基于平鋪剛度法的弧形加筋板的輕量化設(shè)計(jì)

劉宸宇, 駱烜赫, 劉康翔, 孟 增, 肖 山

(1. 合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院, 合肥 230009;2. 中國航空工業(yè)集團(tuán)有限公司 沈陽飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所, 沈陽 110034)

0 引 言

加筋板具有較高的比強(qiáng)度和剛度,因此在航空航天工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用．結(jié)構(gòu)屈曲是加筋薄板的主要破壞形式,所以如何準(zhǔn)確地預(yù)測屈曲承載力具有十分重要的工程意義．截至目前,加筋板的穩(wěn)定性問題已經(jīng)得到了較多理論和試驗(yàn)上的研究．面向四邊簡支的加筋薄板,王偉和吳梵[1-2]通過線彈性理論求解了其整體屈曲臨界應(yīng)力．李彥娜和董科[3]深入研究了鋁合金加筋板的軸壓極限強(qiáng)度．伴隨計(jì)算機(jī)性能的快速發(fā)展,有限元方法由于其方便和精度高的優(yōu)勢(shì)迅速得到普及．與此同時(shí),面向加筋板結(jié)構(gòu)的有限元力學(xué)性能分析方法也受到了工程界的青睞．張振興等[4]對(duì)矩形薄板脫層約束的屈曲現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬,通過建立精細(xì)化有限元模型獲得了相應(yīng)結(jié)構(gòu)的屈曲承載極限．朱菊芬等[5]為進(jìn)一步分析層合板殼脫層問題,建立了一個(gè)新的參考面單元,并就脫層尺寸對(duì)屈曲載荷的影響規(guī)律進(jìn)行了深入探討．葉廣寧等[6]對(duì)有限元與工程計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比,并發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果較為吻合．江瑋等[7]研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)加筋板性能的影響,同時(shí)總結(jié)了加筋板類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)承載力的敏感程度．但需要注意的是,航空航天實(shí)際工程結(jié)構(gòu)常由非線性塑性材料組成,因此需要考慮加筋板的后屈曲承載力．黃丕帥和陳昆[8]利用有限元分析軟件ANSYS對(duì)均勻受壓下的加筋板進(jìn)行了后屈曲承載能力研究,討論了加筋肋的剛性與柔性問題以及加筋板的極限承載能力,并從試驗(yàn)分析、理論計(jì)算以及有限元仿真三個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)對(duì)比．黃麗華等[9]進(jìn)一步研究了層合加筋板,對(duì)在承受壓縮、剪切或壓剪復(fù)合荷載下加筋板的彈性屈曲及后屈曲行為進(jìn)行了分析研究．近年來,隨著復(fù)合材料的快速發(fā)展,其在航天領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的實(shí)用價(jià)值,引起了學(xué)者們對(duì)復(fù)合材料加筋板的廣泛關(guān)注．劉毅等[10]推導(dǎo)了考慮鋪層復(fù)合材料加筋板屈曲和后屈曲極限承載力的解析解．高偉等[11]在對(duì)變厚度復(fù)合材料加筋板軸壓作用下的變厚度加筋板進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn),其屈曲后仍然具備一定的后屈曲承載能力．石峰等[12]采用高階剪切變形理論分析了復(fù)合材料層合板的屈曲問題,然后根據(jù)虛功原理推導(dǎo)出了復(fù)合材料層合板在面內(nèi)載荷作用下臨界屈曲的控制微分方程．吳菁等[13]推導(dǎo)了復(fù)合材料帽型加筋層合板的縱向和橫向彎曲剛度．王平遠(yuǎn)等[14]基于非局部應(yīng)變梯度理論,研究了功能梯度納米板結(jié)構(gòu)的彎曲和屈曲問題．此外,工程結(jié)構(gòu)在服役過程中不僅需要考慮其服役環(huán)境,其極限承載力也會(huì)受到制造工藝的限制．面向受熱力耦合作用下的加筋薄板,李若愚和王天宏[15]推導(dǎo)了其具體的屈曲臨界載荷表達(dá)式．任慧龍等[16]指出加筋薄壁結(jié)構(gòu)在工程中往往通過焊縫連接,其焊縫的承載力對(duì)結(jié)構(gòu)具有顯著影響．萬育龍和朱旭光[17]進(jìn)一步考慮了多種應(yīng)力組合模式和多種初始缺陷組合模式下加筋板的極限強(qiáng)度．上述研究工作表明,加筋板由于其良好的力學(xué)性能,在工程中具有重要的應(yīng)用價(jià)值．但是,隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展,航空航天結(jié)構(gòu)愈加復(fù)雜,相應(yīng)地,對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和經(jīng)濟(jì)性要求越來越高,而傳統(tǒng)的加筋板在使用過程中存在材料利用率低、承載力不夠和制造成本過高等問題,因此如何深入挖掘材料潛能、提高結(jié)構(gòu)承載力和降低制造成本至關(guān)重要．

