數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)潤(rùn)物無(wú)聲

楊宇

最近我一直在思考一節(jié)課的來(lái)龍去脈，這節(jié)課的內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)人教版五年級(jí)上《用字母表示數(shù)》。之所以關(guān)注它有兩個(gè)原因：其一，從內(nèi)容上看“用字母表示數(shù)”是一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻又很復(fù)雜的問(wèn)題，遠(yuǎn)非我們想象的那樣易于學(xué)生理解?？v觀歷史，人類從用符號(hào)表示“特定的數(shù)”，發(fā)展到有意識(shí)地、系統(tǒng)地用字母表示數(shù)，經(jīng)歷了1200多年的不懈努力。如果說(shuō)這段歷史體現(xiàn)了人類探索數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程，那么學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的理解或多或少也要經(jīng)歷類似的跌跌撞撞的過(guò)程，才能在比較抽象的水平上形成對(duì)符號(hào)表示數(shù)的認(rèn)識(shí)。其二，從課標(biāo)的修訂中看，2011版課標(biāo)將原實(shí)驗(yàn)稿中核心概念之一的“符號(hào)感”調(diào)整為“符號(hào)意識(shí)”。為什么要做這樣的修改？二者之間有著怎樣的聯(lián)系和區(qū)別？如何來(lái)發(fā)展學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”，等等，這些問(wèn)題一直是我深入研究的興趣所在。

正好，在上學(xué)期末，為了參與編寫(xiě)一本教師培訓(xùn)教材，我執(zhí)筆其中的案例，要求對(duì)一節(jié)課中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做課堂觀察，并作心理分析。于是邀請(qǐng)一位教師上課，內(nèi)容是“用字母表示數(shù)”，同時(shí)選三名學(xué)生做觀察對(duì)象。

A學(xué)生：

思維敏捷，分析問(wèn)題思路清晰。能積極參與課堂活動(dòng)，上課注意力集中，認(rèn)真聽(tīng)講，能跟上老師的思路，積極發(fā)言，表現(xiàn)欲強(qiáng)。平時(shí)能按照老師的要求認(rèn)真完成作業(yè)，書(shū)寫(xiě)工整，作業(yè)不依賴家長(zhǎng)，自己獨(dú)立完成作業(yè)，有良好的檢查習(xí)慣，能及時(shí)改正作業(yè)中的錯(cuò)誤。

B學(xué)生：

性格內(nèi)向，不愛(ài)說(shuō)話，不愛(ài)與人交流。學(xué)習(xí)一般，不太吃力，但不突出。能夠按時(shí)完成作業(yè)，偶爾存在丟題、馬虎的現(xiàn)象。書(shū)寫(xiě)不夠認(rèn)真，但是只要認(rèn)真寫(xiě)，還是可以把作業(yè)寫(xiě)得很工整，有時(shí)候耍點(diǎn)小聰明，學(xué)習(xí)需要老師督促。

C學(xué)生：

不愛(ài)說(shuō)話，不愛(ài)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)習(xí)被動(dòng)，沒(méi)有個(gè)人見(jiàn)解。作業(yè)書(shū)寫(xiě)不認(rèn)真，不及時(shí)，兩頭欺瞞，跟老師說(shuō)沒(méi)帶作業(yè)，跟家長(zhǎng)說(shuō)沒(méi)留作業(yè)，或已經(jīng)寫(xiě)完，家長(zhǎng)也不及時(shí)檢查，作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)不應(yīng)該的錯(cuò)誤，甚至丟題。學(xué)習(xí)較吃力，沒(méi)有良好的思維能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣。

下面是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的大致紀(jì)實(shí)：

一、設(shè)疑導(dǎo)入

1.引入學(xué)生熟知事物，感受字母表示的特殊含義。

教師出示1.69m并提問(wèn)：數(shù)據(jù)表示什么意思？字母m代表什么？

2.出示“哈弗利采克”計(jì)算公式，猜測(cè)公式中字母代表什么，進(jìn)一步激發(fā)興趣，引出課題。

二、講授新課

（一）理解字母表示特定的數(shù)。

出示一組練習(xí)題。（按規(guī)律填數(shù)）

（二）理解字母表示變化的數(shù)，會(huì)用字母表示兩個(gè)量之間的關(guān)系。

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

教師：同學(xué)們表現(xiàn)很好，為了鼓勵(lì)大家，老師給大家?guī)?lái)一個(gè)“神奇的魔術(shù)盒”。它的神奇在于左邊進(jìn)去一個(gè)數(shù)，經(jīng)過(guò)魔術(shù)盒加工會(huì)出來(lái)另一個(gè)數(shù)，想試試嗎？（學(xué)生通過(guò)輸入和輸出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

