次線(xiàn)性期望下負(fù)相依隨機(jī)序列加權(quán)和的完全收斂性

陸衛(wèi)國(guó), 郭明樂(lè)

(1.銅陵學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,安徽 銅陵 244000;2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003)

隨著科技和經(jīng)濟(jì)的跨越式發(fā)展,現(xiàn)實(shí)世界中各種問(wèn)題的不確定性變得越來(lái)越大,對(duì)可能產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制變得十分困難。Peng等[1-2]受到金融領(lǐng)域中的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估及波動(dòng)的不確定性啟發(fā),給出了次線(xiàn)性期望下獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的概念[1-4],定義了G-期望、G-布朗運(yùn)動(dòng),建立了理論框架。由于次線(xiàn)性期望的應(yīng)用廣泛性,迅速引起國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注,形成一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。在次線(xiàn)性期望框架下,Zhang[5]獲得了部分和最大值不等式和Kolomogov強(qiáng)大數(shù)律,Chen[6]、Hu[7]、Wu等[8]建立了強(qiáng)大數(shù)定律,Zhang[9]研究Donsker's不變?cè)砗虲hung's重對(duì)數(shù)律,馮鳳香[10]對(duì)強(qiáng)大數(shù)定律、完全收斂性、完全矩收斂性以及幾何權(quán)級(jí)數(shù)的正自則重對(duì)數(shù)律進(jìn)行了研究。因?yàn)榇尉€(xiàn)性期望和容度的不可加性,目前次線(xiàn)性期望理論仍處于發(fā)展中,有很多問(wèn)題亟需解決,以期更好地為社會(huì)、統(tǒng)計(jì)、金融和科技服務(wù)。

從Borel-Cantelli引理可以得到完全收斂蘊(yùn)含幾乎處處收斂。Hsu等[11]證明當(dāng)方差有限,獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的樣本均值完全收斂于總體均值。而袁千順[12]證明在{Xn,n≥1}是獨(dú)立的情形下,其逆命題也成立。Hsu等以及袁千順的研究結(jié)果是概率論中的一個(gè)基本定理。時(shí)至今日,已有許多學(xué)者在不同方向領(lǐng)域中推廣并完善了完全收斂性的結(jié)果,獲得了豐富的理論成果,其中一項(xiàng)重要的推廣是胡澤春等[13]給出了獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的完全收斂性的等價(jià)條件。Chen等[14]討論了負(fù)相協(xié)(NA)隨機(jī)變量序列的完全收斂性,郭明樂(lè)等[15]將其推廣到負(fù)相依(ND)隨機(jī)變量序列,克服了ND隨機(jī)變量序列的Rosenhtal型不等式中的系數(shù)不為常數(shù)的難點(diǎn)。

本研究將上述結(jié)果推廣到次線(xiàn)性期望下負(fù)相依隨機(jī)變量序列情形,采用Peng的次線(xiàn)性期望理論框架。設(shè)(Ω.J)為可測(cè)空間,H是由定義在(Ω.J)上的實(shí)函數(shù)構(gòu)成的線(xiàn)性空間,使得對(duì)任意的φ∈Cl,Lip(n)若X1,X2,…,Xn∈H,則φ(X1,X2,…,Xn)∈H,空間H稱(chēng)為隨機(jī)變量的集合,這里Cl,Lip(n)表示滿(mǎn)足如下條件的局部Lipschitz函數(shù)φ組成的線(xiàn)性空間,|φ(x)-φ(y)|≤C(1+|x|m+|y|m)|x-y|,?x,y∈n,此處常數(shù)C>0,m∈僅依賴(lài)于φ。

(II)(常數(shù)不變性):若c∈,則

接下來(lái),介紹對(duì)應(yīng)次線(xiàn)性期望的容度概念。令g?J,如果函數(shù)V:g→[0,1]滿(mǎn)足V()=0,(Ω)=1和V(A)≤V(B),?A?B,A,B∈g,則稱(chēng)V為容度,如果容度V 還滿(mǎn)足:V(A∪B)A≤V(A)+V(B),?A,B∈g,則稱(chēng)容度V是次可加的。

(AC),?A∈J,

其中,AC為集合A的補(bǔ)集。

通過(guò)次線(xiàn)性期望的性質(zhì),可以看出若f≤I(A)≤g,f,g∈H,則

對(duì)任意的X∈H,有

為了得到Borel-Cantelli引理,還需假定容度V具有次可列可加性。

Choquet積分/期望定義如下:C

1 次線(xiàn)性期望的性質(zhì)

為了敘述本研究的主要結(jié)果,先敘述一些記號(hào)和引理。約定:本研究中的C表示正常數(shù),在不同的位置可表示不同的值;logx表示ln(max(e,x));an?bn表示存在常數(shù)C>0,使得an≤Cbn。本研究主要結(jié)論中要用到的局部Lipschitz函數(shù)h,定義如下:設(shè)01,h(x)=0.且x>0時(shí),h(x)單減。

顯然

I(|x|≤a)≤h(x)≤I(|x|≤1),I(|x|>1)≤1-h(x)≤I(|x|>a)

(1)

通過(guò)對(duì)學(xué)生課業(yè)學(xué)習(xí)質(zhì)量等教育大數(shù)據(jù)資源的多尺度分析、數(shù)據(jù)集成、關(guān)聯(lián)模式分析和數(shù)據(jù)深度挖掘分析，各高校能夠透析學(xué)生的質(zhì)量和學(xué)習(xí)行為之間的聯(lián)系，對(duì)于學(xué)生作出具有個(gè)性化、全面化的綜合分析報(bào)告、輿情分析、情感變化和能力分析，有助于學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)方案制定與全方位能力評(píng)估。

(Sn≥x)≤

(Sn≥x)≤

(2)

(|Sn|≥x)≤2

(3)

(ii)當(dāng)p>2時(shí),存在僅依賴(lài)于p的正常數(shù)C ,使得

2 主要結(jié)果

則:

(4)

證明利用容度的單調(diào)性及條件(iii),為證式(4),僅需證明:

(5)

(|Xni|>aδ)+

(6)

利用條件(i),只需證明:

對(duì)n∈A,利用條件(i)可得:

(7)

因此,為了完成定理3.1的證明,僅需證明:

(8)

(9)

從而,當(dāng)n∈B時(shí),

(10)

若μ/3≥δ,則:

(11)

從而由式(6)和(7),再利用條件(i),得:

(12)

(13)

從而由式(8)、(9)可知式(4)成立。

注3.1從定理3.1的3個(gè)條件可以看出,研究次線(xiàn)性期望下的完全收斂性,往往需要構(gòu)造局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)h來(lái)替代示性函數(shù),達(dá)到解決問(wèn)題目的。同時(shí),要注意的是,∑Xni是不能隨便加絕對(duì)值的,這主要還是次線(xiàn)性期望不具有可加性導(dǎo)致的。

3 結(jié)論

利用H?lder's不等式,給出更易驗(yàn)證的完全收斂性3個(gè)條件,得到如下的結(jié)論。