解答橢圓問題時常出現(xiàn)的錯誤及應(yīng)對方法

馬占龍

【摘 要】 ?橢圓的焦點(diǎn)和離心率問題是經(jīng)?？疾榈闹R點(diǎn)，熟悉常見的橢圓解答過程中的易錯點(diǎn)，可以很好避免因默認(rèn)焦點(diǎn)在x軸、忽略離心率取值范圍而導(dǎo)致的錯誤，提高解答問題的正確率.

【關(guān)鍵詞】 ?橢圓；易錯點(diǎn)；焦點(diǎn)；離心率

橢圓常常與各種知識點(diǎn)交叉，綜合考查學(xué)生對圓錐曲線有關(guān)知識點(diǎn)的把握.學(xué)生在解決此類問題時，常常會因?yàn)楦鞣N各樣的原因?qū)е洛e誤，現(xiàn)在歸納兩類橢圓解題中常出現(xiàn)的錯誤和應(yīng)對的方法.

1 默認(rèn)焦點(diǎn)在x軸

橢圓的焦點(diǎn)可以在x軸，也可以在y軸，但是因?yàn)槌Ｒ姷臋E圓焦點(diǎn)都在x軸，學(xué)生容易受思維定式的影響，忽略了在y軸的情況，導(dǎo)致出現(xiàn)漏解.

例1 ??已知橢圓 x ?2 ?k+8 + y ?2 ?9 =1的離心率是 1 2 ，求k的取值.

錯解 ??由題意知a ?2 =k+8，b ?2 =9，

所以c ?2 =a 2 -b ?2 =k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

錯因 ??因?yàn)轭}目只告知橢圓滿足 x ?2 ?k+8 + y ?2 ?9 =1，并未表明長軸在x軸，錯誤解法默認(rèn)了長軸在x軸，即k+8>9.當(dāng)題目未標(biāo)明長軸所在位置時，應(yīng)該分類討論.

正解 ??（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，a ?2 =k+8，b ?2 =9，

所以c 2=a 2-b 2=k-1，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= k-1 k+8 = 1 4 ，

解得k=4.

（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，a ?2 =9，b ?2 =k+8，

所以c ?2 =a 2 -b ?2 =1-k，

又e= c a = 1 2 ，

所以e ?2 = c ?2 ?a ?2 ?= 1-k 9 = 1 4 ，

解得k=- 5 4 .

此題綜合考查了橢圓方程的特征、離心率和a，b，c之間的關(guān)系，當(dāng)題目未明確告知或無法間接得到焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時，應(yīng)該分類討論，避免出現(xiàn)漏解.

例2 ??若橢圓的離心率e= 3 5 ，長軸長是10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .

錯解 ??由題意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因?yàn)閏 ?2 =a 2 -b ?2 =5 2 -b ?2 =9，

所以b=4，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1.

錯因 ??題目并未告知焦點(diǎn)是在哪個軸上，錯誤解法默認(rèn)了焦點(diǎn)在x軸.

正解 ??由題意知2a=10，e= 3 5 = c a ，

所以a=5，c=3，

因?yàn)閏 ?2 =a 2 -b ?2 =5 2 -b ?2 =9，

所以b=4，

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1，

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y ?2 ?25 + x ?2 ?16 =1，

正確答案是 ?x ?2 ?25 + y ?2 ?16 =1，或 ?y ?2 ?25 + x ?2 ?16 =1.

注意橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，特別留意焦點(diǎn)所在的位置，防止出現(xiàn)遺漏.

針對與橢圓焦點(diǎn)位置有關(guān)的問題時，當(dāng)題目未明確告知焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時，或者根據(jù)已知信息無法直接判斷焦點(diǎn)是處于x軸還是y軸，應(yīng)該分類討論在x軸與y軸兩種情形，并分別作答，避免出現(xiàn)解題不完整的現(xiàn)象.

2 忽略離心率的取值范圍

橢圓的離心率整體限制在（0，1）區(qū)間內(nèi)，在計(jì)算有關(guān)離心率時很容易忽略隱含的這個條件，導(dǎo)致求解的離心率取值范圍不精確.

例3 ??橢圓 x ?2 ?a ?2 ?+ y ?2 ?b ?2 ?=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)記作F，右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，在橢圓上存在點(diǎn)P使得線段AP的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，則橢圓的離心率取值范圍是（ ?）

（A） ?0， ???2 ?2 ?. ?????（B） ?0， 1 2 ?.

（C） ［ ??2 -1，1）. ???（D） ??1 2 ，1 .

錯因 ??未充分把握垂直平分線的性質(zhì)，通過設(shè)點(diǎn)、求直線反而加大了計(jì)算量.

正解 ???由題意知，橢圓上存在點(diǎn)P使得線段AP的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)F，即點(diǎn)F到點(diǎn)P和到點(diǎn)A的距離相等，

而 FA = a ?2 ?c -c= b ?2 ?c ， PF ∈［a-c，a+c］，

所以 b ?2 ?c ∈ a-c，a+c ，

即ac-c ?2 ≤b ?2 ≤ac+c ?2 ，

所以 ?ac-c ?2 ≤a ?2 -c ?2 ，a ?2 -c ?2 ≤ac+c ?2 ，

即 ?c a ≤1， c a ≤-1或 c a ≥ 1 2 ，

又e∈（0，1），

所以e∈ ?1 2 ，1 ，故選 （D） 選項(xiàng).

離心率的取值范圍需要通過已知條件搭建起關(guān)于a，b，c的不等式，然后轉(zhuǎn)化成離心率e的不等式進(jìn)行求解，同時一定要注意離心率e在（0，1）內(nèi).

例4 ??已知F 1 ，F(xiàn) 2 分別是橢圓在x軸上的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，∠F 1 PF 2 =60 ?° ?，求橢圓離心率滿足取值條件.

錯因 ??未充分考慮橢圓離心率需要滿足（0，1），導(dǎo)致取值范圍不夠準(zhǔn)確.

正解 ??設(shè)橢圓方程為 x ?2 ?a ?2 ?+ y ?2 ?b ?2 ?=1（a>b>0），

由余弦定理得，

cos 60 ?° ?=

（ PF 1 ?+ PF 2 ?） ?2 -2 PF 1 ?· PF 2 ?- F 1 F 2 ???2 ?2 PF 1 ?· PF 2 ??= （2a） ?2 -（2c） ?2 ?2 PF 1 ?· PF 2 ??-1，

所以 PF 1 ?· PF 2 ?= 4 3 b ?2 ，

又 PF 1 ?· PF 2 ?= ??PF 1 ?+ PF 2 ??2 ???2 =a ?2 ，

所以3a ?2 =4（a ?2 -c ?2 ）得e= 1 2 .

又橢圓中0

有關(guān)橢圓的離心率一定要特別注意，離心率e首先必須滿足的0

橢圓離心率題目中隱含的條件是離心率始終限定在（0，1）之間，這是橢圓離心率必須滿足的首要條件，在解決具體問題時要將求解的離心率范圍結(jié)合隱含的離心率取值范圍綜合考慮，求他們的交集，才能解得正確的離心率取值范圍.

3 結(jié)語

橢圓焦點(diǎn)既可以位于x軸，也可以位于y軸，兩類不同情況給解題中的分類討論創(chuàng)造了討論空間；橢圓離心率的取值范圍在區(qū)間 0，1 內(nèi)，常常隱藏在求解橢圓離心率問題中.把握焦點(diǎn)位置的兩種可能，熟記離心率的取值范圍，耐心求解，避免錯誤.