布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)方程解析解

彭儀普,湯致遠,鄧湘洋,李 劍,李子超

(中南大學土木工程學院,湖南 長沙 410075)

在我國東部沿海部分地區(qū),地貌表現(xiàn)為全新世晚期濱海淤積平原地貌,該地區(qū)土體性質(zhì)較差,均為軟土地基。目前常用的地基處理方法有換填、強夯等加固天然地基處理方式和水泥攪拌樁等置換處理方式?；谲浲撂匦?這些地基處理方式存在適用性差、效果不明顯的特點。而通過土工織物袋或尼龍袋以及水泥等注漿液形成柱狀或葫蘆狀硬化體擠密加固土體的軟土地基處理方法受到越來越多的關(guān)注。

布袋樁由于布袋排水特性可以加快土體固結(jié),縮短工期[1],就復(fù)合地基固結(jié)理論,諸多學者對其進行了研究。1948年,R.A.Barron[2]提出了砂井地基徑向軸對稱固結(jié)理論,后續(xù)學者不斷對Barron固結(jié)理論中的假定進行修正,極大促進了砂井地基固結(jié)理論的研究。楊濤等[3]將整個復(fù)合地基視為均質(zhì)的復(fù)合材料,采用復(fù)合模量法對荷載瞬時施加和單級施加的黏結(jié)材料樁復(fù)合地基線彈性固結(jié)理論進行了研究。謝康和等[4-5]通過兩種不同的方法對復(fù)合地基固結(jié)模型進行了修正。部分學者對考慮樁體和土體發(fā)生二維變形情況下的固結(jié)理論進行了研究[6-8]。T.Yang等[9]在盧萌盟等[10-11]提出的軸對稱固結(jié)模型的基礎(chǔ)上,進一步提出未打穿不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)解析解,使對不透水樁復(fù)合地基固結(jié)問題的研究又得以拓展。D.W.Zhang等[12]按照滲透系數(shù)將塑料排水板和土體等效為均質(zhì)土體,利用K.Terzaghi[13]提出的天然地基一維固結(jié)模型計算組合樁復(fù)合地基固結(jié)度。陳蕾等[14]利用砂井地基理論研究了組合樁復(fù)合地基固結(jié)問題。

以上學者采用理論分析和試驗等方法對復(fù)合地基固結(jié)理論進行了深入研究,促進了對復(fù)合地基固結(jié)理論的認識和了解,然而其理論研究大多是基于一定的條件假設(shè)及模型簡化,對更為復(fù)雜的情況只能通過數(shù)值求解的方法進行計算。基于此,筆者針對布袋注漿樁特性,考慮土體水平滲透系數(shù)的三種模式以及附加應(yīng)力延深度的非均勻分布,首次推導(dǎo)布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)控制方程,并求出在不同加載情況下的固結(jié)解析解,為軟土地基處理的設(shè)計計算方法提供參考。

1 固結(jié)控制方程推導(dǎo)

布袋注漿樁復(fù)合地基在正方形布樁時,為方便計算,參照碎石樁復(fù)合地基,布袋注漿樁復(fù)合地基單樁分擔地處理地基面積的等效圓直徑de=1.13s,其中s為復(fù)合地基樁間距(見圖1)。

圖1 布袋樁復(fù)合地基布樁圖Fig.1 Pile layout of bag pile composite foundation

1.1 基本假定

筆者以軸對稱固結(jié)模型為基礎(chǔ)[11],樁周土體存在豎向水流,并考慮土體的水平向滲透系數(shù),且水平向滲透系數(shù)沿徑向發(fā)生變化。由于布袋注漿樁其特有屬性,樁體為不排水且樁-布袋邊界為不排水邊界,布袋-土界面為弱排水界面,所取單元的徑向外邊界即影響區(qū)邊界為不排水界面。

考慮到現(xiàn)場環(huán)境的復(fù)雜性,采用固結(jié)簡化模型(見圖2),基于以下假定:

圖2 布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)模型Fig.2 Consolidation model of composite foundation with cloth bag-grouting-pile

①樁體為不透水樁,樁體內(nèi)不存在超靜孔隙水壓力;

②布袋注漿樁所采用布袋的水平滲透系數(shù)和豎直滲透系數(shù)不變,分別為khb和kvb;

③等應(yīng)變條件成立,即樁體、布袋和土體均受側(cè)向約束,并且豎向變形相等;

