根本無法滿足實際應用需求，必須大力發(fā)展空間方向關系的自動推理技術，提高空間對象間方向關系的智能預測，增強模型的自動推理能力。二維空間對象方向關系表達與推理模型比較如表1 所示。

表1 二維空間對象方向關系表達與推理模型比較 Table 1 Comparison of representation and reasoning models of two-dimensional spatial object directional relations

2 三維空間對象方向關系表達與推理模型

空間方向關系表達與推理模型是定性空間推理分析和處理的前提［49］。隨著空間方向關系應用的不斷深入，城市建筑設計［50］、機器人學［51］、圖像處理［52］等領域均有所涉及，二維空間方向關系模型已無法滿足現(xiàn)實需求，因此迫切需要對三維空間對象方向關系表達與推理模型進行研究。

2.1 空間方向關系表達與推理模型

PACHECO 等［53］將二維方向關系模型中的雙十字模型擴展到三維空間，即雙十字三維擴展模型，該模型將三維空間區(qū)域細分為75 個方向區(qū)域，但該模型忽略了空間對象的內部細節(jié)問題，描述精度不高。劉新等［54］提出了基于投影的三維空間方向關系描述模型，將空間區(qū)域細分為6 個劃分平面、27 個方向區(qū)域，當Z=0 時轉化為二維空間中的方向關系模型，雖然該模型實現(xiàn)了方向關系和距離關系的結合，但忽略了空間對象的自身形狀，計算過程較為繁瑣，難以應用于實際。

王淼等［55］提出了一種三維空間方向關系定性表達與推理模型，即3DR27 模型，如圖10 所示，將三維空間劃分為27 個方向區(qū)域，分別為上方西北（UNWa）、上方北（UNa）、上方東北（UNEa）、上方西（UWa）、上方正中（UBa）、上方東（UEa）、上方西南（USWa）、上方南（USa）、上方東南（USEa）、中間西北（RNWa）、中間北（RNa）、中間東北（RNEa）、中間西（RWa）、中間正中（RBa）、中間東（REa）、中間西南（RSWa）、中間南（RSa）、中間東南（RSEa）、下方西北（DNWa）、下方北（DNa）、下方東北（DNEa）、下方西（DWa）、下方正中（DBa）、下方東（DEa）、下方西南（DSWa）、下方南（DSa）、下方東南（DSEa）。該模型借助3×9 矩陣描述參考對象a與目標對象b之間的方向關系，通過判定目標對象與27 個空間區(qū)域的相交情況來描述參考對象與目標對象之間的空間方向關系，并在此基礎上給出合成推理算法，提高模型推理能力，但3DR27 模型未考慮空間對象自身特性帶來的影響，同樣忽略了空間對象的內部細節(jié)問題，模型表達精度有待進一步提高。張麗平等［56］基于3DR27模型研究了三維空間對象方位關系的動態(tài)鄰接關系和處理方法，構建了雙向映射模型。

圖10 3DR27 模型Fig.10 3DR27 model

為了增強三維空間方向關系表達與推理模型對三維空間方向關系的分析與處理能力，王淼等［57］給出了3DR27 模型下三維基本主方向關系的反關系推理算法，進一步增強了其推理能力。雖然3DR27 模型能夠描述三維空間對象間的方向關系，但在描述較為復雜的空間對象時精度不高。為此，顧衛(wèi)杰等［58］提出了一種方向關系與拓撲關系相結合的雙投影內分矩陣模型，通過邊界、內部、外部3 種方向關系聯(lián)合表達空間方向關系，利用內部矩形體對參考物體劃分方向片，更加精確地描述了空間對象間的方向關系，豐富了三維空間方向關系的理論體系。趙碩等［59］提出了3DR39 模型，該模型是在3DR27 模型的基礎上將三維空間區(qū)域細分為39 個方向區(qū)域，但3DR39 方向關系模型未能描述具有距離關系的復雜空間方位關系。為此，結合3DR39 模型和定性距離關系，郝曉紅等［60］提出了一種空間方位關系模型，即3DR39-3d 模型，該模型能夠描述方向關系和距離關系2 種屬性，共包括2 115 種方位關系，彌補了3DR39 模型的不足，提高了三維方位關系的表達精度。為了進一步提高模型表達精度，眾多學者進行了一系列改進。齊新軍等［61］提出了3DR34 關系模型，該模型將三維空間參考對象的近似最小外包盒進一步劃分為8 個內部封閉的方向空間，更好地刻畫了內部細節(jié)，但3DR34 模型在細微的復雜方向關系的表示與區(qū)分上無能為力，具有很大的不足。為此，李占宣等［62］提出了增強型3DR34 關系模型，增加了12 個新的半開放方向區(qū)域，能夠較好地表示與區(qū)分復雜的細節(jié)方向關系。

