基于自適應模型預測控制的高速行駛工況下車輛軌跡跟蹤控制

徐偉瑞

（重慶交通大學，重慶 400074）

1 前言

軌跡跟蹤是智能車輛控制的核心技術之一。目前，智能汽車在軌跡跟蹤過程中普遍存在高速工況下跟蹤精度降低的問題，嚴重時會發(fā)生側偏、滑移，甚至引發(fā)事故[1-2]。為提高車輛穩(wěn)定性，將橫擺角速度和側偏角作為約束控制目標可以防止車輛失穩(wěn)或者偏離行駛軌跡[3]。傳統(tǒng)的模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）算法往往采用固定的預測步長，且無法對車輛側偏剛度進行估計，車輛在中低速工況下進行軌跡跟蹤時只考慮側向位置偏差和橫擺角偏差等即可滿足跟蹤精度要求，而車輛在高速工況下跟蹤具有一定曲率的軌跡時，由于側偏角較大，用于中低速軌跡跟蹤的控制算法往往無法取得理想效果，反而可能帶來側偏、滑移、甩尾甚至側翻等危險[4]。

針對車輛高速行駛工況下的操縱穩(wěn)定性和跟蹤精度控制問題，研究人員提出了多種控制方法：王玉瓊等[5]以高速行駛時車輛航向角和側向位置偏差趨近于零為控制目標，提出后輪側偏角自抗擾控制算法，以提高車輛的穩(wěn)定性；柳亞子等[6]提出了基于輪胎側向附著力實現(xiàn)前輪轉角自適應的控制策略；路宏廣等[7]為實現(xiàn)車輛橫、縱向綜合跟蹤控制，通過引入線性變參數模型來反映縱向速度對軌跡跟蹤的影響，使預測模型自適應調節(jié)其參數，從而提高車輛跟蹤性能；查云飛等[8]提出基于橫擺角速度穩(wěn)態(tài)增益修正系數的單點預瞄模型和線性轉向控制系統(tǒng)，以提高車輛行駛穩(wěn)定性。上述文獻采用不同算法對車輛軌跡跟蹤問題進行研究，但均未考慮不同附著系數路面對跟蹤精度和穩(wěn)定性的影響以及如何應對高速工況下預測步長不足帶來的風險問題。

本文基于車輛高速行駛工況，通過對輪胎側偏剛度在線估算并實時更新控制器中的相關參數，同時采用不定步長（Non-Fixed Step，NFS）離散化方法設計多約束自適應模型預測控制（Adaptive Model Predictive Control，AMPC）算法，提高高速行駛工況下車輛在不同附著系數路面上行駛時的軌跡跟蹤精度，并有效保證車輛的操縱穩(wěn)定性。

2 智能車輛模型

本文通過控制車輛前輪轉角實現(xiàn)軌跡跟蹤。在不計空氣動力學和車輛懸架影響的條件下，建立高速行駛時車輛三自由度動力學模型，如圖1所示。其中，o-xyz為車身坐標系，O-XYZ為大地坐標系，F(xiàn)lf_l、Flf_r、Flr_l、Flr_r、Fcf_l、Fcf_r、Fcr_l、Fcr_r分別為車輛左前輪、右前輪、左后輪、右后輪受到的縱向力和左前輪、右前輪、左后輪、右后輪受到的側向力，a、b、c分別為車輛質心與前、后軸的距離和半軸長度。

圖1 車輛三自由度模型

車輛的動力學方程為：

式中，m為車輛質量分別為縱向加速度和縱向速度分別為橫向加速度和橫向速度；IZ為車輛繞Z軸的轉動慣量分別為橫擺角加速度和橫擺角速度；Fxf_l、Fxf_r、Fxr_l、Fxr_r分別為車身坐標系下左前輪、右前輪、左后輪、右后輪受到的x方向的力；Fyf_l、Fyf_r、Fyr_l、Fyr_r分別為車身坐標系下左前輪、右前輪、左后輪、右后輪受到的y方向的力。

輪胎縱向力和側向力分別為：

式中，Clf、Clr分別為前、后輪的縱向剛度；Ccf、Ccr分別為前、后輪的側偏剛度；slf、slr分別為前、后輪縱向滑移率；αf、αr分別為前、后輪側偏角。

車身坐標系與大地坐標系之間的運動學轉換關系為：

前、后輪側偏角為：

對車輛前輪轉角作小角度假設，有：

忽略前輪驅動力對車輛橫擺運動的影響，則有：

得到車輛動力學模型為：

車輛狀態(tài)量ξ和控制量u分別為：

式中，(X,Y)為車輛在大地坐標系中的坐標。

3 自適應模型預測控制器

3.1 側偏剛度估計

輪胎側偏剛度對高速工況下車輛的操縱穩(wěn)定性存在顯著影響，作為反映車輛性能的核心參數之一，對其進行在線估算并實時反饋給車輛動力學模型，同時在控制器中進行實時更新，可以提高車輛對不同附著系數路面的適應性[9]。張志達等[10]通過橫向加速度和橫擺角速度對車輪橫向力進行估算，將計算值與其估計值求差得到側偏剛度影響系數，從而實現(xiàn)MPC 參數的自適應；Dasol Jeong 等[11]采用雙線性時變（Linear Time-Varying，LTV）卡爾曼濾波器估計側偏剛度，提高了車輛控制精度。