④無豎向壓力作用時,常仕維等[15-17]運用修正的達西定律去描述土工織物的滲透特性,認為當流速較小時,水流進入孔隙或從孔隙流出時產(chǎn)生的局部水頭損失相對于水流通過由織物形成的孔隙時產(chǎn)生的水頭損失可以忽略,表現(xiàn)為層流。因此假定復(fù)合地基內(nèi)水的滲流和流動符合Darcy定律;

⑤外部荷載在地基中引起的平均附加應(yīng)力σ(z,t)為深度與時間的函數(shù)。

1.2 推導(dǎo)過程

筆者在進行布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)控制方程推導(dǎo)時考慮擾動效應(yīng)(涂抹效應(yīng)),將樁周土分為擾動區(qū)和未擾動區(qū),并假定擾動區(qū)土體的滲透系數(shù)小于未擾動區(qū)土體,且布袋的水平滲透系數(shù)和豎直滲透系數(shù)不變,分別為khb和kvb。根據(jù)擾動區(qū)土體滲透系數(shù)隨位置變化模式的不同,考慮擾動效應(yīng)的方法主要包括模式一、模式二、模式三(見圖3)。模式一:假定擾動區(qū)土體滲透系數(shù)保持不變,此模式為最早考慮擾動效應(yīng),造成的誤差較大,適用于擾動區(qū)較小的情況;模式二:假定擾動區(qū)土體滲透系數(shù)沿徑向線性變化;模式三:假定擾動區(qū)土體滲透系數(shù)沿徑向拋物線變化,此模式是通過大量試驗結(jié)果和實測結(jié)果擬合出來的近似變化模式。

圖3 擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)三種變化模式Fig.3 Three variation modes of soil horizontal permeability coefficient in disturbed area

復(fù)合地基水平滲透系數(shù)kr(r)和復(fù)合地基豎向滲透系數(shù)kv(r)均是一個關(guān)于徑向距離r的分段函數(shù)(見圖3、圖4),令kr(r)=khf1(r)、kr(r)=khf2(r),圖中kh為復(fù)合地基未擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)。

圖4 復(fù)合地基豎向滲透系數(shù)變化模式Fig.4 Vertical permeability coefficient variation pattern of composite foundation

根據(jù)圖2所示固結(jié)模型及布袋注漿樁樁體不透水,由等應(yīng)變假定及平衡方程可得:

(1)

豎向應(yīng)變關(guān)于時間t的偏導(dǎo)數(shù)為

(2)

式中:n為樁徑比,n=re/rc;s=rb/rc;X=Eb/Es;Y=Ec/Es。

地基土體內(nèi)、布袋內(nèi)以及布袋和土體內(nèi)的平均孔壓分別為

(3)

(4)

(5)

由式(2)和式(5)得:

(6)

由于布袋注漿樁復(fù)合地基的布袋-土界面為排水界面,而樁-布袋邊界和單元體外邊界不排水,所以得出徑向邊界條件為

(7)

根據(jù)謝康和等[18]在對稱情況下考慮土體徑向及豎向滲流時研究的固結(jié)方程作微分和積分,并結(jié)合式(7)對應(yīng)的邊界條件,得:

(8)

rb≤r≤re。

(9)

式中:kv為土體豎向滲透系數(shù);γw為水的重力密度。

將式(8)代入式(3)、式(9)代入式(4),并將兩式相減后聯(lián)合式(5)、式(6)得:

(10)

對式(8)和式(9)關(guān)于r微分,代入式(7)對應(yīng)的邊界條件,并結(jié)合式(5)、式(6)得:

(11)

其中,

將式(11)代入式(10)得:

(12)

其中,

由于地基頂面排水,底面不排水,可得豎向邊界條件為

(13)

2 固結(jié)控制方程求解

2.1 荷載瞬時加載條件下方程求解

由于在初始時刻土體和樁體沒有發(fā)生變形,將等應(yīng)變假定代入固結(jié)模型平衡方程,結(jié)合式(5)可得初始條件為

(14)

圖5 瞬時加載情況下復(fù)合地基中附加應(yīng)力隨時間變化圖Fig.5 Variation of additional stress in composite foundation with time under instantaneous loading

(15)

式中:

(16)

(17)

(18)

amλmcos(λmH)=0.