郝曉紅等［63］將參照對象的最小包圍盒細分為6 個方向區(qū)域，提出了3DR44 方向關系表達模型。為了獲得更加精確的空間信息，郝曉紅等［64］在3DR44 模型中引入了距離關系，提出了3DR44-4d方位關系模型，該模型將三維空間細分為158 個方向空間塊，可以描述2 158 種復雜的空間方位關系。雖然3DR44 模型可以區(qū)分大量的三維空間關系，但該模型空間區(qū)域的大小與參考對象的大小相關，如果參考對象較小，則其他空間區(qū)域就非常大，給確定方向關系帶來了很大困難。為此，趙澤茹［65］在3DR44 模型的基礎上進行改進，提出了3DR50 方向關系模型，為適應參考對象大小變化增加了12 個方向區(qū)域，擺脫了已有模型對參考對象大小的依賴。

上述模型在區(qū)分大量復雜的三維方向關系時存在局限性，為了更加精細化地描述復雜三維空間對象方向關系，郝曉紅等［66］提出了一種新的三維空間方向關系模型，即3DR46 模型，該模型可以區(qū)分246 種方向關系，對于復雜三維空間方向關系進行降維處理。

有向點關系代數(shù)（Oriented Point Relation Algebra，OPRA）方向關系推理在地理信息系統(tǒng)、機器人導航、空間數(shù)據(jù)庫等領域均具有廣泛應用。將OPRA 擴展到三維空間的模型是3DOPRA 模型［67］，但該模型僅限于復合推理，只能解決3個空間對象的靜態(tài)關系推理問題。為此，王生生等［68］基于約束傳播和概念領域理論給出了OPRA 方向關系網絡時空推理算法，解決了n個空間對象、多時刻的推理問題。

總體而言，由于三維空間方向關系的復雜度較高，在空間方向關系的表達和推理方面存在較大的困難。三維空間方向關系領域雖已取得了一些研究成果，但尚未形成完善的理論體系，仍需進一步進行探索。

2.2 三維方向關系模型分析

三維空間對象方向關系表達與推理模型比較如表2 所示。

表2 三維空間對象方向關系表達與推理模型比較 Table 2 Comparison of representation and reasoning models of three-dimensional spatial object directional relations

目前，三維空間方向關系表達與推理模型的研究成果相對較少且形式單一，尚未形成較為完善的理論體系。文獻［53］將研究對象擴展到三維空間，提出了雙十字三維擴展模型，該模型將參考對象抽象為點，三維空間被劃分為75 個方向區(qū)域，適用于比較簡單的空間對象，其忽略了空間對象的內部細節(jié)，描述精度不高。3DR27 模型將空間區(qū)域劃分為27 個部分，實現(xiàn)了方向關系更精確的劃分，使空間方向關系的描述更加簡單，但該模型忽略了參考對象的內部細節(jié)，研究人員為解決該問題及提高模型表達精度進行了一系列的改進。3DR39 模型是在3DR27 模型的基礎上增加了若干個方向區(qū)域，但描述精度仍有待進一步提高，為此，研究人員陸續(xù)提出了雙投影內分矩陣模型、3DR34 模型、增強型3DR34關系模型、3DR44 模型、3DR46 模型、3DR50 模型等，這些模型在本質上對空間做了進一步細分。

