纏繞型碳納米管增強陶瓷基復合材料的有效剛度和應力分析

宋瑞蘭,羅冬梅,汪文學

(1.河北世洋工程檢測有限公司, 河北 衡水 053000; 2.佛山科學技術(shù)學院土木工程系, 廣東 佛山 528000; 3.日本九州大學應用力學研究所,福岡縣 816-8580)

0 引言

1991 年,日本電子公司(NEC)的飯島博士發(fā)現(xiàn)了一種質(zhì)量輕,六邊形結(jié)構(gòu)連接完美的一維納米材料-碳納米管[1]。與傳統(tǒng)的碳纖維增強材料相比,該材料具有獨特的力學、熱學和電學性能[2-4],其力學、熱學和電學性能比傳統(tǒng)碳纖維都有大幅度的提高[2-4],是復合材料理想的增強體,相對于普通纖維增強復合材料而言,具有無可比擬的優(yōu)越性[5]。然而,碳納米管的彎曲、纏繞等幾何特性在某種程度上限制了其獨特性能在最大限度上的發(fā)揮。近30年來,關(guān)于碳納米管特性對增強復合材料力學性能的影響的研究方興未艾[6-8]。王宏穎等[9]總結(jié)了近年來碳納米管增強復合材料的微觀結(jié)構(gòu)、變形和強化機理的數(shù)值模擬的研究現(xiàn)狀。Chander Kant Susheel[10]用數(shù)值模擬方法研究了功能梯度碳納米管增強殼體材料的力學性能,證明了數(shù)值模擬方法研究碳納米管復合材料的可行性。周應龍等[11]采用分子動力學方法簡化的碳納米管等效纖維模型,利用具有精確周期性邊界條件的宏微觀均質(zhì)化理論分析正弦余弦波型非連續(xù)碳納米管的有效剛度和局部應力分布規(guī)律。結(jié)果表明,碳納米管稍有彎曲就會導致復合材料有效剛度降低和應力傳遞能力的下降。馬一凡等[12]采用細觀代表性體積單元模型分析基體開裂和界面脫粘2種模式引起的橫向破壞,驗證了計算模型的準確性。Shweta Paunikar等[13]利用連續(xù)介質(zhì)力學理論,結(jié)合多相復合材料微觀力學模型和能量法則,計算了碳納米管增強復合材料在不同彎曲情況下的有效彈性常數(shù),證明碳納米管的曲度會導致碳納米管增強復合材料縱向彈性模量的降低、橫向彈性模量的增加,且碳納米管越短、影響越顯著。目前,碳納米管幾何形狀的研究主要側(cè)重于直線型和彎曲型[14],有關(guān)纏繞型碳納米管增強復合材料至今未曾有人進行研究,對碳納米管纏繞的研究將有利于進一步研究碳納米管的團聚現(xiàn)象。因此,本文在文獻[15]的基礎上,利用均質(zhì)化法計算纏繞型和余弦波型碳納米管增強復合材料的力學性能,通過模擬纏繞型和余弦波型碳納米管直徑、長度、曲度和各向異性等的變化情況,分析纏繞型碳納米管增強復合材料的有效剛度和應力。

1 精確周期性邊界條件的均質(zhì)化法

參考文獻[14],假設圖1所示為具有周期性微結(jié)構(gòu)的線彈性體,Ω為線彈性體的三維宏觀部分,Γ為Ω的邊界,Y為周期性胞元,SY為Y的邊界。圖2為含任意周期性碳納米管的長方體胞元。

圖1 宏微觀坐標Fig.1 Macro-microscopic coordinate

圖2 含任意周期性碳納米管的長方體胞元

參考文獻[14]所述的多尺度均質(zhì)化法,考慮攝動參數(shù)η,宏觀體的位移可表示為

(1)

式中:x=(x1,x2,x3)代表宏觀坐標系,y=(y1,y2,y3)代表微觀坐標系,其關(guān)系可由攝動參數(shù)表示為

(2)

(3)

進而得到均質(zhì)化彈性常數(shù)

(4)