2.學(xué)生探究

教師：輸入的數(shù)可以是任何一個(gè)數(shù)，永遠(yuǎn)也輸入不完。有沒(méi)有一個(gè)好辦法能把所有輸入的數(shù)和輸出的數(shù)都表示出來(lái)呢？可以獨(dú)立思考，也可以幾個(gè)人商量完成。（探究）

探究提示：

輸入的數(shù)在不斷變化，輸出的數(shù)也在不斷變化，什么永遠(yuǎn)沒(méi)變？

能不能用一種簡(jiǎn)明、概括的方法把所有輸入的數(shù)和輸出的數(shù)表示出來(lái)？

3.猜年齡

教師：請(qǐng)同學(xué)們猜猜老師今年多大了？我比這位同學(xué)大20歲，我多大？當(dāng)這位同學(xué)20歲時(shí)，我多大？能用含有字母的式子表示出來(lái)嗎？這里的字母可以是任意數(shù)嗎？

三、鞏固練習(xí)

1.先讀兒歌《數(shù)青蛙》，再擴(kuò)展編兒歌

教師：我們一邊拍手，一邊讀。永遠(yuǎn)也讀不完，怎么辦？誰(shuí)能用一句話的內(nèi)容概括兒歌？

2.挑戰(zhàn)訓(xùn)練

常識(shí)題：動(dòng)物氣象員：某地蟋蟀1分鐘叫的次數(shù)除以7加上3就近似得到當(dāng)時(shí)的氣溫。用帶有字母的式子表示該地當(dāng)時(shí)的氣溫；如果蟋蟀1分鐘叫了140次，該地當(dāng)時(shí)的溫度大約是多少？

3.教師明確課前估算自己身高的公式，明確每個(gè)字母都代表什么

從教師設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)中我們不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課，教師創(chuàng)設(shè)大量情境，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了學(xué)生身邊的生活素材，讓學(xué)生在探索中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)探索的欲望和學(xué)習(xí)興趣。從具體的數(shù)到用字母表示數(shù)是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是很抽象的，也是相當(dāng)困難的。因此，教師采用合作探究的方式，通過(guò)活動(dòng)去實(shí)現(xiàn)對(duì)它們的理解和掌握。這是符合學(xué)生自身認(rèn)知規(guī)律的。所以，從課的設(shè)計(jì)來(lái)看是一節(jié)好課。但是學(xué)生學(xué)習(xí)得怎么樣呢？是否解決了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象概括的過(guò)程與代數(shù)語(yǔ)言的認(rèn)識(shí)？課后我與上課教師對(duì)觀察的三名學(xué)生學(xué)生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查，發(fā)現(xiàn)對(duì)含有字母的式子既表示結(jié)果，又表示關(guān)系的理解很困難。下面是訪談?dòng)涗洠?/p>

A學(xué)生：很喜歡這節(jié)課，內(nèi)容很新鮮，學(xué)會(huì)了新的思維方式； “猜年齡”這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)自己最有吸引力，因?yàn)橘N近生活實(shí)際，知道字母的取值是有一定限制的；用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系關(guān)鍵就是找到變化的量用字母表示，再找不變的量，就能列出式子。

B學(xué)生：喜歡這節(jié)課，因?yàn)檫@節(jié)課內(nèi)容很豐富；對(duì)“數(shù)學(xué)魔盒”比較感興趣，很新奇、很好玩，就想去試一試，探索其中的奧秘，最后感覺(jué)到了魔術(shù)變不完用字母就可以概括了；用含有字母的式子表示數(shù)量及數(shù)量關(guān)系聽(tīng)懂了，但說(shuō)不清楚，應(yīng)用還存在一定困難。

C學(xué)生：喜歡這節(jié)課，覺(jué)得很好玩；對(duì)“鞏固練習(xí)”中的“數(shù)青蛙”、“動(dòng)物氣象員”感興趣，有趣，還增長(zhǎng)了知識(shí)；用字母表示特定的數(shù)學(xué)會(huì)了，用含有字母式子表示數(shù)量關(guān)系沒(méi)太明白。