雖然對空間區(qū)域的劃分逐漸細化，但空間推理過程十分繁瑣，且依賴合成表進行手工推理，模型推理能力亟待提高，因此迫切需要發(fā)展三維空間自動推理算法，增強模型的自動推理能力。目前，空間方向關系的研究大多集中在二維空間，三維空間相對滯后，尤其是三維不確定性空間對象方向關系模型的研究幾乎空白，未來的研究應致力于發(fā)展三維空間的不確定性，尋求適用性強、易于推廣的不確定性對象方向關系模型。

3 不確定性對象方向關系表達與推理模型

地理信息系統(tǒng)所描述的空間關系與人們所感知的真實對象間空間關系存在差異，即空間對象的不確定性［69］?？臻g關系的許多實際應用都存在不確定邊界的空間對象，例如海洋、森林、沙漠、動物棲息地等空間對象，確定性對象方向關系表達模型無法描述不確定性邊界，因此關于不確定性對象方向關系表達模型的研究受到了人們的廣泛關注?，F(xiàn)有研究工作大致分為兩類：一類是確定性對象方向關系模型的擴展研究；另一類是基于不確定性集合理論［70］的方向關系表達與推理模型。

3.1 確定性對象方向關系模型的擴展

COHN 等［71］基于成對區(qū)域模型給出了一種不確定區(qū)域的拓撲關系分析方法，即蛋黃模型，蛋是可能屬于該區(qū)域的范圍，黃是明確屬于該區(qū)域的范圍，蛋白是它們之間的差，分別對應區(qū)域的確定部分、區(qū)域整體和區(qū)域的不確定部分，該模型要求黃必須是蛋的一部分，無法將分明區(qū)域看作是不確定區(qū)域的特例統(tǒng)一描述。

COHN 等［71］提出的蛋黃模型是基于RCC5 關系的，要求黃必須是蛋的一部分，無法將分明區(qū)域看作是不確定區(qū)域的特例，但在現(xiàn)實生活中，人們習慣利用類似分明區(qū)域的方式描述不確定區(qū)域間的空間關系，為此，虞強源等［72］提出了一種基于三元組謂詞的擴展蛋黃模型，將分明區(qū)域看作是不確定區(qū)域的一個特例，3 個謂詞的取值更符合人們的認知習慣。在上述研究中，空間方向區(qū)域的劃分是精確的，特別是在相鄰方向區(qū)域的劃分上會設計一個跳躍，利用誤差理論處理位置不確定問題，但該方法計算量大，可操作性不強，為此蔡劍紅等［73］基于錐形模型引入了擴展不確定度的概念，在相鄰方向區(qū)域的劃分上設計一個平滑的過渡區(qū)，該方法簡單便捷、可操作性強。

為了解決上述不確定性模型存在的方向關系數(shù)目繁多、方向區(qū)域劃分不符合人們的認知習慣等問題，陳娟等［74］提出了不確定性區(qū)域間定性方向關系模型，以錐形主方向關系為基礎，利用由內、外分明區(qū)域間方向關系構成的四元組表示寬邊界區(qū)域間的方向關系，四元組內部元素之間相互約束，如圖11所示，其中，寬邊界 區(qū)域為a=，b=，a與b間的方向關系為｛N，N，N∶E，N∶E｝，該模型減少了方向關系的數(shù)目，與人們的認知更加接近。

圖11 寬邊界區(qū)域間的方向關系圖例Fig.11 Legend of the direction relation between wide border regions

在實際生活中，空間區(qū)域往往具有不確定性，但現(xiàn)有建模方法多數(shù)適用于確定區(qū)域，為此，董軼群等［75］基于MBR 的空間方向關系的建模方法，利用寬邊界表示不確定邊界和矩形代數(shù)的良好性質，給出相容性復合的定義，實現(xiàn)不確定區(qū)域間方向關系的表達與推理。孫偉等［76］基于擴展的方向關系矩陣（Extended Direction Relation Matrix，EDRM）模型，給出了EDRM 相似性度量方法，利用2 個EDRM 進行相互轉化，并證明了新的相似性度量方法的正確性，適用于邊界不確定區(qū)域間的相似性度量。XIANG［77］提出一種將錐型模型與方向關系矩陣模型相結合確定空間實體間模糊方向關系的建模方法，充分利用了這2 種模型的優(yōu)點，將其應用于環(huán)境保護GIS 中，有助于提高判斷污染源方向的效率和環(huán)境保護水平。