在ANSYS平臺求得方程(3)的解,將其代入方程(4)求出碳納米管增強復合材料的有效剛度,再代入應力計算公式即可分析纏繞型碳納米管和基體的局部應力。

2 三維計算模型的構(gòu)建

假設空心碳納米管在陶瓷基體中完全分散,取向一致且呈規(guī)則排列,界面結(jié)合完美,無界面滑移和脫粘等損傷,僅考慮復合材料的彈性性能,忽略塑性性能及殘余熱應力的影響。采用ANSYS中的SOLID185單元建立纏繞型和余弦波型空心碳納米管模型,典型特征體積單元的有限元網(wǎng)格分別如圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)所示,取整體模型進行數(shù)值模擬。設模型長度為150 nm,橫截面取邊長為30 nm的正方形,空心碳納米管的直徑為d,波長為λ。材料參數(shù):碳納米管的彈性模量Ef=700 GPa,泊松比vf=0.23;陶瓷基體的彈性模量Em=402 GPa,泊松比vm=0.23。對直線型碳納米管,單元選擇為規(guī)則的六面體單元,對余弦波和纏繞型碳納米管,不規(guī)則四面體單元更能匹配彎曲型碳納米管和基體,但在碳納米管的交叉處和端部需要進行網(wǎng)格細化避免應力集中導致結(jié)果不收斂,提高計算結(jié)果的精度。

圖3 特征體積單元有限元網(wǎng)格

3 結(jié)果和討論

3.1 碳納米管直徑對纏繞型碳納米管增強復合材料彈性模量的影響

首先設碳納米管長度為常數(shù)(120 nm),分析不同直徑的碳納米管對碳納米管增強復合材料力學性能的影響。碳納米管壁厚為1 nm,直(外)徑分別取:4、6、8、10、12 nm,其他材料參數(shù)不變。

為比較結(jié)果的合理性,圖4列出了用混合法則、參考文獻[16]和Halpin-Tsai[17]計算的直線型碳納米管復合材料彈性模量的結(jié)果。

圖4 縱向彈性模量與碳納米管外徑的關(guān)系Fig.4 Longitudinal elastic modulus &outer diameter of CNTS

圖4、圖5為直線型、余弦波型和纏繞型3種幾何形狀的碳納米管的直徑變化情況下,碳納米管增強復合材料縱橫向彈性模量的變化規(guī)律。

圖5 橫向彈性模量與碳納米管外徑的關(guān)系

由圖4可知,對直線型碳納米管復合材料,混合法則過高估計有效彈性模量,Halpin-Tsai準則預測的縱向有效彈性模量與用本文數(shù)值模擬方法得到的結(jié)果非常接近,證明數(shù)值模擬方法的可靠性。余弦波型碳納米管和纏繞型碳納米管復合材料的縱向彈性模量均由直線變成曲線,直徑小于8 nm時,纏繞型復合材料的縱向彈性模量高于其他幾種形狀,碳納米管直徑超過8 nm后,纏繞型復合材料的縱向彈性模量急劇下降,遠低于其他幾種形狀。圖5橫向有效彈性模量的結(jié)果與縱向彈性模量類似,碳納米管的纏繞導致有效彈性模量發(fā)生突變。有效剪切模量在碳納米管直徑小于8 nm之前相差不大,碳納米管直徑超過8 nm后也急劇下降,直徑較小時,雙根碳納米管具有增大縱向彈性模量的效應,直徑超過一定尺寸后,碳納米管之間的耦合效應導致有效力學性能發(fā)生突變,因此,當碳納米管纏繞在一起時,碳納米管的直徑最好能保持在8 nm范圍內(nèi),以避免復合材料彈性模量的驟減。圖6為有效剪切模量與碳納米管外徑的關(guān)系,圖7為有效泊松比與碳納米管外徑的關(guān)系。

圖6 有效剪切模量與碳納米管外徑的關(guān)系Fig.6 Effective Shear Modulus &outer diameter of CNTS

圖7 有效泊松比與碳納米管外徑的關(guān)系

3.2 碳納米管長度對復合材料彈性模量的影響

設碳納米管外徑6 nm,碳納米管沿軸線的投影長度分別為30、60、90、120、150 nm,其他材料參數(shù)保持不變。研究碳納米管的長度對復合材料彈性模量的影響。

圖8為不同計算方法得到的縱向彈性模量與碳納米管長度之間的關(guān)系,對于直線型碳納米管,用不同的方法得到的結(jié)果完全一致,證明了本文所用方法的準確性,余弦波型碳納米管和纏繞型碳納米管的縱向彈性模量隨碳納米管的形狀及分布特征發(fā)生曲線變化,纏繞型碳納米管的彈性模量彎曲程度更明顯,主要原因在于直線型、余弦波型碳納米管復合材料均為單根碳納米管,彈性模量變化相對簡單,雖然余弦波型碳納米管的彎曲會導致碳納米管復合材料的彈性模量呈一定的曲線變化,但變化不明顯,而纏繞型碳納米管中的2根碳納米管之間的變形相互影響較為顯著,從而導致彈性模量呈現(xiàn)明顯的高低不同的變化。

