基于效用理論的未定權(quán)益最優(yōu)套期保值策略

郭建華

(邵陽學(xué)院 經(jīng)濟與管理學(xué)院,湖南 邵陽,422000)

1 問題的提出

未定權(quán)益是一個非負可測的隨機變量,作為終止時刻支付的協(xié)議。目前,越來越多的公司和企業(yè)采用支付未定權(quán)益的方式進行員工激勵。股份期權(quán)就是非上市公司運用股票期權(quán)進行員工激勵的一種模式。管理人員經(jīng)營業(yè)績考核和資格審查后可獲得一種權(quán)利,即在將來特定時期,以目前評估的每股凈資產(chǎn)價格購買一定數(shù)量的公司股份。屆時如果每股凈資產(chǎn)已經(jīng)升值,則股份期權(quán)持有人獲得潛在的收益,反之,以風(fēng)險抵押金補入差價。因而,對于未定權(quán)益獲得者(如公司管理人員)來說,如何對即將獲得的權(quán)益進行保值是一個極為現(xiàn)實的問題。

關(guān)于未定權(quán)益的套期保值,在市場完備的情況下,可以利用其相關(guān)的資產(chǎn),通過自融資方式而進行完全復(fù)制;但是,在市場不完備的情況下,對于一般未定權(quán)益而言,無論采取何種自融資方式都不能完全對沖未定權(quán)益可能面臨的風(fēng)險。如何最大程度地降低風(fēng)險則成為投資者所要考慮的問題。許多套期保值標(biāo)準(zhǔn)也被相應(yīng)提出,平方標(biāo)準(zhǔn)就是其中之一。NICOLAS等[1]提出均方準(zhǔn)則,即把終期財富與未定權(quán)益之差的平方的期望E(VT-H)2作為風(fēng)險。很多學(xué)者在此準(zhǔn)則下進行了套期保值研究。CERNY[2]運用動態(tài)規(guī)劃原理研究了離散時間下的平方對沖,并得到最優(yōu)策略的遞歸方程形式解;DUFFIE等[3-4]研究了擴散模型下的平方套期保值,并得到最優(yōu)策略的顯式解。余星等[5]基于效用函數(shù)理論,通過構(gòu)建等價鞅測度,證明在風(fēng)險厭惡一般效應(yīng)函數(shù)下,考慮計劃成本的最優(yōu)期貨期權(quán)套期保值模型最優(yōu)解的存在性和唯一性,并得出負指數(shù)效用函數(shù)下的最優(yōu)套期保值顯式解。

不同投資者對市場風(fēng)險存在的認同感和對風(fēng)險的偏好程度并不一致。黃金波等[6]研究發(fā)現(xiàn),不同風(fēng)險厭惡程度投資者有不同的風(fēng)險對沖策略偏好。趙樹然等[7]綜合考慮收益、風(fēng)險和反映套期保值者態(tài)度的CVaR為優(yōu)化目標(biāo),結(jié)合ECM-DCC模型,構(gòu)建動態(tài)CVaR套期保值模型,得出期貨最優(yōu)套期保值比,但沒有進一步分析套期保值者的風(fēng)險態(tài)度對套期保值效果的影響。

縱觀現(xiàn)有的研究,很少區(qū)別套期保值主體的個性差異,得出的套期保值策略也沒有考慮投資者對風(fēng)險的偏好差異。鑒于此,本文在不考慮交易費用及完全市場條件下,首先,把效用函數(shù)與風(fēng)險厭惡系數(shù)相結(jié)合,構(gòu)建不同風(fēng)險偏好投資者的風(fēng)險規(guī)避目標(biāo)函數(shù);然后,借助動態(tài)規(guī)劃方法,提出隨機支付型未定權(quán)益套期保值策略的構(gòu)造方法,計算不同時刻的最優(yōu)套期保值比。

2 效用函數(shù)與套期保值模型

2.1 效用函數(shù)

本文主要分析兩種與風(fēng)險相關(guān)的效用函數(shù):

2.2 套期保值模型

假設(shè)套期保值者在初始時刻獲得一份將在T時刻支付的未定權(quán)益(如公司管理層的獎勵),為了使期末獲得的權(quán)益資產(chǎn)效益最大,確定在[0,T]期內(nèi),以Δt=T/N為時間間隔的離散時間集t∈{0,Δt,2Δt,…,NΔt}上利用與未定權(quán)益相關(guān)的另一種資產(chǎn)(如以公司股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期貨合約)進行套期保值操作。

設(shè)St表示未定權(quán)益在t=nΔt時刻的價格;Ft表示期貨合約在t時刻的價格;?t表示套期保值過程中在t時刻持有期貨合約的空頭頭寸;Wt表示t時刻進行套期保值頭寸調(diào)整前擁有的資產(chǎn)價值;W0表示初始時刻擁有的資產(chǎn)價值;r表示固定的無風(fēng)險收益率。則套期保值者在各時刻擁有的資產(chǎn)價值可表示為