總體而言，上述模型是在確定性對象方向關系模型的基礎上進行擴展的，易于理解，延伸了確定性方向關系模型的適用范圍，但不能統(tǒng)一表示各種來源的模糊對象，無法捕獲其固有的不精確性和模糊性。

3.2 基于不確定性集合理論的方向關系表達與推理模型

為了解決現(xiàn)有空間方向關系模型無法捕獲其模糊性和不確定性的問題，杜世宏等［78］將粗糙集理論引入空間方向關系的描述中，提出了方向關系粗糙集表達方法，將空間對象的描述分為模糊對象與模糊對象間的方向關系、模糊對象與精確對象間的方向關系、精確對象與模糊對象間的方向關系、精確對象與精確對象間的方向關系等4 種，如圖12 所示。基于不確定性集合理論的方向關系表達與推理模型提高了對空間對象不確定性和模糊性的分析處理能力，統(tǒng)一描述空間對象間的方向關系。

圖12 模糊對象間的方向關系Fig.12 Direction relations between fuzzy objects

杜世宏等［79］將模糊集理論引入空間方向關系的描述中，提出方向關系模糊集表達方法，分析空間模糊描述方法的正確性和適用性，與現(xiàn)實生活中人們的認知習慣保持一致，廣泛應用于方向關系模糊相似性計算、方向關系模糊匹配和方向關系模糊推理，為空間關系的模糊檢索和推理奠定了基礎［80-81］。

在實際應用中，除了上述模型所研究的模糊區(qū)域外，還存在含洞的不規(guī)則模糊區(qū)域，為此，李松等［82］基 于Vague集和Rough 集對多 范疇的Vague 區(qū)域關系進行研究，將不確定區(qū)域關系和時間關系相結合，提出了基于Vague 集的線性Vague 時間段關系模型和周期性雙向疊合Vague 時間段關系模型。為描述高山、峽谷、海峽等高階模糊地理實體之間的方向關系，郭繼發(fā)［83］提出了方向關系表達與分析模型，利用方向場表示方向隸屬度，通過分區(qū)方向場來取代原始方向場，該模型適用于高階模糊空間對象。陳迪等［84］針對空間方向關系不確定性的特點和已有的方向關系表達模型的局限性，利用模糊集理論分析方向隸屬函數(shù)的基本特征，建立了基于非線性隸屬函數(shù)的八方向模糊參考框架，從空間不確定性的角度提出了空間目標的自適應采樣粒度模型。

關勝況等［85］基于粗集理論研究了面與面方向關系的定性表示，提出了基于粗集的方向關系模型，該模型更加符合人們的表達和認知習慣。董軼群等［86］基于寬邊界模型和基本主方向關系模型，定義不確定區(qū)域間的方向關系約束與約束滿足問題，利用路徑相容方法提出了一種不確定區(qū)域間方向關系的相容性檢測算法，分析了算法的推理復雜性，提出了不確定區(qū)域間的方向關系推理模型。毛政元等［87］在滿足與不確定點觀測位置對應的實際位置在誤差圓內服從完全空間隨機分布的前提下，推導出二維空間中確定點與不確定點間以及2 個不確定點間距離不確定性的概率分布函數(shù)和對應的概率密度函數(shù)，總結了確定點與不確定點間以及2 個不確定點間的距離不確定性所遵循的規(guī)律。

總體而言，對于不確定性方向關系，粗糙集和模糊集是目前應用較為廣泛的理論方法，可以通過使用隸屬度來表示不確定程度，在描述上與現(xiàn)實生活中人們的認知更加接近，但隸屬度函數(shù)比較難以確定，且計算量大。