為了解決上述問題,結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論應(yīng)運(yùn)而生．其核心思想是在保證結(jié)構(gòu)安全性的前提下,大幅減小制造成本,從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)安全性和經(jīng)濟(jì)性的完美平衡．樸春雨和章怡寧[18]對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)中加筋板的幾何尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)．滿林濤和楊嬋[19]考慮了工藝可實(shí)施性,大幅提升了矩形加筋板的承載能力．施利娟等[20]進(jìn)一步兼顧了強(qiáng)度及穩(wěn)定性,使鋁合金加筋板在不同的載荷范圍內(nèi)都能滿足安全性與經(jīng)濟(jì)性需求．然而,由于傳統(tǒng)的尺寸設(shè)計(jì)方法可設(shè)計(jì)的空間有限,因此如何拓展薄壁加筋板的可設(shè)計(jì)性、給出加筋肋的最優(yōu)形狀和布局,對(duì)于進(jìn)一步提高材料利用率至關(guān)重要．王博等[21]提出了宏觀和微觀協(xié)同設(shè)計(jì)方法,通過對(duì)主層級(jí)稀疏加筋和次層級(jí)密集點(diǎn)陣同步設(shè)計(jì),有效地提升了材料利用率．崔榮華等[22]采用了拓?fù)鋬?yōu)化理論對(duì)加強(qiáng)筋優(yōu)化布局進(jìn)行了相關(guān)探索．Meng等[23]通過調(diào)整加筋肋的形狀提出了弧形加筋圓柱殼,大幅擴(kuò)大了設(shè)計(jì)空間,從而獲得了比經(jīng)典設(shè)計(jì)更優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果．常楠等[24]和趙群等[25]對(duì)復(fù)合材料加筋構(gòu)件的布局和形狀進(jìn)行了協(xié)同優(yōu)化．王棟和李正浩[26]將布局設(shè)計(jì)方法拓展至頻率優(yōu)化問題．此外,加筋薄板在屈曲約束的非線性程度極高,優(yōu)化模型往往存在多個(gè)局部最優(yōu)解,且基于有限元分析的優(yōu)化問題求解需要反復(fù)迭代,計(jì)算量巨大,所以需要建立高效、穩(wěn)定的全局優(yōu)化策略．郝鵬等[27]針對(duì)軸壓作用下的加筋柱殼后屈曲性能優(yōu)化計(jì)算量較大的問題,提出了一種基于代理模型和等效剛度模型的混合優(yōu)化策略,并運(yùn)用基于等效剛度的平鋪加筋模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),以代替試驗(yàn)設(shè)計(jì)中大量的精細(xì)有限元分析．李剛和孟增[28]通過拉丁超立方策略構(gòu)造了代理模型,并基于自適應(yīng)更新代理模型,直至滿足需求．張洪波[29]采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,在降低了材料使用率的同時(shí)提高了結(jié)構(gòu)可靠性．鄭俊鋒等[30]針對(duì)均布平壓載荷下四邊簡支的矩形加筋板,通過解析推導(dǎo)大幅提高了拓?fù)鋬?yōu)化的計(jì)算效率．截止目前,在面向加筋板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面已取得了豐碩的成果．然而隨著航空航天結(jié)構(gòu)的大型化和設(shè)計(jì)的精細(xì)化需求,其強(qiáng)度與輕量化設(shè)計(jì)之間的矛盾日益突出．所以,如何深層次挖掘材料潛能和降低結(jié)構(gòu)承載能力具有重要的工程意義．

因此,本文基于同步失效的概念,提出了一種新型的弧形加筋板,旨在有效地利用其軸向承載力的潛力,使其在滿足設(shè)計(jì)要求的條件下,結(jié)構(gòu)質(zhì)量更輕、結(jié)構(gòu)效率更高．同時(shí),基于平鋪剛度法,準(zhǔn)確預(yù)測了弧形加筋板的臨界屈曲載荷．隨后,采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)．算例結(jié)果表明,弧型加筋板承載能力優(yōu)異,輕量化設(shè)計(jì)效果顯著,具有良好的優(yōu)化效率．