(1)

其中,R=exp(rΔt)。

以期末資產(chǎn)效用最大為目標(biāo),并且以式(1)為自融資約束,可以建立如下套期保值模型:

(2)

其中,E1[U(WN)]是期望效用函數(shù),表示期末財富的期望效用,而且Et[·]=E[·|Ft];t=1,…,N表示在t時刻的信息條件下對應(yīng)的條件期望,類似地,后文的Vart[·]=Var[·|Ft],t=1,…,N表示條件方差。

3 最優(yōu)套期保值比的確定

3.1 基本原理

根據(jù)貝爾曼最優(yōu)性原理[14],套期保值問題(2)可以表示為

(3)

因而,對于優(yōu)化問題(3),可以從N-1時刻開始,采用倒向遞推方法,求出各時刻的最優(yōu)套期保值比。

3.2 最優(yōu)套期保值比

(4)

證明根據(jù)動態(tài)規(guī)劃原理,可以采用倒向遞歸方法對定理證明。

①當(dāng)t=N-1時,根據(jù)式(1),可得:

WN=RWN-1-(FN-FN-1)?N-1+SN

(5)

(6)

對式(6)關(guān)于?N-1求導(dǎo)數(shù),并令等于0,可得:

(7)

在市場無套利的情況下,期貨價格加期貨交易成本(如交易手續(xù)費等)等于現(xiàn)貨價格加現(xiàn)貨交易成本(如保管費用、借入資金的利息成本等)[15]。如果不考慮交易成本,即有EN-1(FN)=FN-1。隨期貨合約到期日的臨近,期貨與現(xiàn)貨期末基差趨于零,即有FN=SN,因此,式(7)進一步簡化為

(8)

參照文獻[16],當(dāng)t=N-2時,把式(8)代入WN=RWN-1-(FN-1-FN-2)?N-1+SN,并根據(jù)式(1),有:

(9)

(10)

對式(10)關(guān)于?N-2求導(dǎo)數(shù),有:

(11)

令式(11)等于0,可得:

(12)

與t=N-1類似,在市場無套利、并不考慮交易費用的情況下,EN-2(FN-1)=FN-2,同時,因為期貨與現(xiàn)貨期末基差趨于零,即有FN=SN,則式(12)可表示為

(13)

事實上,當(dāng)t=n時,由式(1)可得資產(chǎn)價值遞推表達式:

(14)

(15)

在市場無套利和期末基差為零的情況下,解如下優(yōu)化問題(16):

(16)

對式(16)關(guān)于?n求導(dǎo)數(shù),有

(17)

在市場無套利、并不考慮交易費用的情況下,有En(Fn+1)=Fn,同時,因為期末基差趨于零,即有FN=SN,故令式(17)等于零,可得t=n時刻的最優(yōu)策略:

(18)

證畢。

(19)

證明

然后,用類似定理1的方法,證明定理2的結(jié)論。

(20)

對式(20)兩邊取期望,并代入WN=RWN-1-(FN-1-FN-2)?N-1+SN,有:

(21)

對式(21)關(guān)于?N-1求導(dǎo)數(shù),有:

(22)

在市場無套利、并不考慮交易費用的情況下,有EN-1(FN)=FN-1,同時,因為期末基差趨于零,即有FN=SN,把EN-1(FN)=FN-1和FN=SN代入式(22),并令式(22)等于零,可得

(23)

當(dāng)t=N-2時,把式(23)代入WN=RWN-1-(FN-1-FN-2)?N-1+SN,并根據(jù)式(1),有:

(24)

(25)

把式(24)代入式(25),關(guān)于?N-2求導(dǎo)數(shù),

(26)

在市場無套利,即EN-2(FN-1)=FN-2及期末基差為零,即FN=SN的情況下,令式(26)等于零,可得:

(27)

由式(1)可得資產(chǎn)價值遞歸表達式:

(28)

(29)

(30)

證畢。

4 結(jié)論

本文主要基于效用理論,研究了未定權(quán)益的最優(yōu)套期保值策略問題。首先,把效用函數(shù)與風(fēng)險厭惡系數(shù)相結(jié)合,構(gòu)建不同風(fēng)險偏好者的風(fēng)險規(guī)避目標(biāo)函數(shù);然后,借助動態(tài)規(guī)劃原理,提出未定權(quán)益套期保值策略的構(gòu)造方法,計算不同時刻的最優(yōu)套期保值比;最后,證明了在市場無套利情況下,以均方效用和冪效用目標(biāo)下的最優(yōu)套期保值比與風(fēng)險規(guī)避系數(shù)無關(guān),兩者有相同的最優(yōu)策略。