3.3 不確定性方向關系模型分析

不確定性空間對象的研究起步較晚，相對滯后，已有的研究成果大致分為確定性對象方向關系模型的擴展和基于不確定性集合理論的方向關系表達與推理模型兩類。前者的代表模型包括蛋黃模型、定性方向關系模型、EDRM 模型等，其中：蛋黃模型引入了不確定區(qū)域間拓撲關系的分析，更符合人們的認知習慣；定性方向關系模型以錐形主方向關系為基礎，利用由內、外分明區(qū)域間方向關系構成的四元組表示寬邊界區(qū)域間的方向關系；EDRM 模型是在方向關系矩陣模型的基礎上引入了相似性計算方法，度量邊界不確定區(qū)域間的相似性。后者的代表模型包括粗糙集模型、模糊集模型等，粗糙集和模糊集是目前應用比較廣泛的理論方法。

由于空間方向關系的不確定性是由多種原因導致的，例如人們認知的不確定性、空間數(shù)據(jù)的不確定性、空間方向關系分析的不確定性等，因此這些模型對于不確定性的處理有很大的差別。確定性對象方向關系模型的擴展模型描述簡單且易于理解，延伸了確定性方向關系模型的適用范圍，但無法統(tǒng)一表示各種來源的模糊對象。在基于不確定性集合理論的方向關系表達與推理模型中，粗糙集和模糊集是目前應用比較廣泛的理論方法，而利用隸屬度來表示不確定程度，在描述上與現(xiàn)實生活中人們的認知更加接近，但隸屬度函數(shù)比較難以確定，且計算量大。

不確定性方向關系的形式化描述是一個復雜的領域，需符合人們在現(xiàn)實生活中對空間方向的認知習慣，未來應尋求統(tǒng)一描述精確對象和各種來源的模糊對象的模型，以提高對復雜空間對象的分析與處理能力，另外還需對不確定性對象間多種空間關系的聯(lián)合表達進行研究，進一步提高模型對復雜空間對象的描述能力。不確定性對象方向關系表達與推理模型對比如表3 所示。

表3 不確定性對象方向關系表達與推理模型對比 Table 3 Comparison of representation and reasoning models of uncertain objects directional relations

4 總結與展望

目前，空間方向關系表達與推理模型的研究主要圍繞二維單目標對象、二維群組目標對象、三維空間對象和不確定性空間對象展開。對于二維空間對象間方向關系模型的研究日趨完善，依據(jù)描述對象的不同可以細分為單目標和群組目標空間方向關系模型。錐形模型描述精度不高，將參考對象抽象為點，忽略了參考對象內部細節(jié)問題。方向關系矩陣模型較好地考慮到了空間對象自身的形狀和大小，但是忽略了距離帶來的影響。Voronoi 圖模型彌補了上述模型的不足，克服了空間對象的形狀、大小、距離等因素的影響。方向關系二元組模型描述更為精確，方法簡便，適用于制圖、結果評估等領域。群組目標Voronoi 圖模型適用于各種復雜的情況下群組目標間方向關系的精準描述，但計算過程繁瑣，由于目前對于群組目標空間方向關系的研究較為有限，因此無法很好地考慮諸多因素對于群組目標空間方向關系的影響?？偠灾?，二維空間方向關系模型相對成熟，模型的自動推理能力有待提高，其中一致性檢驗問題仍依賴于傳統(tǒng)路徑一致性算法，一些基礎理論問題尚未取得突破，此外方向關系與距離和拓撲關系的結合研究相對較少，有待進一步研究。

雖然在實際生活中的很多問題依賴于人們對于三維空間的感知，但由于三維空間的特殊性和復雜性，三維空間方向關系模型的研究相對滯后，尚未形成完善的理論體系，仍以基于投影的模型為主，形式比較單一，諸多模型本質上是對參考對象進一步細分的，但內部細節(jié)考慮還不夠完善，且模型的自動推理能力十分薄弱，仍依賴于繁瑣的手工推理或推理運算表，模型推理能力亟待提高。