B學(xué)生和C學(xué)生可以代表全班學(xué)生的70%，他們對(duì)用字母表示特定的數(shù)理解沒(méi)問(wèn)題，但對(duì)用含有字母的式子表示結(jié)果或數(shù)量關(guān)系不理解。教師這樣精心設(shè)計(jì)的課，為什么學(xué)生掌握得沒(méi)有預(yù)想的好呢？課后我們及時(shí)通過(guò)學(xué)習(xí)、討論發(fā)現(xiàn)“用字母表示數(shù)”，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是非常抽象的。特別是用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生的思維過(guò)程中，由具體的數(shù)和用運(yùn)算符號(hào)組成的式子，過(guò)渡到用字母和含有字母的式子表示數(shù)，是從個(gè)別上升到一般的抽象化過(guò)程。例如，已知教師年齡比學(xué)生大20歲，用a表示學(xué)生的歲數(shù)，那么a+20既表示老師歲數(shù)總是比學(xué)生歲數(shù)大20的年齡關(guān)系，又表示老師的歲數(shù)。這是學(xué)生初學(xué)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。首先，他們要理解師生年齡之間的關(guān)系，還要把用語(yǔ)言敘述的關(guān)系改用含有字母的式子表示；其次，他們往往不習(xí)慣將a+20視為一個(gè)量，常有學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)式子，不是結(jié)果。而用一個(gè)式子表示一個(gè)量恰恰是學(xué)習(xí)列方程不可或缺的一個(gè)基礎(chǔ)。

由此可見(jiàn)，要想突出本節(jié)課兩個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)，即使學(xué)生理解并掌握用字母表示特定的數(shù)和變化的數(shù)，在課的設(shè)計(jì)上還應(yīng)考慮到讓學(xué)生了解字母表示數(shù)的演變過(guò)程，可以用數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來(lái)幫助學(xué)生理解字母表示數(shù)存在的意義和價(jià)值。我們應(yīng)該怎樣做呢？

美國(guó)著名教育學(xué)家G·波里亞曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，才能最好的理解數(shù)學(xué)?！?/p>

先讓我們來(lái)了解一段數(shù)學(xué)史：

早在3800年前，古埃及人用“堆”表示特定的數(shù)。

公元4世紀(jì)前后，古希臘學(xué)者丟番圖開(kāi)始用希臘字母表示數(shù)和一些運(yùn)算。

16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)開(kāi)始有意識(shí)地、系統(tǒng)地用字母表示數(shù)。

從歷史上看，人類最初表達(dá)代數(shù)問(wèn)題，一切算法皆用普通文字。古希臘丟番圖首先用“數(shù)”的希臘發(fā)音中的第一個(gè)字母來(lái)表示數(shù)。這之后，許多數(shù)學(xué)家紛紛效仿。但用音節(jié)的縮寫(xiě)來(lái)表示未知量以及其他代數(shù)符號(hào)，每一種縮寫(xiě)，其本身都具有先入為主的意義，因而其價(jià)值只不過(guò)有所簡(jiǎn)略而已。后來(lái)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)設(shè)想尋找一種求解各種類型方程的通用方法，他不僅用字母表示未知量，而且也用字母表示已知量及其運(yùn)算，超越了各類數(shù)量的具體特點(diǎn)，從一般意義上看用字母來(lái)表示特定的量和變化的量，被公認(rèn)是代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的一座里程碑。

那么怎樣在一節(jié)課40分鐘的時(shí)間里讓學(xué)生體會(huì)1200多年的發(fā)展歷程，并從中悟出用字母表示數(shù)的意義與價(jià)值呢？我與同年級(jí)的數(shù)學(xué)老師一起經(jīng)過(guò)數(shù)次研磨，重新設(shè)計(jì)三個(gè)環(huán)節(jié)，敘述如下：

①引導(dǎo)學(xué)生思考5、10、15、20、25、ⅹ、35……這里的ⅹ表示什么樣的數(shù)。

②讓學(xué)生用小棒擺三角形，求一共用了多少根小棒。讓學(xué)生一直擺下去，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)法表示完時(shí)，要求學(xué)生用一個(gè)式子代表所有情況，總結(jié)出n×3或ⅹ×3或m×3等形式。得出“用字母表示數(shù)不是簡(jiǎn)單地用字母代替數(shù)，而是把一直變化的量用字母表示出來(lái)，它可以代表無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)”。第一種情況字母表示的是特定的量，而第二種情況則表示變化的量，是不定的。

③給式子（ ）×5改編一句話。教師做示范：

師：（ ）表示一本書(shū)的重量，那么（ ）×5表示5本書(shū)的重量。

（這時(shí)學(xué)生爭(zhēng)搶來(lái)說(shuō)，教師準(zhǔn)確抓住這一銜接點(diǎn)）

每個(gè)重量×5

每個(gè)價(jià)錢×5

每班人數(shù)×5

……

師：用文字表達(dá)的確很繁瑣，因而古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到用“縮寫(xiě)”的方法來(lái)表示，仿照丟番圖的方法，這里的“每個(gè)重量×5”取“重”的發(fā)音的第一個(gè)字母，表示成“z×5”。那么“每個(gè)價(jià)錢×5，每班人數(shù)×5”怎樣用所寫(xiě)的方法表示呢？

