對2023 年四省聯(lián)考第16 題的探索

江西省上饒中學(334600) 俞 振

2023 年為加強教考銜接,實現(xiàn)平穩(wěn)過渡,教育部教育考試院命制了適應性測試卷,教育部新課標四省聯(lián)考(云南、吉林、黑龍江、安徽)于2023 年2 月23-24 日舉行,試題創(chuàng)意新穎,難度大,現(xiàn)就第16 題嘗試探索解題思路及備考方案.

題目(2023 年四省聯(lián)考第16 題)下圖為一個開關陣列,每個開關只有“開”和“關”兩種狀態(tài),按其中一個開關1 次,將導致自身和所有相鄰的開關改變狀態(tài). 例如,按(2,2)將導致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態(tài). 如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關的最少次數為____.

解法1設該開關陣列的原始狀態(tài)為

記為A0=(0,0,0,0,0,0,0,0,0).

若依次按下(1,1),(1,2),(1,3),則狀態(tài)情況分別變?yōu)?

狀態(tài)變化分別記為A1= (1,1,0,1,0,0,0,0,0),A2=(1,1,1,0,1,0,0,0,0),A3=(0,1,1,0,0,1,0,0,0).

易見,若某開關連按兩次,則還原為初始狀態(tài),故最多只需按1 次. 以下同理.

若依次按下(2,1),(2,2),(2,3),則狀態(tài)情況分別變?yōu)?

狀態(tài)變化分別記為A4= (1,0,0,1,1,0,1,0,0),A5=(0,1,0,1,1,1,0,1,0),A6=(0,0,1,0,1,1,0,0,1).

若依次按下(3,1),(3,2),(3,3),則狀態(tài)情況分別變?yōu)?

狀態(tài)變化分別記為A7= (0,0,0,1,0,0,1,1,0),A8=(0,0,0,0,1,0,1,1,1),A9=(0,0,0,0,0,1,0,1,1).

最終的狀態(tài)(題目中的目標狀態(tài))應是

記為A10= (1,0,0,0,0,0,0,0,0). 則原問題轉化為經過怎樣的變化, 狀態(tài)可以從A0到A10. 設Ai的變化次數為ai,i=1,2,···,9,則ai∈{0,1}.

可得方程組

解得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0,a5=0,a6=1,a7=1,a8=1,a9=0,即按下(1,1),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)各一次即可,順序可變,故最少需要5 次.

注記考慮到對稱性,不妨令a1=1,由a1+a2+a4=1,得a2=0,a4=0,由a2+a3+a6=2,則a3=1,a6=1,由a4+a7+a8=2,得a7=1,a8=1,即可得a5=0,a9=0,可較快解出結果.

此題重在考查數學建模思想,把狀態(tài)變化問題轉化為方程組的解問題,是一道非常有特色的題,如果用列舉法,得碰運氣.

解法2考慮到在考試時不可能有較多時間詳細分析,故可以從問題的對稱性開始. 設該開關陣列的原始狀態(tài)為

考慮到圖形關于對角線對稱,故先按(1,1),則為

注意到按關于對角線對稱的兩個開關,不影響對角線的狀態(tài),故再按(3,1)和(1,3),得

思考題右圖為一個開關陣列,每個開關只有“開”和“關”兩種狀態(tài),按其中一個開關1 次, 將導致自身和所有相鄰的開關改變狀態(tài). 例如, 按(2,2)將導致(1,2),(2,1),(2,2),改變狀態(tài). 如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關的最少次數為_____.

若依次按下(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),則狀態(tài)情況分別變?yōu)?/p>

狀態(tài)變化分別記為A1= (1,1,1,0),A2= (1,1,0,1),A3=(1,0,1,1),A4=(0,1,1,1).

易見,連按兩次,則還原為初始狀態(tài),故最多只需按1 次.

全部相加可得,3(a1+a2+a3+a4)=7,可知無整數解. 即原問題無解.

由此可類比得: 偶數階問題無單狀態(tài)變化解. 奇數階問題存在最小次數解.