個性化角接觸球軸承的優(yōu)化設計方法

韓澤光,廖小萱,郝瑞琴,白曉天

(沈陽建筑大學機械工程學院,遼寧 沈陽 110168)

滾動軸承是機械設備中重要的基礎元件,主要用來承受載荷和傳遞動力,在重型機械和航空航天中廣泛應用[1]。如今,高速重載的機械設備對軸承的工作性能和使用壽命有了更高的要求,而軸承內部未標準化的結構參數(shù)與其工作表現(xiàn)是息息相關的。張騰等[2]建立以軸承疲勞壽命最長為目標的優(yōu)化模型來改變軸承的內圈擋邊根部厚度、外圈最小內徑和公稱接觸角,得出錐角取28°30′時承載能力最大;王德倫等[3]以雙列圓錐滾子軸承為研究對象,建立了體積最小和壽命最長的優(yōu)化數(shù)學模型,求解出軸承內徑、外徑、座圈寬度等幾何結構參數(shù)的最優(yōu)值;D.Eugeniv[4]進行了最大額定壽命的優(yōu)化設計,開發(fā)了相應優(yōu)化程序,得出優(yōu)化接觸角和節(jié)距比可以最大限度地延長額定壽命;呂志鵬等[5]以諧波減速器中的柔輪支承軸承為研究對象,建立了軸承額定動載荷最大和磨損壽命最長目標下的優(yōu)化模型,利用MATLAB和ISIGHT聯(lián)合優(yōu)化求解,結果表明,滾珠直徑對目標的影響最大;羅天宇等[6]以滾動體直徑、滾動體個數(shù)和節(jié)圓直徑作為設計變量,建立了角接觸球軸承剛度最大或額定動載荷最大目標下的優(yōu)化數(shù)學模型并求解,數(shù)據(jù)表明不同的優(yōu)化目標導致了結果的差異性;T.Rajiv等[7]以動態(tài)承載能力最大、彈性流體動力最小、油膜厚度最大及軸承溫度最小為目標對球面滾子軸承進行了優(yōu)化設計,經(jīng)遺傳算法得到軸承壽命明顯提高的最優(yōu)結構參數(shù);張靜靜等[8]基于軸承壽命為目標對其球數(shù)、球徑、墊片角、內外圈溝曲率半徑系數(shù)及徑向游隙進行了優(yōu)化設計,采取正交試驗法得到結構參數(shù)對軸承壽命的影響規(guī)律;汪久根等[9]以雙列角接觸球軸承的鋼球數(shù)、鋼球直徑、內外滾道溝曲率半徑系數(shù)以及節(jié)圓直徑為設計變量,進行了額定動載荷和額定靜載荷最大目標下優(yōu)化設計。上述研究中未曾考慮高速運轉情況下潤滑對軸承性能的影響,優(yōu)化功能單一,難以支撐軸承產(chǎn)品的個性化設計。

基于此,筆者提出一種保證軸承承載能力最大和潤滑性能最好的多目標非線性約束問題的角接觸球軸承解決方案,通過算例驗證其有效性和可靠性,以滿足用戶多樣性和個性化需求,豐富軸承的制造樣本。

1 優(yōu)化數(shù)學模型

1.1 設計變量

角接觸球軸承的幾何尺寸參數(shù)如圖1所示。在《滾動軸承代號方法》(GB/T 272—2017)中對軸承內部結構相關的軸承節(jié)圓直徑Dm、滾動體直徑Db、滾動體個數(shù)Z、內外滾道溝曲率半徑系數(shù)fi、fo沒有進行標準化,這些參數(shù)變化對軸承性能有著重要影響,因此選取上述五個參數(shù)作為設計變量,同時為保證優(yōu)化過程能更好地滿足工程實際要求,增加滾動體最大直徑控制系數(shù)kDmax,滾動體最小直徑控制系數(shù)kDmin,軸承外環(huán)強度控制系數(shù)ε,軸承運轉控制系數(shù)e,軸承寬度控制系數(shù)ξ等與約束條件相關的變量控制系數(shù)[10]作為設計變量,因此角接觸球軸承的優(yōu)化數(shù)學模型的設計變量為

圖1 角接觸球軸承幾何尺寸參數(shù)Fig.1 The geometric dimension parameters of angular contact ball bearings

X=[Dm,Db,Z,fi,fo,kDmin,kDmax,ε,e,ξ]T=

[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10]T.

(1)

1.2 目標函數(shù)

1.2.1 基本額定靜載荷最大

滾動軸承在低速條件下工作時,基本額定靜載荷越大,說明軸承的靜強度越大,因此,為提高低速工況下軸承的工作性能,角接觸球軸承的基本額定靜載荷CS的目標函數(shù)為

maxf1(X)=min(CS,內,CS,外).