輪胎側偏角對汽車附著系數、滑移率、側偏力等均有重要影響。由式（2）所知：當輪胎側偏角處于小角度時，輪胎側偏剛度對側偏力的影響較大，輪胎側偏力與側偏角呈線性關系；當輪胎側偏角較大，超過安全范圍時，車輛載荷會向外偏移，輪胎與地面接觸區(qū)域會偏向一側，其轉向特性受到影響，車輛操縱穩(wěn)定性變差，會發(fā)生失穩(wěn)甚至側偏，并加重輪胎磨損，降低輪胎使用壽命。為保障汽車操縱穩(wěn)定性和安全性，本文利用側偏角、側偏力和側偏剛度的關系，采用帶遺忘系數的遞推最小二乘法（Recursive Least Square，RLS）對輪胎側偏剛度進行估計，并實時更新車輛動力學模型中的參數，以實現(xiàn)控制器中參數的自適應。

輪胎側偏力和側偏剛度的回歸方程為：

式中，Ym(k)為輸出向量，即側偏力；φ(k)為側偏角回歸向量；Φ(k)為待估計的參數向量，即側偏剛度；e(k)為噪聲向量。

為使實際值與估計值的平方差最小，建立代價函數：

式中，λm為遺忘系數；N為對應觀測數據長度為模型參數估計值。

將J極小化，即對求偏導，使其為0，在第k步可得：

設遞推增益為：

經計算可得側偏剛度估計的RLS遞推公式為：

式中，E為單位矩陣。

3.2 預測模型及其約束

由式（3）、式（7）、式（8）可得車輛動力學線性狀態(tài)空間方程為：

要實現(xiàn)高速工況下跟蹤控制的實時性與穩(wěn)定性，一方面需要采用較高精度的動力學模型，另一方面需要更長的預測距離來提前規(guī)避障礙危險。固定預測步長無法滿足需求，本文采用不定步長的離散化方法[12]調整AMPC 的預測時域步長，增大預測距離，即將預測時域步長分為短步長Ts和長步長Tl，以保證車輛動力學線性模型離散化后的預測精度，獲得MPC的理想控制效果。

常用的狀態(tài)空間離散化方法有歐拉法和零階保持法，為提高算法的控制精度和保證高穩(wěn)定性，本文選取零階保持法。在短步長階段，即k=0,1,…,Ns時，以Ts為預測步長，將連續(xù)線性化動力學狀態(tài)空間通過Z變換進行離散化，以更精確地擬合原曲線。在長步長階段，即k=Ns+1,…,Np（其中Np為預測時域）時，以Tl為預測步長，如圖2 所示，由于零階保持法會使該預測周期范圍內的控制量在較長步長內表現(xiàn)為常值，導致控制精度降低，如果在長步長時仍采用階梯式的采樣保持，誤差會相對增大，因此在長步長階段擬采用具有一定斜率的一階保持法，使控制精度相對提升。

圖2 不定步長離散化方法

離散后的動力學狀態(tài)空間為：

式中，As=I+TsA、Al=I+TlA分別為短步長和長步長下的狀態(tài)量矩陣；Bs=TsB為短步長下的控制量矩陣,；Bl1=分別為長步長下的狀態(tài)量矩陣和控制量矩陣；Cd為輸出矩陣；ω(k)為噪聲矩陣。

輸出矩陣Cd輸出橫擺角和橫向位移：

3.3 穩(wěn)定性約束

為了分析高速行駛時車輛的穩(wěn)定性，可通過建立包絡線約束[13]來描述車輛的操縱穩(wěn)定性。如吳西濤等[14]為探索車輛前輪轉角與車輛穩(wěn)定性的關系，建立了車輛橫擺角速度與質心側偏角的關系曲線。由于高速行駛時基于橫擺角速度-側向速度的相平面能夠很好地體現(xiàn)車輛的滑移、橫擺和側偏角特性，可通過控制車輛前輪主動轉向來保證車輛的行駛穩(wěn)定性。如圖3 所示，以包絡線相平面限定車輛橫擺角速度和橫向速度控制極限，以保證車輛在各工況下行駛的極限穩(wěn)定狀態(tài)。

圖3 穩(wěn)定性包絡線

為在保證操縱穩(wěn)定性的前提下，實現(xiàn)較高精度的軌跡跟蹤控制，需要車輛側向位移誤差和橫擺角誤差足夠小，并保證車輛前輪轉角變化率盡量小，令：

另一方面，如3.2 節(jié)所述，車輛后輪側偏角的約束范圍也是影響車輛穩(wěn)定性的重要參數之一，可通過控制該范圍來控制包絡線約束。根據式（4）可得車輛后輪側偏角αr的約束范圍，橫擺角速度φ?的約束范圍為：