(19)

由于λm和am不能為零(否則解為零解),可知λm=M/H,M=(2m-1)π/2(m=1,2,…,),將條件帶入式(16)解出βm,將式(15)、式(17)結(jié)合式(14)可得最終解:

(20)

(21)

復(fù)合地基的固結(jié)度可以定義為

(22)

把式(14)和式(20)代入式(22),得到瞬時加載情況下的布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)度解析解:

(23)

2.2 荷載單級施加條件下方程求解

地基內(nèi)附加應(yīng)力是一個可以分離的變量,外部荷載單級施加且附加應(yīng)力沿深度呈梯形分布(見圖6),荷載非瞬時施加時,在地基內(nèi)引起的附加應(yīng)力為

圖6 荷載單級情況復(fù)合地基附加應(yīng)力隨時間和深度變化圖Fig.6 Variation of additional stresses in composite foundations with time and depth under single-stage loads

(24)

式中:σT和σB分別為最大加載值時地基頂面和底面的附加應(yīng)力值。

(25)

(26)

式中:

(27)

由初始時刻荷載為零結(jié)合式(25),可以得出滿足初始條件Tm(0)=0的解,結(jié)合式(26)、式(27),代入式(25)得到地基內(nèi)平均超靜孔壓:

(28)

本節(jié)按應(yīng)力定義的固結(jié)度來求解,布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)度按應(yīng)力可定義為任一時刻土體和布袋組合體內(nèi)的有效應(yīng)力和最終荷載即總應(yīng)力之比,即:

(29)

通過聯(lián)合式(5)、靜力平衡方程和等應(yīng)變假定可得:

(30)

(31)

式中:Ez為布袋和土體組合體的等效壓縮模量,G=Ec/Ez=(n2-1)Y/[n2-s2+(s2-1)X]。

(32)

3 解的驗證

筆者根據(jù)布袋注漿樁的特性,采用新的求解方法及表達形式推導(dǎo)了布袋注漿樁復(fù)合地基在荷載瞬時施加和單級施加情況下的解析解,并且采用退化解與已有解的比較來對解析解的正確性進行驗證。將常數(shù)A、C、D、F代入式(9)可解出βm的具體表達式為

(33)

式中:

令rb=rc,即不考慮布袋的影響作用,此時s=1,kvb=kv,將其代入到式(33)可得βm為

(34)

將s=1、kvb=kv代入式(32),可得到固結(jié)度解答退化為

(35)

式(35)與式(34)即為盧萌盟等[20]給出的單級荷載下附加應(yīng)力沿深度非均勻分布的不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)解答。

令σB=σT,式(35)退化為

(36)

式(34)和式(36)即為盧萌盟等給出的單級荷載下附加應(yīng)力沿深度均勻分布的不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)解答。

令tc→0,則式(36)中t≥tc對應(yīng)的固結(jié)度解答退化為

(37)

式(34)和式(37)即為盧萌盟等給出的瞬時荷載下不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)解答。也驗證了筆者給出的瞬時荷載下布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)解的正確性。

如果令n→∞(即rc→0),假設(shè)狀體不存在,則式(34)的βm退化為

(38)

式(37)和式(38)即為Terzaghi一維固結(jié)解。顯然,經(jīng)過四重退化(rb=rc,σB=σT,tc→0和n→∞)即可退化為Terzaghi一維固結(jié)解。

4 復(fù)合地基固結(jié)特性分析

為分析影響布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)的參數(shù),對固結(jié)解答做進一步探討,筆者采用控制變量法和取特殊值法,通過函數(shù)圖形的比較,在六種不同參數(shù)的工況條件下對固結(jié)的影響進行分析,以期更為直觀地對布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)性狀進行研究。文中取H=22 m,rc=0.2 m,布袋注漿樁復(fù)合地基樁間距為1.3 m,其余參數(shù)見表1。

4.1 布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)度分析

對式(23)進行分析,繪出在瞬時加載時,擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)保持不變情況下(模式一),布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)度與加載時間(U-lgt)的曲線(工況一)如圖7所示,并與Terzaghi天然地基固結(jié)解、盧萌盟等[10]給出的散體材料樁復(fù)合地基和一般不透水樁復(fù)合地基固結(jié)解進行地基固結(jié)速率的比較。其中,取布袋樁滲透系數(shù)kvb=0.864 m/d,土體的滲透系數(shù)kv=8.64×10-5m/d,為了使曲線對比更加直觀,取散體材料樁的滲透系數(shù)kc=0.864 m/d。