生：取價(jià)的發(fā)音第一個(gè)字母用j×5，取人的發(fā)音第一個(gè)字母r×5來(lái)表示。

師：丟番圖用字母縮寫(xiě)來(lái)表示數(shù)量間的關(guān)系，雖然簡(jiǎn)潔了，但每個(gè)字母都表示特定的意思，不能把j×5，r×5等同。所以并沒(méi)有給數(shù)學(xué)帶來(lái)更多便利。到16世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)想，如果把各種情況中的字母表示的特定意思都去掉的話，不都是一個(gè)數(shù)和5相乘嗎！于是將不同的字母換成□×5。后來(lái)就表示成了a×5，這里的a不是特定的意思了，它只是一個(gè)符號(hào)而已。自從韋達(dá)把字母當(dāng)成符號(hào)來(lái)表示后，許多數(shù)學(xué)難題得到了解決，數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。

反思這個(gè)設(shè)計(jì)，目的完全從學(xué)生自身出發(fā)，從學(xué)生所處年齡特點(diǎn)出發(fā)，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，讓學(xué)生的思維自然地、無(wú)痕地跟隨數(shù)學(xué)家們的不斷追求逐步得到提升。

“一個(gè)普通的教師奉送真理，一個(gè)優(yōu)秀的教師教人發(fā)現(xiàn)真理?！睘榇?，我們的數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)努力還原，再現(xiàn)這一發(fā)展過(guò)程，從數(shù)學(xué)家的廢紙簍里尋找知識(shí)的源泉。

我們知道，符號(hào)意識(shí)是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的第二個(gè)核心概念。本節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)最好的載體。這里所說(shuō)的符號(hào)意識(shí)主要包括兩方面的內(nèi)容，一個(gè)是關(guān)于概念的符號(hào)，一個(gè)是關(guān)于關(guān)系的符號(hào)。自然數(shù)就是一種符號(hào)，人們用自然數(shù)這樣的符號(hào)表達(dá)數(shù)量的多少。但“符號(hào)意識(shí)”中所說(shuō)的概念符號(hào)更為抽象，在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中主要是指：用字母表示數(shù)。因?yàn)閿?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，因此，這種表示也蘊(yùn)含著用字母表示一般的數(shù)量，所以這節(jié)課中如何幫助學(xué)生由具體到抽象是需要解決的最大問(wèn)題。教學(xué)的最好方式是重要的，但數(shù)學(xué)的本質(zhì)到底什么是更重要的。很顯然，用字母表示數(shù)的過(guò)程，不是字母替代文字的過(guò)程，而是具體數(shù)量符號(hào)化的過(guò)程。從具體的數(shù)到抽象的字母，表達(dá)形式變化的背后，意味著思維方式上要有變化。學(xué)生在此之前接觸的是算術(shù)，關(guān)注的是計(jì)算結(jié)果，而現(xiàn)在接觸的是代數(shù)，關(guān)注的是數(shù)量關(guān)系。讓一個(gè)含有字母的式子既可以表示關(guān)系，又可以表示結(jié)果，這的確是思維上的飛躍。所以，我們從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中，概括出用字母表示數(shù)的演變過(guò)程，目的就是使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展一步步的變化，理解字母表示變化的數(shù)的由來(lái)，為后續(xù)方程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

由此可見(jiàn)，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生會(huì)在“潤(rùn)物無(wú)聲”的情景中獲得認(rèn)識(shí)上的巨大提升。我們?cè)谧穼で叭搜芯寇壽E的過(guò)程中，不單只看到經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證的結(jié)果，也要看到數(shù)學(xué)家們思維活動(dòng)的過(guò)程，感受到了數(shù)學(xué)家們敏銳的洞察力和機(jī)智，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維具有啟發(fā)意義。因?yàn)閷W(xué)生獲得知識(shí)的探索性思維與數(shù)學(xué)家從事研究活動(dòng)的探索性思維本質(zhì)上是相通的。而且科學(xué)家們孜孜以求，克服重重困難，深入探索的精神有助于培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的鉆研精神，培養(yǎng)他們堅(jiān)強(qiáng)的意志。

（作者單位：長(zhǎng)春市第一實(shí)驗(yàn)中海小學(xué)）

責(zé)編/張曉東