由后輪側偏角約束范圍可得側向速度與橫擺角速度關系：

由式（19）和式（20）組成如圖3所示的滑移橫擺穩(wěn)定性包絡線。由式（19）可知，橫擺角速度只與側偏角和縱向速度有關，而與側向速度無關，穩(wěn)定性包絡線中上、下界為平行于橫軸的直線；由式（20）和式（21）可知，側向速度的邊界大小與橫擺角速度呈正線性相關，側向速度越小，橫擺角速度越小，車輛越穩(wěn)定。

3.4 目標函數

目標函數及其約束條件為：

式中，ηref為參考軌跡向量；Nc為控制時域；ρ為權重系數；ε為松弛因子；Q、R為權重矩陣；umin、umax分別為最小、最大前輪轉角；umin、umax分別為最小、最大前輪轉角增量分別為橫向位移及最小、最大橫向位移；ε為最大松弛因子。

式（22）的第1項以實際軌跡與參考軌跡之間的偏差體現(xiàn)軌跡跟蹤精度；第2 項為系統(tǒng)在控制時域內對控制增量的累加，表現(xiàn)為對平順性與穩(wěn)定性的要求；第3項為松弛因子，其作用是避免在控制周期內目標函數無法求解的情況發(fā)生。

4 仿真分析

基于CarSim 和MATLAB/Simulink 聯(lián)合仿真平臺，在復雜工況下，對設計的基于NFS 并考慮滑移、前輪轉角、側偏角、橫向偏差、道路邊界等多約束的AMPC 方法進行仿真驗證，并將所設計的控制算法與傳統(tǒng)固定步長和側偏剛度的控制算法進行對比。

本文主要選取高、低附著系數條件下不同車速工況，車輛跟蹤的參考軌跡為長距離大角度彎道的雙移線軌跡，如圖4所示。

圖4 參考雙移線軌跡

4.1 高附著系數不同車速工況

在附著系數為0.85 的路面上，分別以70 km/h、90 km/h、120 km/h的車速進行聯(lián)合仿真，仿真結果如圖5~圖8所示。與傳統(tǒng)采用固定預測步長和無側偏剛度估計的MPC算法進行控制效果對比，結果如圖9所示。

圖5 軌跡跟蹤對比

由圖5 和圖6 可知，在不同速度條件下，車輛的軌跡跟蹤精度均較高，側向位置偏差保持在0.25 m以內，車輛彎道行駛時跟蹤誤差相對較大，直線軌跡跟蹤時精度最高；由圖7可知，高速車輛的前輪轉角均控制在其飽和約束范圍內；由圖8可知，不同車速的橫擺角速度-側向速度曲線均處于滑移包絡線內，車輛具有較高的操縱穩(wěn)定性，且車速越低越穩(wěn)定。由圖9 可知，傳統(tǒng)的MPC 算法在高速工況下進行軌跡跟蹤時容易失穩(wěn)，本文所設計的AMPC 算法高速工況下跟蹤誤差小，能有效進行軌跡跟蹤。

圖6 側向位置偏差

圖7 前輪轉角

圖8 不同車速下橫擺角速度與側向速度的關系

圖9 傳統(tǒng)MPC算法與AMPC算法跟蹤結果對比

4.2 低附著系數路面不同車速工況

在附著系數為0.5 的路面上，分別以70 km/h、90 km/h、120 km/h 的車速進行聯(lián)合仿真，仿真結果如圖10~圖13所示。

圖10 軌跡跟蹤對比

由圖10 和圖11 可知，側偏剛度的實時估計和控制器不定步長離散化設計使得車輛適應低附著系數路面工況下的行駛，其軌跡跟蹤精度也較高，側向位置偏差保持在0.3 m 以內；由圖12可知，車輛前輪轉角保持在其約束范圍內；由圖13 可知，車輛橫擺角速度和側向速度仍處于包絡線內，車輛整體仍具有較好的操縱穩(wěn)定性。

圖11 側向位置偏差

圖12 前輪轉角

圖13 不同車速下橫擺角速度與側向速度的關系

以上仿真結果表明，本文提出的方法在高速行駛工況下車輛軌跡跟蹤中可適應不同附著系數路面條件，具有較強魯棒性，并能有效避免高速行駛時車輛的滑移失穩(wěn)，保障操縱穩(wěn)定性和軌跡跟蹤精度。

5 結束語

針對高速工況下車輛在不同附著系數路面條件下的軌跡跟蹤問題，本文對高速車輛的輪胎側偏剛度進行在線估計并實時更新模型預測控制算法中的控制參數，實現(xiàn)其自適應，在離散化時改變常規(guī)條件下模型預測控制算法的預測時域固定步長為不定步長，設計成短步長和長步長來增大預測步長，同時，為保證車輛行駛時的穩(wěn)定性，對高速車輛添加橫擺角速度約束和側偏角約束，從而保障了高速工況下車輛的控制精度和穩(wěn)定性要求。