1 弧形加筋板

1.1 背景

正交網(wǎng)格加筋板結(jié)構(gòu)由蒙皮和等直筋肋組成,如圖1所示．對(duì)于加筋板結(jié)構(gòu),其主要屈曲形式包括蒙皮局部屈曲、筋條局部屈曲和整體屈曲等．工程中常用的加筋板結(jié)構(gòu)多為中等長度的加筋板結(jié)構(gòu),若筋條先于蒙皮發(fā)生局部屈曲將會(huì)大幅降低加筋板的承載能力,相比而言,蒙皮的局部屈曲能夠提供更高的承載能力．

本文采用的加筋板模型如圖1所示,板長L=1 200 mm,板寬W=800 mm,板厚H=1 mm,筋肋高h(yuǎn)=24 mm．結(jié)構(gòu)單軸加載,四邊簡支．

圖1 正交網(wǎng)格加筋板示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the orthogonal grid stiffened plate

注為了解釋圖中的顏色,讀者可以參考本文的電子網(wǎng)頁版本,后同．

對(duì)于傳統(tǒng)的正交網(wǎng)格加筋板結(jié)構(gòu),考慮其受雙向均布荷載,如圖1(b)所示,該模型采用二重Fourier級(jí)數(shù)作為位移函數(shù),滿足簡支邊界條件．設(shè)沿坐標(biāo)三個(gè)方向滿足位移邊界條件的位移函數(shù)分別為

u=Amncos(mαx)sin(nβy),

(1)

v=Bmnsin(mαx)cos(nβy),

(2)

w=Cmnsin(mαx)sin(nβy),

(3)

其中,α=π/L,β=π/W,L,W分別為板在x,y方向的幾何尺寸;Amn,Bmn,Cmn為待定系數(shù),m和n分別表示x和y方向的半波數(shù)．利用蒙皮和筋條剛度的疊加原理可以計(jì)算加筋板的等效剛度．整體等效剛度表示如下:

A=Ask+Ast,

(4)

B=Bsk+Bst,

(5)

D=Dsk+Dst,

(6)

式中,A,B和D分別表示拉伸剛度系數(shù)、耦合剛度系數(shù)和彎曲剛度系數(shù),上標(biāo)sk和st分別代表蒙皮和筋條．根據(jù)改進(jìn)的大撓度理論,加筋板任意點(diǎn)的應(yīng)變分量可以由中間表面的應(yīng)變和曲率得到:

(7)

其中

(8)

矩形板內(nèi)力和內(nèi)力矩表示如下:

(9)

對(duì)于筋肋,考慮筋肋和蒙皮位移的連續(xù)性,其幾何方程依然采用式(7)．其本構(gòu)方程可以用均勻化原理表示為

(10)

b=W/Na,d=L/Nc,

(11)

其中,Na為縱向(x軸方向)筋條數(shù),Nc為橫向(y軸方向)筋條數(shù)．筋肋截面單位長度內(nèi)力和內(nèi)力矩為

(12)

As=Ar=th,zs=zr=(h+H)/2,Is=Ir=th3/12,

(13)

(14)

對(duì)于拉彎耦合,考慮到

(15)

所以,對(duì)于筋肋有

(16)

1.2 模型描述

正交網(wǎng)格加筋板作為一種經(jīng)典的加筋板結(jié)構(gòu),其加筋肋在每個(gè)位置的高度都相同．這就導(dǎo)致板體的屈曲破壞沿徑向分布不均勻．如圖2所示,傳統(tǒng)正交網(wǎng)格加筋板中部屈曲變形小于上下兩側(cè)受力側(cè)的屈曲變形,大于左右兩側(cè)的屈曲變形．由此可知,失效發(fā)生在板上下兩側(cè)的局部區(qū)域,板中部并未達(dá)到失效狀態(tài)．因此,加筋板的承載能力還有進(jìn)一步提高的空間．

圖2 傳統(tǒng)網(wǎng)格加筋板Fig. 2 The traditional grid stiffened plate

根據(jù)優(yōu)化理論中的同步失效準(zhǔn)則,當(dāng)加筋板各個(gè)位置的材料同時(shí)失效時(shí),材料利用率最大,質(zhì)量最?。藭r(shí),加筋板的屈曲變形和破壞沿板體高度均勻分布,可以顯著提高結(jié)構(gòu)的承載力．為此,本文設(shè)計(jì)了一種新型的弧形加筋板,其軸向和橫向筋肋高度分別沿x和y方向呈弧形曲線．如圖3所示,當(dāng)徑向筋肋中間部分高度大于兩側(cè)高度時(shí),剛度也會(huì)隨之變化．可以推斷,弧形設(shè)計(jì)的加強(qiáng)筋能改變結(jié)構(gòu)的剛度分布,進(jìn)而使軸向半波均勻分布．因此,沿軸向加筋板體可以實(shí)現(xiàn)同步失效,其材料利用率也得到了明顯提高．為了建立該模型,本文采用了二次函數(shù)來描述弧形加強(qiáng)筋高度的變化,弧形加強(qiáng)筋高度z與縱坐標(biāo)x之間的關(guān)系如下:

z=ax2+bx+c．

(17)

