一種采用平行接近策略的三維制導(dǎo)律

王亞鋒，喻夏瓊，范開國，徐東洋

（32021部隊，北京 100094）

0 引言

導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計一般采用兩種思路：一是通過小量假設(shè)解耦俯仰、航向和滾轉(zhuǎn)三通道，分別設(shè)計制導(dǎo)律；二是三通道整體設(shè)計?，F(xiàn)有制導(dǎo)律設(shè)計方法主要包括兩類：一是追蹤法[1]、平行接近法、三點法[2]和比例導(dǎo)引法[3-8]等經(jīng)典方法；二是應(yīng)用最優(yōu)理論[9]、變結(jié)構(gòu)理論[10]、模糊理論[11]、自適應(yīng)理論[12]等現(xiàn)代方法。有些現(xiàn)代方法由于充分考慮了自動駕駛儀特性[13-14]和末端約束（時間、角度、速度等）[15-16]，引起了大量學(xué)者的關(guān)注。從理論上講，平行接近法是最優(yōu)接近策略，但受限于硬件條件，實現(xiàn)難度很大。工程上，主要采取比例導(dǎo)引法，導(dǎo)彈法向、側(cè)向加速度指令分別成比例于視線仰角速率和視線偏轉(zhuǎn)角速率。但是，傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法所生成的彈道角并不是最優(yōu)的，因為平行接近策略下，最優(yōu)彈道角是由導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對位置關(guān)系和運(yùn)動狀態(tài)唯一確定的。

本文提供了1種采用平行接近策略的導(dǎo)彈三維制導(dǎo)律設(shè)計方法。該方法基于導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對位置關(guān)系和運(yùn)動狀態(tài)，計算得到最優(yōu)彈道角。運(yùn)用反饋線性化方法，設(shè)計期望彈道偏角速率和期望彈道傾角速率，轉(zhuǎn)換得到最終的三維制導(dǎo)指令。通過對最優(yōu)彈道角的逼近，控制導(dǎo)彈與目標(biāo)平行接近，實現(xiàn)導(dǎo)彈對目標(biāo)的打擊。

1 導(dǎo)彈的動力學(xué)方程

彈道坐標(biāo)系下，導(dǎo)彈的動力學(xué)方程為：

式（1）中：m為導(dǎo)彈質(zhì)量；v為導(dǎo)彈速度；P為導(dǎo)彈發(fā)動機(jī)推力；G為導(dǎo)彈所受的重力；X為導(dǎo)彈所受的阻力；Y為導(dǎo)彈所受的升力；Z為導(dǎo)彈所受的側(cè)向力；α為攻角；β為側(cè)滑角；γv為速度傾斜角；ψv為彈道偏角；θ為彈道傾角。

2 相對運(yùn)動模型

導(dǎo)彈運(yùn)動學(xué)方程為：

彈目相對運(yùn)動方程為：

3 平行接近策略的實現(xiàn)思路

則導(dǎo)彈最終將與目標(biāo)遭遇，即R→0。

式（5）中，

為比例系數(shù)，滿足k1<0,k2<0,k3<0。

不難看出，當(dāng)k1=k2=k3=k時，導(dǎo)彈對目標(biāo)的追蹤策略就是平行接近法，k即待求的平行接近速率。顯然，采用平行接近法時，導(dǎo)彈速度矢量須滿足：

式（7）中，目標(biāo)速度矢量vTar和彈目視線R由導(dǎo)彈導(dǎo)引頭或我方其他平臺的觀測數(shù)據(jù)通過濾波算法得到。理想情況下，若導(dǎo)彈速度矢量v的兩方面都是可控的，即速度大?。ㄓ蓈表征）和速度方向（由ψv、θ表征）可控，則可實現(xiàn)：t→+∞時，R→0。

但是，導(dǎo)彈速度v通過改變發(fā)動機(jī)推力P的大小實現(xiàn)，彈道偏角ψv和彈道傾角θ通過操縱導(dǎo)彈的舵偏實現(xiàn)。通常情況下，因硬件條件所限，發(fā)動機(jī)推力大小是個分段常值，開機(jī)為額定推力值，關(guān)機(jī)為0。有些導(dǎo)彈會在突防階段加力，但也只能階躍式加力，無法實現(xiàn)連續(xù)性大小調(diào)節(jié)。所以，在制導(dǎo)律設(shè)計中，可認(rèn)為導(dǎo)彈速度是不可控的，導(dǎo)彈對目標(biāo)的追蹤只通過操縱舵偏實現(xiàn)。

v=vTar-kR的成立包含兩個方面：大小一致和方向一致。從大小一致方面講，由于導(dǎo)彈速度和目標(biāo)速度不可控，只能通過平行接近速率k的設(shè)計滿足；從方向一致方面講，在設(shè)計好k以后，通過控制導(dǎo)彈的速度方向（彈道偏角ψv和彈道傾角θ）實現(xiàn)。

平行接近策略分4步實現(xiàn)：第1步，計算平行接近速率k，以滿足大小一致；第2步，計算彈道偏角ψv和彈道傾角θ的期望值，以滿足方向一致；第3 步，設(shè)計彈道偏角速率和彈道傾角速率的期望值；第4步，轉(zhuǎn)換得到過載指令。