(2)

式中:CS,內,CS,外分別是內、外圈的基本額定靜載荷。

(3)

(4)

1.2.2 基本額定動載荷最大

基本額定動載荷是軸承中、高轉速工況下疲勞壽命的重要影響因素,此處采用國際上通用的Lundberg-Palmgren式[11]計算,因此對應的目標函數(shù)表達式為

(5)

1.2.3 最小油膜厚度最大

高轉速條件下工作的軸承必須考慮油膜厚度對其潤滑的影響,結合國際上通用的Hamrock和Dowson提出的軸承油膜厚度計算公式,導出的目標函數(shù)為

maxf3(X)=min(Hmin內,Hmin,外).

(6)

式中:Hmin,內、Hmin,外分別為內、外圈處的最小油膜厚度。

(7)

(8)

1.3 約束條件

1.3.1 滾動體的個數(shù)

為了確保滾動體能便利地裝配在內、外圈之間,則滾動體直徑和個數(shù)的約束條件為

(9)

1.3.2 滾動體直徑受到軸承的內外徑的限制

為保證合理裝配,滾動體直徑應由限制參數(shù)kDmax,kDmin限定,相應的約束條件為

g2(X)=2x2-x6(D-d)≥0.

(10)

g3(X)=x7(D-d)-x2≥0.

(11)

1.3.3 軸承的節(jié)圓直徑

為保證軸承中滾動體運轉良好,軸承的節(jié)圓直徑與內外徑之間的平均直徑不能相差太大,引入限制參數(shù)e確定的約束條件為

g4(X)=x1-(0.5-x9)(D+d)≥0.

(12)

g5(X)=(0.5+x9)(D+d)-x1≥0.

(13)

1.3.4 滾動體直徑

滾動體直徑受到軸承寬度的限制,則相應的約束條件為

g6(X)=x10B-x2≥0.

(14)

1.3.5 軸承外滾道處的套圈厚度

為保證軸承的強度,軸承外滾道處的套圈厚度不應小于εDb,相應的約束條件為

g7(X)=0.5(D-x1-x2)-x8x2≥0.

(15)

1.3.6 內外滾道曲率半徑系數(shù)

為保證軸承的動態(tài)承載能力,內外滾道曲率半徑系數(shù)不應小于0.515,相應的約束條件為

g8(X)=x4-0.515≥0.

(16)

g9(X)=x5-0.515≥0.

(17)

2 優(yōu)化模型的求解方法和方案排序

2.1 優(yōu)化算法選擇

上述優(yōu)化數(shù)學模型屬于3個目標函數(shù)、9個約束條件的非線性優(yōu)化問題,為了避免優(yōu)化算法需要求導和易于陷入局部最優(yōu)的不足,選用運行速度快,解集收斂性好的快速非支配排序算法NSGA-Ⅱ作為求解算法。

2.2 優(yōu)化結果的工程化處理

2.2.1 處理原則

通過上述算法可以得到大量的pareto實數(shù)解,且精確到小數(shù)點后四位有效數(shù)字,數(shù)據(jù)差異度小,不便于工程應用實施,為此需要對設計結果進行工程化處理,具體處理原則:①滾動體的個數(shù)取整;②小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字;③數(shù)值非常接近的解僅保留1個,其余剔除。

2.2.2 方案評價

采用熵權-TOPSIS法進行方案評價。熵權法計算設計變量和目標函數(shù)的權重,TOPSIS法完成方案的綜合評價,保證了權重計算結果相對客觀準確,決策層次分明,為滾動軸承產(chǎn)品的多樣化和個性化提供保證。

熵權法是一種客觀賦權的數(shù)學評價方法[12],信息熵值越小,說明該指標對綜合評價的權重也就越大。

多目標多變量問題中計算權重原理:假設將要評價的方案數(shù)為n,每個方案有m(設計變量與目標函數(shù)的數(shù)目)個指標,xij表示為第i個方案的第j個指標的數(shù)值(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)。

(1)指標歸一化處理

為了消除各個指標之間的量綱差異,將指標的絕對數(shù)值轉化為相對數(shù)值,實現(xiàn)各項不同質指標值的同質化。指標分為正向和負向,正向指標值越高,目標值越好;負向指標值越高,目標值越差。正向指標和負向指標分別由式(18)和式(19)計算。

(18)

(19)

(2)計算指標在方案中的比重

第j個指標在第i個方案值占該指標的比重為

(20)

(3)計算指標的熵值

第j個指標的熵值為

(21)

(4)計算信息熵冗余度

dj=1-ej.