上式邊界條件為

(18)

將式(18)代入式(17),可得到

(19)

式中,he表示加強(qiáng)筋末端高度,hm表示加強(qiáng)筋中部高度．如圖4所示,當(dāng)hm>he時(shí),加強(qiáng)筋具有凸弧形形狀;當(dāng)hm

圖3 弧形網(wǎng)格加筋板Fig. 3 The arc grid stiffened plate

圖4 帶凸筋和凹筋的弧形加筋板示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the stiffened plate with convex and concave arc ribs

1.3 平鋪剛度法

對(duì)于非均勻分布的加筋肋,傳統(tǒng)的內(nèi)力等效法無法得到精確的剛度系數(shù)．因此,可以采用能量等效的方法,將非均勻高度加筋肋等效為均勻高度加筋肋,其等效剛度系數(shù)可通過應(yīng)變能公式獲得．弧形加強(qiáng)筋可分為凸型和凹型兩種,當(dāng)加強(qiáng)筋為凸型(hm>he)時(shí),其應(yīng)變能為

(20)

外力的功可以表示為

(21)

根據(jù)能量守恒定律,可得如下公式:

(22)

其剛度系數(shù)為

(23)

(24)

當(dāng)加強(qiáng)筋處于彎曲狀態(tài)時(shí),凸加強(qiáng)筋的應(yīng)變能為

(25)

外力做的功為

(26)

根據(jù)能量守恒定律,由方程求出剛度系數(shù)如下:

(27)

當(dāng)加強(qiáng)筋處于扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí),應(yīng)變能可表示為

(28)

外力的功可以表示為

(29)

根據(jù)能量守恒定律,可求出剛度系數(shù)為

(30)

當(dāng)加勁肋為凹形時(shí)(hm

(31)

其中

(32)

同樣,根據(jù)能量守恒定律,剛度系數(shù)為

(33)

(34)

加強(qiáng)筋處于彎曲狀態(tài)時(shí),應(yīng)變能表示為

(35)

同理,剛度系數(shù)為

(36)

當(dāng)加強(qiáng)筋處于扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí),其應(yīng)變能可表示為

(37)

同樣,可以得到剛度系數(shù)為

(38)

同樣地,橫向筋條的剛度系數(shù)也可按上述方法推導(dǎo)．根據(jù)平鋪剛度法求解弧形加筋板,加筋板的整體結(jié)構(gòu)剛度可由蒙皮和筋肋疊加而成,即

(39)

(40)

(41)

矩形板的平衡方程為

(42)

當(dāng)矩形板發(fā)生屈曲時(shí),其撓度、內(nèi)力和內(nèi)彎矩均會(huì)產(chǎn)生一個(gè)極小的線性增量,可寫成初始量+增量的形式．因此當(dāng)屈曲發(fā)生時(shí),撓度、內(nèi)力和內(nèi)彎矩可表示為

(43)

則相應(yīng)的應(yīng)變分量增量可以寫為

(44)

將上式代入平衡方程中,并將方程線性化,消去滿足初始平衡方程的項(xiàng),并忽略高階小項(xiàng)和包含殼初始轉(zhuǎn)角(w0,x和w0,y)的項(xiàng),則平衡方程變?yōu)?/p>

(45)

對(duì)位移進(jìn)行偏導(dǎo)計(jì)算,并將物理方程和幾何方程代入平衡方程最終可解得臨界屈曲荷載表達(dá)如下:

(46)

其中

(47)

2 弧形加筋板的輕量化設(shè)計(jì)

臨界屈曲載荷作為加筋板等結(jié)構(gòu)的一項(xiàng)重要的設(shè)計(jì)指標(biāo),常被用于結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計(jì)階段．因此,本節(jié)將基于平鋪剛度法并結(jié)合粒子群優(yōu)化算法對(duì)弧形加筋板進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)——即在滿足承載力約束條件下,使結(jié)構(gòu)質(zhì)量M最小,其相應(yīng)的輕量化公式如下:

(48)