近年來，不確定性對象間的方向關系模型逐漸成為新的研究熱點和難點，現(xiàn)有工作主要包括基于確定性對象方向關系模型的擴展和基于不確定性集合理論的處理方法。隨著不確定性方向關系應用的不斷深入，僅研究空間對象的不確定性已無法滿足實際需求，必須考慮參考框架的不確定性，使得不確定性模型更符合實際生活中人們的認知習慣，但不確定性方向關系的表達是一個十分復雜的問題，如何有效地描述復雜空間對象的不確定性是當前迫切需要解決的問題。此外，對于模糊方向關系的推理能力還很欠缺，特別是對三維模糊空間方向關系推理，由于三維空間固有的復雜性及對模糊數(shù)據(jù)處理本身具有一定的難度，使得三維模糊對象方向關系的復合、反關系推理和主方向關系一致性檢驗等問題異常困難。

關于空間方向關系未來的研究方向主要包括以下5 個方面：

1）在二維空間中，諸多空間方向關系表達與推理模型相繼被提出，然而這些模型大都利用點、最小外包矩形等近似地代替空間對象本身，距離真實物體間空間方向關系的表達與推理仍有一定的差距，這在一定程度上降低了模型表達和推理的精度。未來應建立易于計算和進行形式化推理的非連通區(qū)域、群組等二維復雜空間對象的表達模型，提高對二維復雜空間對象方向關系的建模與分析能力。

2）由于三維空間固有的復雜性，以及對不確定性數(shù)據(jù)處理本身具有一定的難度，使得三維不確定性方向關系的表達與推理是一個極其困難的問題，幾乎是當前研究的空白，因此三維不確定對象方向關系的研究將是未來研究的熱點和難點。未來應建立三維不確定性對象方向關系描述模型，提高對復雜三維不確定性空間對象方向關系的處理能力，使其廣泛應用于三維動畫、移動導航、三維地理信息系統(tǒng)等領域。

3）三維對象間存在哪些基本方向關系和鄰近關系的概念，定義其在空間上的聯(lián)系及推理，在表達三維空間方向關系時更有效地反映三維空間特性，以及提高描述的精度是未來三維空間方向關系研究的重要內容，以此完善和提高空間數(shù)據(jù)庫對復雜空間對象方向關系的智能分析和處理能力。

4）隨著空間方向關系在城市規(guī)劃、智能交通、障礙物排除等領域應用的深入，如何有效地結合拓撲關系和距離關系等空間約束，提高空間方位關系描述精度成為當前迫切需要解決的問題。雖然已有一些結合距離和拓撲關系的空間方位關系表達與推理的工作，但是仍無法滿足實際應用需求，未來可致力于尋求有效融合距離和拓撲關系的空間方位關系表達與推理模型，提高模型表達精度。

5）單一空間對象的研究已無法滿足現(xiàn)實需求，需要發(fā)展群組目標對象間的方向關系模型，然而目前該研究領域剛起步，成果尚不多見，未來可注重于發(fā)展基于群組空間對象的表達與推理模型，使其更符合實際生活中的真實空間對象。此外，結合距離關系、拓撲關系聯(lián)合表達群組目標間的位置信息，進一步推進該領域在空間關系方面的研究。

5 結束語

本文圍繞空間方向關系表達與推理模型展開研究，從二維單目標對象、二維群組目標對象、三維空間對象、不確定性空間對象等方面對空間方向關系的形式化描述的研究成果進行全面綜述，并對各模型進行對比和分析?？臻g方向關系表達與推理模型的研究是空間方向關系推理和查詢的基礎，在地理信息系統(tǒng)、機器學習、人工智能等領域發(fā)揮至關重要的作用，然而當前模型在表達精度、推理能力、適用范圍等方面依然存在諸多問題，下一步將致力于提高對復雜空間對象的智能分析與處理能力，提高模型的實用性和智能預測，從而在空間區(qū)域獲得更為精準的空間信息，為進一步的研究提供借鑒和參考。