圖8 縱向彈性模量與碳納米管長度的關(guān)系Fig.8 Longitudinal elastic modulus &outer diameter of CNTS

從圖9—圖11發(fā)現(xiàn),對直線型碳納米管復合材料,混合法則預測的有效力學性能略高于數(shù)值模擬的結(jié)果,但變化趨勢一致,余弦波型材料稍有起伏,數(shù)值與直線型結(jié)果相差不大,而纏繞型碳納米管的彈性模量不僅遠小于其他2種情況,在長度為90 nm處還會出現(xiàn)一個急劇變化的轉(zhuǎn)折點,過此轉(zhuǎn)折點之后繼續(xù)呈曲線變化。由此可見,相對于直線型和余弦波型單根碳納米管,纏繞型碳納米管增強復合材料的尺寸效應和疊加效應較為明顯,多根碳納米管的纏繞會導致力學性能下降。

圖9 橫向彈性模量與碳納米管長度的關(guān)系

圖10 有效剪切模量與碳納米管長度的關(guān)系Fig.10 Effective Shear Modulus &outer diameter of CNTS

3.3 碳納米管各向異性對復合材料彈性模量的影響

本節(jié)主要分析碳納米管的各向同性和各向異性對纏繞型和余弦波型碳納米管增強復合材料彈性模量的影響。各向異性碳納米管的彈性常數(shù)為[13]:C11=457.6 GPa,C12=C13=8.4 GPa,C22=C33=14.3 GPa,C23=5.5 GPa,C44=C66=27.0 GPa,C55=4.4 GPa,基體視為各向同性材料,纏繞型和余弦波型空心碳納米管沿軸線方向的投影長度為120 nm,碳納米管的壁厚為1 nm,外徑分別取4、6、8、10、12 nm,其他材料參數(shù)不變。

由圖12—圖14可以看出,與各向同性情況不同,碳納米管直徑小于8 nm時,纏繞型復合材料的縱向彈性模量大于余弦波型,8 nm之后余弦型彈性模量繼續(xù)增長,而纏繞型復合材料的彈性模量則急劇下降。余弦波型碳納米管復合材料的模量對各向同性性質(zhì)較敏感,有較大的波動,纏繞型碳納米管材料復合材料的模量呈先大后小的波動性,且對碳納米管的各向異性不敏感,變化趨勢一致。

圖12 縱向彈性模量與碳納米管外徑的關(guān)系Fig.12 Longitudinal elastic modulus &outer diameter of CNTS

圖13 橫向彈性模量與碳納米管外徑的關(guān)系

圖14 有效剪切模量與碳納米管外徑的關(guān)系Fig.14 Effective Shear Modulus &outer diameter of CNTS

圖15顯示,雖然各向異性情況余弦波型碳納米管復合材料的泊松比比各向同性情況大很多,但變化規(guī)律基本保持一致,均隨碳納米管直徑的增大而平穩(wěn)上升,可見,碳納米管的各向異性增大了余弦波型碳納米管增強復合材料的泊松比,由此導致橫向變形增大。對于纏繞型碳納米管復合材料,當碳納米管外徑小于8 nm時,各向同性情況下的泊松比小于各向異性情況,而當碳納米管外徑超過8 nm時,兩者幾乎以相同的速度同時下降,碳納米管直徑超過8 nm之后,纏繞型碳納米管的泊松比遠小于余弦波型,且對材料的各向同性和各向異性不敏感,數(shù)值變化不大,由此證明由于碳納米管之間的相互作用,削弱了材料的力學性能對纏繞型碳納米管復合材料泊松比的影響。