其中,d=[H,t,he1,hm1,he2,hm2,Na,Nc],H為板厚,t為筋條寬度,he1和hm1為縱向筋條端部和中部高度,he2和hm2為橫向筋條端部和中部高度,Na和Nc為縱筋數(shù)和橫筋數(shù),P0為設(shè)計(jì)臨界荷載,大小為14 kN/m．

弧形加筋板的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)及其設(shè)計(jì)范圍如表1所示．此外,為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性,以有限元法為參考,應(yīng)用商業(yè)軟件ABAQUS進(jìn)行分析驗(yàn)證．

本文采用了粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),粒子群優(yōu)化算法的種群數(shù)取為100,優(yōu)化迭代次數(shù)取為50．在每次迭代過程中根據(jù)平鋪剛度法預(yù)測臨界屈曲荷載值,同時(shí)將優(yōu)化結(jié)果代入ABAQUS進(jìn)行驗(yàn)算．考慮到效率和精度,網(wǎng)格大小取8 mm,計(jì)算出的結(jié)果精度和計(jì)算時(shí)間均能夠滿足要求．當(dāng)優(yōu)化迭代結(jié)果滿足收斂條件后即可認(rèn)為最優(yōu)設(shè)計(jì)滿足設(shè)計(jì)要求,否則將繼續(xù)進(jìn)行迭代搜索,直到滿足迭代終止條件后停止搜索,最終輸出最優(yōu)解．

表1 弧形加筋板參數(shù)的驗(yàn)證與設(shè)計(jì)空間

表2 傳統(tǒng)加筋板和弧形加筋板優(yōu)化

加筋板優(yōu)化結(jié)果如表2所示．從表2中可以看出, 優(yōu)化后的弧形加筋板質(zhì)量為5.42 kg, 比初始設(shè)計(jì)的7.91 kg降低了31.5%,比傳統(tǒng)非弧形加筋板質(zhì)量降低了20.5%．由此可以推斷,弧形加筋板的優(yōu)化效果優(yōu)于傳統(tǒng)加筋板,其材料的潛力得到進(jìn)一步深入挖掘．此外,采用平鋪剛度法計(jì)算出弧型加筋板的臨界屈曲載荷為14.05 kN/m,而采用有限單元法計(jì)算出弧形加筋板的臨界屈曲載荷為14.27 kN/m,二者相對(duì)誤差僅為1.5%,滿足精度要求．這說明使用本文所推導(dǎo)的平鋪剛度法可以準(zhǔn)確預(yù)測弧形加筋板的臨界屈曲荷載．

圖5 優(yōu)化歷程Fig. 5 The optimization process

圖5給出了傳統(tǒng)加筋板與弧形加筋板的優(yōu)化迭代歷程及其對(duì)應(yīng)的屈曲模態(tài)．可以看出,結(jié)合平鋪等效剛度法的優(yōu)化迭代收斂速度較快,且較為穩(wěn)定,計(jì)算效率較高．通過對(duì)兩種加筋板的屈曲變形云圖的比較,可以看出傳統(tǒng)加筋板的屈曲變形主要發(fā)生在板邊的中間部分,而弧形加筋板的屈曲波形沿板邊分布更為均勻．因此,弧形加筋板更容易實(shí)現(xiàn)同步破壞,其材料利用率更高．

3 總 結(jié)

伴隨著航天裝備大型化、承載重型化的發(fā)展趨勢(shì),薄壁承載結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與輕量化設(shè)計(jì)之間的矛盾逐漸突出．因此,本文從同步失效的概念出發(fā),設(shè)計(jì)了一種新型的弧形加筋板結(jié)構(gòu)．新型弧形加筋板的主要目的是提高其承載能力,實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)．同時(shí)給出了基于彈性大撓度理論的平鋪剛度法,通過與ABAQUS的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證了平鋪剛度法的可靠性．在此基礎(chǔ)上,結(jié)合平鋪剛度法和粒子群優(yōu)化算法,對(duì)線性屈曲狀態(tài)下的弧狀加筋板進(jìn)行了輕量化設(shè)計(jì)．

算例表明,所提出的弧型加筋板比傳統(tǒng)加筋板具有更高的性能,同時(shí)基于平鋪剛度法能準(zhǔn)確預(yù)測臨界屈曲載荷．結(jié)果表明,與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相比,弧形加筋板優(yōu)化后的質(zhì)量比傳統(tǒng)加筋板優(yōu)化后的質(zhì)量降低了20.5%,具有更好的優(yōu)化效果．弧形加筋板可以更好地提高材料利用率和結(jié)構(gòu)承載能力, 獲得更大的實(shí)際效益．