若干特殊二面體群的正規(guī)子群包含圖的譜

霍麗君,冉 莎

(重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

0 引言

近幾十年來,研究代數(shù)結構上的圖一直受到了人們的廣泛關注,目前已經(jīng)有許多關于由環(huán)、半群或群構造圖的重要結果,見文獻[1-6]及其參考文獻等,這在研究各種代數(shù)結構與圖的關系方面具有重要的理論研究意義。在文獻[2]中,Aksbari等首次提出了環(huán)的理想包含圖的概念,一個環(huán)R的理想包含圖是一個簡單無向圖,它的頂點集是R的非平凡的左理想,2個非平凡理想I和J鄰接當且僅當I?J或者J?I。并研究了理想包含圖的各種不變量,如圖的連通性、完備性以及直徑。與此密切相關的一個課題就是利用有限群的子群包含關系來構造圖,比如Ou等[7]對有限群的子群包含圖進行了研究,有限群的子群包含圖是一個簡單無向圖,它以有限群G的所有非平凡子群為頂點集,2個不同頂點H、K鄰接當且僅當H?K或者K?H。同時確定了相應子群包含圖是平面圖的有限冪零群,并利用特征矩陣的技巧刻畫了不動集。關于圖的譜理論的研究始于Biggs[8]的工作,是代數(shù)圖論中的一個重要研究課題,它主要研究一些與圖相關的矩陣,如鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣、距離矩陣等的譜性質,包括其特征值、特征向量、特征多項式系數(shù)的性質等。圖譜理論在量子化學、計算機科學、通訊網(wǎng)絡等方面有廣泛的應用,近幾十年來該課題受到了人們的廣泛關注,其中圍繞二面體群構造的圖及其相關譜問題研究見文獻[9-13],這使得圖譜理論的研究內容得以不斷豐富與發(fā)展。

主要對特殊二面體群研究了非平凡正規(guī)子群包含圖In(D2n)的相關譜,得到了該圖的鄰接譜、拉普拉斯譜以及擬拉普拉斯譜等。

1 預備知識

定義1有限群的正規(guī)子群包含圖是一個簡單無向圖,它以有限群G的所有非平凡正規(guī)子群為頂點集,2個不同頂點H、K鄰接當且僅當H?K或者K?H,記為In(G)。

設圖Γ=(V,E),其中V=V(Γ)={v1,v2,…,vn}是圖Γ的頂點集,E=E(Γ)={e1,e2,…,em}是圖Γ的邊集。設u,v∈V,若u,v相鄰,記為u～v或者uv∈E;若它們不相鄰,記為uv或者uv?E。所有與頂點v相關聯(lián)的邊的總數(shù)稱為v的度數(shù),記為dv。n階圖Γ的鄰接矩陣記為A(Γ)=(aij),是一個方陣,其中aij=1,如果vivj∈E(Γ);aij=0,如果vivj?E(Γ)。顯然,A(Γ)是一個對稱矩陣。n階圖Γ的度矩陣記為D(Γ)=(dij),其中dij=dvi,如果vi=vj;dij=0,如果vi≠vj。易知Γ的度矩陣是一個n階對角矩陣。

定義2[14]設圖Γ的鄰接矩陣為A(Γ),度矩陣為D(Γ),稱L(Γ)=A(Γ)-D(Γ)為圖Γ的拉普拉斯矩陣;稱Q(Γ)=A(Γ)+D(Γ)為擬拉普拉斯矩陣。

易知Q(Γ)是實對稱正定(或半正定)非負矩陣,其特征值都是非負的。

定義3[15]設B為n階對稱矩陣,det(λI-B)為B的特征多項式,λi(i=1,2,…,n)是其特征值,B的譜是指其所有不同的特征值以及它們(作為特征多項式的根)的重數(shù),將B的譜記為:

式中:mi(λi)表示λi的重數(shù);稱max{|λi|,i=1,2,…,n}為B的譜半徑。

一個圖Γ的鄰接譜(拉普拉斯譜、擬拉普拉斯譜)即為其對應的鄰接矩陣A(Γ)(L(Γ)、Q(Γ))的譜,Γ的鄰接譜(拉普拉斯譜、擬拉普拉斯譜)半徑即為其對應矩陣A(Γ)(L(Γ)、Q(Γ))的特征值絕對值的最大值。

一個正n邊形的對稱群稱為二面體群,用生成元和定義關系表示為D2n=〈a,b|an=b2=1,bab=a-1〉。易知,當n為奇數(shù)時,二面體群D2n的非平凡正規(guī)子群為〈ar〉,其中r|n;n為偶數(shù)時,二面體群D2n的非平凡正規(guī)子群為〈ar〉,其中r|n,以及〈a2,ab〉,〈a2,b〉。