圖15 有效泊松比與碳納米管外徑的關(guān)系

3.4 直徑對纏繞型碳納米管增強復合材料局部應力分布的影響

圖16是纏繞型各向同性碳納米管外徑為6 nm情況下,基體與碳納米管的軸向應力分布規(guī)律。 可以看出,碳納米管的應力梯度非常大,而且在碳納米管兩端以及纏繞交叉部位出現(xiàn)明顯的應力集中現(xiàn)象,最大軸向應力可達901 GPa,而在端部管身外側(cè)的應力最小,為320 GPa。纏繞型碳納米管管身內(nèi)側(cè)的應力值比其外側(cè)的應力值大得多。在碳納米管端部及纏繞交叉附近基體的應力出現(xiàn)應力集中的現(xiàn)象,而其他部位的應力變化基本平穩(wěn)。這表明,對纏繞型碳納米管復合材料而言,碳納米管端部和纏繞交叉這2個區(qū)域是破壞的危險點,在基體無缺陷的情況下發(fā)生斷裂的幾率最大。

圖16 碳納米管外徑d=6 nm時基體及碳納米管的軸向應力分布示意圖

表1和表2顯示碳納米管外徑變化時基體和碳納米管的最大及最小軸向應力。從其中可以看出,隨著碳納米管外徑的增大,基體和碳納米管的最大軸向應力也隨之增大,相反,碳納米管的最小軸向應力則隨碳納米管外徑增大而減小,當外徑超過8 nm時,碳納米管的最小軸向應力由拉應力變?yōu)閴簯?基體的最小軸向應力隨外徑的增大而逐漸減小。當碳納米管外徑小于8 nm時,基體的最小軸向應力隨外徑的增大呈增大的趨勢,在8 nm處達到最大。從圖16(b)看出,最大應力出現(xiàn)在碳納米管纏繞交叉部位,最小應力出現(xiàn)在碳納米管端部,碳納米管外徑的增大會加劇2個危險區(qū)域的應力集中。從整體來看,復合材料的軸向應力主要由碳納米管承擔,碳納米管直徑超過8 nm后,基體承受的最大應力明顯增大,這與有效彈性模量的變化趨勢一致,碳納米管的有效模量驟減,導致碳納米管的應力傳遞能力減小。

表1 各向同性情況下不同直徑的碳納米管的軸向最大應力和最小應力(GPa)

表2 各向同性情況下不同直徑情況下基體的軸向最大應力和最小應力(GPa)

圖17是外徑為6 nm的纏繞型各向同性碳納米管復合材料的基體和碳納米管的von mises stress應力分布示意圖。可以看出,碳納米管的等效應力沿管軸線呈梯度變化,最大值出現(xiàn)在纏繞交叉部位,最小值則出現(xiàn)在碳納米管端部;基體的等效應力分布相對均勻,碳納米管端部和纏繞交叉部位的基體區(qū)域應力集中現(xiàn)象較為顯著,且主要為壓應力?？梢?碳納米管的纏繞特性能有效限制基體變形,發(fā)揮其對基體的增強作用。

圖17 碳納米管為各向同性材料時基體及碳納米管的von mises stress應力分布示意圖

綜合圖16和圖17可知,碳納米管的軸向應力和等效應力的最大和最小值都出現(xiàn)在纏繞交叉部位和端部,該區(qū)域的基體和碳納米管都表現(xiàn)出應力集中現(xiàn)象,是破壞的危險點,發(fā)生斷裂的幾率最大。

表3和表4是碳納米管為各向同性材料時基體和碳納米管的最大及最小等效應力。可以看出,基體和碳納米管的最大等效應力隨碳納米管外徑的增加呈增大的趨勢,且碳納米管的最大等效應力大于基體的。碳納米管的最小等效應力整體上隨納米碳管外徑的增加而減小,外徑超過8 nm之后驟減,外徑為8 nm處的基體最小等效應力發(fā)生突變,達到最小值,應力變化的趨勢與彈性模量的變化具有一致性。

表4 各向同性情況下基體von mises stress的最大值和最小值(GPa)

3.5 各向異性對纏繞型碳納米管增強復合材料局部應力分布的影響

圖18是各向異性碳納米管外徑為6 nm時基體和碳納米管的軸向應力云圖。與各向同性情況相比(圖16),圖18中陶瓷基體軸向應力都比各向同性情況小,而且變化趨勢相反。碳納米管端部外側(cè)軸向應力最小,內(nèi)側(cè)應力逐漸增大,纏繞處應力達到最大。各向同性情況下碳納米管軸向應力的值遠大于各向異性情況,且依然是最大軸向應力出現(xiàn)在纏繞處、最小軸向應力出現(xiàn)在碳納米管端部。可見,碳納米管的各向異性導致碳納米管軸向應力大幅度降低,不利于發(fā)揮碳納米管在復合材料中的增強作用。