(22)

(5)計算各個指標的權重

(23)

TOPSIS 法是常用的一種多目標決策方法,該方法是借助評價方案與方案正負理想解的相對距離確定的貼近度對其進行排序[13],方案相對貼近度越大,說明該方案越好。TOPSIS法在角接觸球軸承方案排序的原理詳述如下:

①構建方案和指標矩陣An×m

矩陣A中元素aij為(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)第i個方案的第j個指標的數(shù)值。

(24)

②矩陣A正向化處理為矩陣X

(25)

③矩陣X轉化為標準化Z

(26)

由此可確定最優(yōu)方案Z+(Z中每列元素的最大值構成)和最劣方案Z-(Z中每列元素的最小值構成),即

(27)

(28)

④計算各評價方案的貼近度Ci

(29)

其中,0≤Ci≤1,當Ci越接近1時,說明評價對象越優(yōu)秀。根據(jù)計算得到的Ci值大小來進行排序,得到各個方案的評價排序結果。

3 工程算例

3.1 設計條件

選用型號為7200AC角接觸球軸承,其外徑為D=30 mm,內徑為d=10 mm,軸承寬度B=9 mm,設定接觸角α=25°,軸承列數(shù)i=1,內圈轉速ni=5 000r/min,常壓下潤滑油的動力黏度為ηo=0.02 Pa·s,黏度系數(shù)為α1=10-8,楊氏彈性模量為E0=2.25×1011Pa,軸承受到的徑向載荷為Fr=5 000 N。

3.2 設計變量的取值范圍

由文獻[14]可知設計變量的取值范圍分別為:x1∈[0.5(D+d),0.6(D+d)],x2∈[0.15(D-d),0.35(D-d)],x4∈[0.515,0.6],x5∈[0.515,0.6],x6∈[0.4,0.5],x7∈[0.6,0.7],x8∈[0.3,0.35],x9∈[0.03,0.08],x10∈[0.7,0.85]。

3.3 優(yōu)化結果

根據(jù)以往NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法使用經(jīng)驗和此次優(yōu)化設計的需要,此次優(yōu)化設計設定種群大小300個,最大代數(shù)300代,交叉概率0.8,變異概率0.08,交叉分布指數(shù)為20,變異分布指數(shù)為10,隨機種子為0.5。優(yōu)化后得到圖2所示的300個Pareto解,兩兩目標之間的分析如圖3、圖4所示。

圖2 Pareto解Fig.2 The Pareto solution

圖3 目標1與目標2的分析圖Fig.3 The analysis diagram of goal 1 and goal 2

圖4 目標1與目標3的分析圖Fig.4 The analysis diagram of goal 1 and goal 3

由圖2～圖4可知,NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法與NSGA算法相比求解多個非線性約束組成的多目標函數(shù)可以快速獲得大量的非支配解,且這些解組成的Pareto前沿面更加柔順。因此,以此方法優(yōu)化可確保設計出的滾動軸承綜合性能俱佳。

3.4 結果分析

按照前述數(shù)據(jù)工程化原則,在Pareto前沿面上獲得了10組優(yōu)秀且最具實用性的多目標Pareto解方案,如表1所示。經(jīng)相應的排序算法程序運行計算得到方案的評價結果如表2所示,表2中對比的標準值是文獻[14]中相對應的數(shù)據(jù)。

表1 多目標Pareto解方案Table 1 The Pareto solution of multi-objective

表2 熵權-TOPSIS法的方案評價結果Table 2 The evaluation results of entropy-TOPSIS method

由表可知,不同的幾何尺寸對軸承的性能影響差異較大,高速重載下的軸承主要保證軸承的基本額定動載荷最大和最小油膜厚度最小,以確保其疲勞壽命更長,因此推薦使用方案3、8;低速重載條件下的軸承,要求基本額定靜載荷最大,推薦用方案1、3、8;低速輕載條件下工作的軸承,對基本額定靜載荷和基本額定動載荷要求不高,推薦用方案4、7、9;高速輕載條件下工作的軸承,基本額定動載荷要適中以確保壽命長,基本額定靜載荷要求不高,推薦用方案2、5、6、10。從工程實際來看,多樣化的數(shù)據(jù)方案豐富了滾動軸承的標準系列,而個性化評價為軸承生產(chǎn)提供了更加合適的內部尺寸方案,這樣不僅充分發(fā)揮了軸承性能,而且降低了其使用成本。

4 結 論

(1)通過NSGA-Ⅱ求解角接觸球軸承的多目標優(yōu)化模型獲得的多個方案與軸承樣本手冊中的標準值相比,在保證內徑、外徑和寬度等標準值不變的前提下,其基本額定動載荷、基本額定靜載荷均有著明顯提升,為高性能軸承設計與制造提供了有效支撐。

(2)采取熵權-TOPSIS評價方法對多個軸承方案的分析與排序,不僅為最優(yōu)方案的選擇提供依據(jù),同時可以為不同性能要求提供針對性的解決方案,豐富了軸承標準,為軸承生產(chǎn)廠商制造滿足軸承用戶的個性化需求產(chǎn)品提供有效指導。