圖7 四種地基形式的固結(jié)速率比較Fig.7 Comparison of consolidation rates of four foundation forms

由圖7可知,在樁體壓縮模量相同的前提下,四者的固結(jié)速率:散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)速率遠大于不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率,不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率遠大于天然地基,而布袋注漿樁由于布袋的排水作用,其復(fù)合地基固結(jié)速率遠大于一般不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率,模式二和模式三結(jié)果相似。但在工程應(yīng)用中,布袋注漿樁并不以加速地基土固結(jié)為主要目的,而是為了提高地基承載力和減小地基沉降。

對式(32)進行分析,分別取σT/σB=0,σT/σB=0.4,σT/σB=1,σT/σB=2.5,σT/σB→∞進行布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)度的計算。在荷載單級線性施加時,模式一情況下復(fù)合地基中附加應(yīng)力分布形式對固結(jié)度的影響(工況二)如圖8所示。從圖中曲線可以看出,地基固結(jié)隨著地基頂面和底面的附加應(yīng)力比值的增大而加快。因為假定排水面設(shè)置在地基表面時,接近排水面處的附加應(yīng)力越大,地基固結(jié)越快。

圖8 附加應(yīng)力分布形式對固結(jié)的影響Fig.8 Effect of additional stress distribution on consolidation

圖9為擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈模式二變化時,加載歷時對地基固結(jié)的影響(工況三)。從圖中可知,加載歷時越長,荷載施加得越慢,固結(jié)也就越慢。

圖9 加載歷時對固結(jié)的影響Fig.9 Effect of loading elapsed on consolidation

圖10為擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈模式二變化時,布袋注漿樁復(fù)合地基布袋滲透系數(shù)對地基固結(jié)的影響(工況四),分別取kvb=0.216 m/d,kvb=0.432 m/d,kvb=0.864 m/d,kvb=1.296 m/d,kvb=1.728 m/d進行計算。從圖中可以看出,地基固結(jié)速率隨著布袋滲透系數(shù)的增大而加快;當布袋滲透系數(shù)增大到一定程度,復(fù)合地基固結(jié)速率減緩,此時布袋滲透系數(shù)對地基的固結(jié)速率產(chǎn)生的影響很小,因此在設(shè)計布袋注漿樁復(fù)合地基時應(yīng)合理選擇布袋類型。

圖10 布袋滲透系數(shù)對地基固結(jié)的影響Fig.10 Effect of cloth bag permeability coefficient on foundation consolidation

4.2 布袋注漿樁復(fù)合地基孔壓分析

圖11 某一時刻地基平均孔壓沿深度分布形式Fig.11 The average pore pressure of the foundation at a certain time is distributed along the depth

圖12為擾動區(qū)土體水平滲透系數(shù)呈模式二變化時,布袋注漿樁復(fù)合地基在單級線性加載情況下,加載歷時對地基內(nèi)平均孔壓消散的影響(工況六),分別取tc=0,tc=5 d,tc=10 d,tc=20 d,tc=50 d,z/H=0.5進行復(fù)合地基平均孔壓計算。從圖中可以看出,當荷載非瞬時施加時,孔壓首先由零逐漸增大,當荷載施加到最終荷載時,孔壓也同時達到最大,隨后開始減小直至孔壓最終消散為零。另外隨著加載歷時增加,地基內(nèi)的最大孔隙水壓力值變小,因此為了減小地基內(nèi)產(chǎn)生較大的孔隙水壓力而導(dǎo)致的滲流破壞,可考慮采用減緩加載速率的方式來使荷載達到最終值。

圖12 加載歷時對地基內(nèi)平均孔壓消散的影響Fig.12 Effect of loading time on average pore pressure dissipation in the foundation

5 結(jié) 論

(1)在計算條件相同的情況下,散體材料樁復(fù)合地基的固結(jié)速率大于布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)速率,布袋注漿樁復(fù)合地基固結(jié)速率大于不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率,不透水樁復(fù)合地基的固結(jié)速率遠大于天然地基。

(2)地基固結(jié)隨著地基頂面和底面的附加應(yīng)力比值的增大而加快,且接近地表的附加應(yīng)力越大,固結(jié)越快。

(3)加載歷時對地基固結(jié)的影響較大,加載歷時越長,荷載施加得越慢,固結(jié)也越慢;外部荷載瞬時施加,此時地基固結(jié)最快,然而加載歷時越久,地基內(nèi)的最大孔隙水壓力值越小。