圖18 碳納米管為各向異性材料時基體及碳納米管的軸向應力分布示意圖

表5和表6是各向異性的碳納米管外徑變化時,基體和碳納米管的最大及最小軸向應力變化情況。由其中數(shù)據(jù)可以看出,基體和碳納米管的最大及最小應力隨碳納米管外徑的增大呈非線性變化。與表1和表2相比,各向異性情況下碳納米管的最大及最小應力遠小于各向同性情況下的值,且其最小應力均為壓應力;而基體的軸向最大應力則大于各向同性情況。整體看來,碳納米管為各向異性材料時,復合材料的軸向應力主要有基體承擔,碳納米管承擔的應力非常小,由此可見,碳納米管的各向異性大大降低了碳納米管在復合材料中的增強作用。

表5 各向異性情況下碳納米管的最大應力和最小應力(GPa)

表6 各向異性情況下基體的軸向最大應力和最小應力(GPa)

圖19是外徑為6 nm的纏繞型碳納米管為各向異性材料時,基體和碳納米管的von mises stress應力分布示意圖。由圖19(a)可以看出,碳納米管的外圍區(qū)域的等效應力為最小壓力,且分布均勻,在其相對的內(nèi)側(cè)區(qū)域,碳納米管的等效應力逐漸增加?；w的等效應力分布如圖19(b)所示,碳納米管端部的基體區(qū)域有應力集中,且基體的等效應力為最小壓力,碳納米管纏繞部位的基體等效應力比端部的等效應力略大,但依然為壓應力。與圖17(b)相比,碳納米管為各向同性時,碳納米管纏繞部位周圍的基體等效應力值為252 GPa;而碳納米管為各向異性時(圖19(b)所示),碳納米管纏繞部位周圍的基體等效應力值為247 GPa,從數(shù)值上看,各向異性情況比各向同性情況的小,但從影響范圍看,各向異性情況碳納米管纏繞部位周圍的基體影響區(qū)域比各向同性情況的大。因此,纏繞型碳納米管的各向異性對基體變形具有更好的限制作用。

圖19 碳納米管為各向異性材料時基體及碳納米管的von mises stress應力分布示意圖

與碳納米管為各向同性的情況相比(表3和表4),碳納米管為各向異性時(表7和表8),無論應力最大、最小值還是Von mises應力最大、最小值,碳納米管承受的應力均明顯降低,而基體的應力明顯增大,由此說明各向異性碳納米管復合材料中的碳納米管傳遞應力的能力明顯減弱,忽略碳納米管的各向異性會導致過高估計復合材料的承載能力。

表7 各向異性情況下碳納米管von mises stress的最大值和最小值(GPa)

表8 各向異性情況下基體von mises stress的最大值和最小值(GPa)

4 結(jié)論

利用均質(zhì)化法模擬直線型、余弦波型和纏繞型碳納米管的尺寸變化對碳納米管增強復合材料力學性能的影響。主要結(jié)論如下:

1) 與直線型碳納米管相比,余弦波型和纏繞型碳納米管增強復合材料的力學性能更容易受碳納米管尺寸因素的影響,纏繞型碳納米管的有效力學性能受碳納米管的相互作用影響,呈典型的曲線變化,碳納米管的外徑為8 nm時,纏繞型碳納米管復合材料的彈性模量會產(chǎn)生突變,碳納米管的纏繞特性對橫向變形有更好的限制作用。

2) 碳納米管的長度變化引起余弦型和纏繞型碳納米管復合材料的有效力學性能呈成曲線變化,碳納米管長度為90 nm時,纏繞型碳納米管材料的有效力學性能急劇降低、尺寸效應和疊加效應更加明顯,多根碳納米管的纏繞會導致力學性能下降。

3) 碳納米管的各向異性增大余弦波型碳納米管增強復合材料的泊松比,導致橫向變形增大。但是,碳納米管的各向異性在外徑超過8 nm后,纏繞型碳納米管復合材料的泊松比急劇下降,可有效約束復合材料的橫向變形。

4) 碳納米管端部和纏繞交叉部位均有明顯的應力集中現(xiàn)象,是破壞的危險點,在基體無缺陷的情況下該區(qū)域斷裂的幾率最大。碳納米管外徑為8 nm時,基體和碳納米管最大、最小應力發(fā)生轉(zhuǎn)折,纏繞型碳納米管復合材料的尺寸效應最為顯著。