所使用的符號是標準的,見文獻[14-15]。為方便下文進行描述和計算,給出以下符號說明:| |n表示一個n階行列式;ri、cj分別表示行列式的第i行和第j列;ri+krj(ci+kcj)表示行列式的第j行(列)的各元素乘以k加到第i行(列)。

2 D2pα的正規(guī)子群包含圖In(D2pα)的譜

本節(jié)考慮當n=pα時,D2pα的正規(guī)子群包含圖In(D2pα)的譜,這里p是奇素數(shù),且α(≥2)是一個整數(shù)。

定理1In(D2pα)的譜為:

式中:A1為In(D2pα)的鄰接矩陣,且其譜半徑為α-1。

證明由于二面體群In(D2pα)的非平凡正規(guī)子群為〈a〉,〈a2〉,〈a22〉,…,〈a2α-1〉,將圖的頂點仍按照此順序進行標號,可得In(D2pα)的鄰接矩陣為如下的α階矩陣:

容易計算鄰接矩陣的特征多項式為:

故其鄰接譜為:

由于α≥2,其譜半徑為α-1。

定理2In(D2pα)的拉普拉斯譜為:

式中:L1為In(D2pα)的拉普拉斯矩陣,且其拉普拉斯譜半徑為α。

證明由定理1的證明,易得In(D2pα)的度矩陣為如下的α階對角矩陣:

D(In(D2pα))=diag(α-1,…,α-1)

從而該二面體群的正規(guī)子群包含圖In(D2pα)的拉普拉斯矩陣為如下α階矩陣:

容易計算拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

定理3In(D2pα)的擬拉普拉斯譜為

式中:Q1為In(D2pα)的擬拉普拉斯矩陣,且其擬拉普拉斯譜半徑為2α-2。

證明根據(jù)定理1的證明及擬拉普拉斯矩陣的定義,該二面體群的正規(guī)子群包含圖In(D2pα)的拉普拉斯矩陣為如下α階矩陣:

則其擬拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

故其擬拉普拉斯譜為:

譜半徑為2α-2。

3 D2α+1的正規(guī)子群包含圖In(D2α+1)的譜

本節(jié)考慮當n=2α時,二面體群D2n=D2α+1的正規(guī)子群包含圖In(D2α+1)的譜,其中α(≥2)是一個整數(shù)。

定理4In(D2α+1)的譜為:

證明由于二面體群D2α+1的非平凡正規(guī)子群有〈a〉,〈a2〉,〈a22〉,…,〈a2α-1〉,〈a2,ab〉,〈a2,b〉,故其正規(guī)子群包含圖In(D2α+1)由以上頂點組成,并將圖仍按照此順序進行標號,得In(D2α+1)的鄰接矩陣為如下α+2階矩陣:

其鄰接矩陣特征多項式為:

將以上2個行列式每行都加到最后一行,可得

λ2(λ+1)α-2[λ(λ-α+2)-3(α-1)]

故In(D2α+1)的譜為:

定理5In(D2α+1)的拉普拉斯譜為:

式中:L2為In(D2α+1)的拉普拉斯矩陣,且其拉普拉斯譜半徑為α+2。

證明根據(jù)定理4的證明,易知In(D2α+1)的度矩陣為如下α+2階對角矩陣:

D(In(D2α+1))=diag(α-1,α+1,…,α+1,α-1,α-1)

則該二面體群的正規(guī)子群包含圖的拉普拉斯矩陣為如下α+2階矩陣:

則其拉普拉斯矩陣的特征多項式為:

故In(D2α+1)的拉普拉斯譜為:

顯然譜半徑為α+2。

定理6In(D2α+1)的擬拉普拉斯譜為:

證明由上面定理的證明及擬拉普拉斯矩陣的定義,In(D2α+1)的拉普拉斯矩陣為如下α+2階矩陣:

則Q2的特征多項式為:

(α-1-λ)2(α-λ)α-2(λ2-(3α-2)λ+2(α2-3α+2))

故In(D2α+1)的擬拉普拉斯譜為:

4 結論

利用二面體群的非平凡的正規(guī)子群及其之間的包含關系構造了正規(guī)子群包含圖In(D2n),通過計算特殊二面體群的正規(guī)子群包含圖的相關矩陣所描述的鄰接譜及擬拉普拉斯譜參數(shù)揭示了圖的結構性質與其各類譜之間的聯(lián)系,進一步豐富了有限群與圖的研究內容,為深入研究有限群的子群包含圖的譜理論奠定了一定的理論基礎。