4 平行接近速率的求取

平行接近速率k通過滿足大小一致條件求取：

a存在2個實數(shù)解：

k的實部為負(fù)，導(dǎo)彈可以擊中目標(biāo)；當(dāng)vTar≥v、vTar?R≥0 時，k不存在實部為負(fù)的根，導(dǎo)彈無法擊中目標(biāo)。

5 期望彈道偏角和彈道傾角的求取

6 過載指令的設(shè)計

得到彈道偏角和彈道傾角的期望值后，對比當(dāng)前實際彈道偏角和彈道傾角，通過反饋線性化方法求取得到彈道偏角速率和彈道傾角速率的期望值C(θ? )、C(ψ?v)：

式（16）中，nψv,max為側(cè)向過載限幅。

7 仿真算例

以某型空空導(dǎo)彈為例，參數(shù)設(shè)置如下。

初始位置：

圖1 彈道角度變化曲線（情況1）Fig.1 Change curve of trajectory angle in case 1

圖2 過載指令（情況1）Fig.2 Overload command in case 1

圖3 彈目相對運(yùn)動示意圖（情況1）Fig.3 Relative motion of missile and target in case 1

這種情況表示目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動，速度大于導(dǎo)彈速度，彈道角設(shè)置為與導(dǎo)彈作相向運(yùn)動。圖4～6 顯示了這種情況下，導(dǎo)彈依然能夠按照平行接近策略擊中目標(biāo)，原因是導(dǎo)彈與目標(biāo)的相向運(yùn)動，使得平行接近速率k仍然存在負(fù)實數(shù)解。但是，與情況1相比，導(dǎo)彈在調(diào)整彈道角時需要的過載更大一些。

圖4 彈道角度變化曲線（情況2）Fig.4 Change curve of trajectory angle in case 2

圖5 導(dǎo)彈過載指令（情況2）Fig.5 Overload command in case 2

圖6 彈目相對運(yùn)動示意圖（情況2）Fig.6 Relative motion of missile and target in case 2

這種情況表示目標(biāo)中途發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈后，機(jī)動調(diào)整方向，加速逃離。從圖7 可以看出，除了初始時刻以外，導(dǎo)彈在t=50 s 時刻也在調(diào)整彈道角，原因是此時目標(biāo)在作機(jī)動逃離。圖8顯示了與其對應(yīng)的過載指令。整個過程中，由于目標(biāo)速度一直小于導(dǎo)彈速度，平行接近速率k的負(fù)實數(shù)解始終存在，所以導(dǎo)彈仍然能夠按照平行接近策略擊中目標(biāo)，如圖9所示。

圖7 彈道角度變化曲線（情況3）Fig.7 Change curve of trajectory angle in case 3

圖8 導(dǎo)彈過載指令（情況3）Fig.8 Overload command in case 3

圖9 彈目相對運(yùn)動示意圖（情況3）Fig.9 Relative motion of missile and target in case 3

情況4與情況2的相同之處在于目標(biāo)都是作勻速直線運(yùn)動且速度大于導(dǎo)彈速度。不同之處：情況2 里的導(dǎo)彈與目標(biāo)作相向運(yùn)動；而情況4 的導(dǎo)彈與目標(biāo)卻是作背向運(yùn)動，導(dǎo)致無法得到平行接近速率k的負(fù)實數(shù)解，平行接近策略失效。

通過以上4 種情況的仿真測試可知，當(dāng)目標(biāo)速度小于導(dǎo)彈速度時，不管導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始相對位置是何種情況，目標(biāo)如何作機(jī)動，導(dǎo)彈均能按照平行接近策略擊中目標(biāo)。但是，當(dāng)目標(biāo)速度大于導(dǎo)彈速度時，導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)就與導(dǎo)彈與目標(biāo)的初始相對位置以及初始相對運(yùn)動關(guān)系息息相關(guān)，關(guān)鍵在于平行接近速率k是否存在負(fù)實數(shù)解。

8 結(jié)論

通過導(dǎo)彈與目標(biāo)的位置關(guān)系和運(yùn)動狀態(tài)，計算彈目平行接近速率，以不同情況分析平行接近速率是否存在負(fù)實數(shù)解。當(dāng)存在負(fù)實數(shù)解時，意味著滿足采用平行接近策略的條件，導(dǎo)彈可擊中目標(biāo)。得到平行接近速率后，計算得到導(dǎo)彈的期望彈道偏角和期望彈道傾角。運(yùn)用反饋線性化方法，設(shè)計了導(dǎo)彈的期望彈道偏角速率和期望彈道傾角速率，經(jīng)轉(zhuǎn)換得到導(dǎo)彈的縱向和橫向過載指令。該方法無須采用小量假設(shè)解耦俯仰、航向和滾轉(zhuǎn)三通道，直接設(shè)計了三維平行接近制導(dǎo)律，為平行接近策略的實現(xiàn)和現(xiàn)有比例導(dǎo)引法的改進(jìn)提供了參考思路。最后，通過仿真測試，以不同情況的測試結(jié)果驗證了該方法的有效性。