基于博弈建模的地對(duì)空防御火力分配策略選擇

孫文娟許 可宮 華

(1.沈陽(yáng)理工大學(xué)理學(xué)院，沈陽(yáng) 110159；2.遼寧省兵器工業(yè)智能優(yōu)化與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110159)

火力分配是指根據(jù)作戰(zhàn)目標(biāo)、戰(zhàn)場(chǎng)態(tài)勢(shì)、武器性能等因素，將不同類型和一定數(shù)量的火力單元針對(duì)來(lái)襲目標(biāo)以某種準(zhǔn)則進(jìn)行分配，以有效攻擊敵方目標(biāo)的過(guò)程。 在地對(duì)空防御體系中，火力分配是決定作戰(zhàn)效果的關(guān)鍵因素，其任務(wù)是針對(duì)多個(gè)來(lái)襲目標(biāo)，防御方能及時(shí)有效地分配防御武器，消除敵方威脅，使防御方所遭受的損失減少到最小[1]。 在火力分配問(wèn)題的解決方案中，主要考慮的優(yōu)化目標(biāo)包括整體打擊效能最大[2]、防御方資源損失最小[3]、來(lái)襲目標(biāo)生存概率最小[4]以及被保護(hù)資產(chǎn)存留價(jià)值最大[5]等。 采用的優(yōu)化方法主要包括近似動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[6]，混合遺傳算法[7]，蟻群算法[8]、蜂群算法[9]、布谷鳥(niǎo)搜索算法[10]、生物地理學(xué)優(yōu)化[11]等智能優(yōu)化算法。

在火力分配問(wèn)題中，攻擊方和防御方之間往往存在著利益沖突。 對(duì)于某一方來(lái)說(shuō)，不同優(yōu)化目標(biāo)之間也存在著對(duì)武器資源的競(jìng)爭(zhēng)，而優(yōu)化模型很難考慮各競(jìng)爭(zhēng)主體之間的沖突關(guān)系。 非合作博弈理論主要用于解決有約束、多人多目標(biāo)且目標(biāo)函數(shù)相互矛盾的決策問(wèn)題，是研究具有競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象的理論和方法，因此非合作博弈建模是解決多目標(biāo)火力分配問(wèn)題的有效工具。 針對(duì)火力分配中的競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題，大多以攻防雙方為博弈方，考慮不同的收益函數(shù)，基于博弈理論建立相應(yīng)的火力分配模型。 張毅等[12]、Galati[13]、馬飛等[14]分別以作戰(zhàn)效能、目標(biāo)毀傷概率、目標(biāo)生存價(jià)值為收益，建立火力分配非合作博弈模型，采用啟發(fā)式遺傳-蟻群優(yōu)化算法及鄰域搜索算法進(jìn)行求解。 曾松林等[15]、周興旺等[16]針對(duì)火力資源分配問(wèn)題，分別建立動(dòng)態(tài)博弈模型及貝葉斯混合博弈模型，利用混合粒子群算法求解納什均衡。 針對(duì)多目標(biāo)火力分配問(wèn)題，趙玉亮等[17]、Leboucher 等[18]分別建立了雙矩陣博弈模型及演化博弈模型，采用粒子群算法求解。 綜上可知，在利用博弈理論研究火力分配問(wèn)題時(shí)，考慮攻防雙方之間競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象的較多。 而在多目標(biāo)火力分配問(wèn)題中，各優(yōu)化目標(biāo)之間同樣存在對(duì)武器資源的競(jìng)爭(zhēng)，利用博弈理論研究多目標(biāo)火力分配問(wèn)題，通過(guò)納什均衡分配方案，使目標(biāo)之間的博弈策略實(shí)現(xiàn)最優(yōu)，可以在保證作戰(zhàn)效能的同時(shí)，得到滿足多方利益的均衡火力分配方案。

本文針對(duì)地對(duì)空防御中的火力分配問(wèn)題，以最大化總體毀傷概率和最小化使用武器價(jià)值為優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)將優(yōu)化目標(biāo)映射為博弈方建立非合作博弈模型，結(jié)合禁忌搜索技術(shù)設(shè)計(jì)改進(jìn)遺傳算法NE-IGA 尋求納什均衡解，從而獲得使優(yōu)化目標(biāo)間達(dá)到均衡的地對(duì)空防御火力分配決策方案。

1 火力分配問(wèn)題描述

在地對(duì)空防御火力分配問(wèn)題中，一般包含空中進(jìn)攻和地面防御兩種力量，分別記為敵方和我方。 假設(shè)在某次作戰(zhàn)中，敵方有n個(gè)空中來(lái)襲目標(biāo)攻擊我方陣地，我方防御陣地中有r種武器單元，第i(i＝1，2，…，r)種武器單元中有mi個(gè)武器可用于防御，且不同性能的武器具有不同的作戰(zhàn)效能。 并進(jìn)一步假設(shè)如下:

1)每個(gè)武器只能攻打一個(gè)來(lái)襲目標(biāo)，每個(gè)來(lái)襲目標(biāo)可以被多個(gè)武器攻打；

2)同種武器對(duì)同一來(lái)襲目標(biāo)的毀傷概率相同；

3)我方武器可以精準(zhǔn)打擊在攻擊能力范圍內(nèi)的來(lái)襲目標(biāo)。

火力分配的任務(wù)是為各個(gè)來(lái)襲目標(biāo)分配武器，達(dá)成在武器資源使用較少的基礎(chǔ)上毀傷效果最好的結(jié)果。

相關(guān)參數(shù)及變量說(shuō)明見(jiàn)表1。

表1 參數(shù)及變量說(shuō)明表

本文利用毀傷概率衡量火力分配方案的毀傷效果，在滿足作戰(zhàn)要求的前提下，通過(guò)攻擊空中來(lái)襲目標(biāo)，使其毀傷概率達(dá)到最大，同時(shí)最小化我方武器資源的價(jià)值。 因此，目標(biāo)函數(shù)描述為

式中:f1為對(duì)所有來(lái)襲目標(biāo)的總毀傷概率；f2為使用武器的總價(jià)值。

為保障攻擊效果，在我方有一定數(shù)量武器的前提下，要求總毀傷概率不低于p，因此模型應(yīng)滿足以下約束，其中i＝1，2，…，r。

2 火力分配問(wèn)題博弈模型

考慮到來(lái)襲目標(biāo)的總體毀傷概率和使用武器的總價(jià)值兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間存在著對(duì)武器資源的競(jìng)爭(zhēng)，本文利用非合作博弈建模方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。 以兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)作為博弈方，分別表示為毀傷概率P和武器價(jià)值V，建立非合作博弈模型G＝{P，V；S1，S2；U1，U2}，其中S1、S2分別表示博弈方P和V的策略集，U1、U2分別表示博弈方P和V的收益。

1)策略及策略組合。 令s1表示博弈方P對(duì)部分武器單元的決策，s2表示博弈方V對(duì)剩余部分武器單元的決策，構(gòu)成策略組合s，s＝(s1，s2)，其中s1∈S1，s2∈S2。 策略組合s對(duì)應(yīng)一個(gè)火力分配方案{X1，X2，…，Xr}，其中Xi(i＝1，2，…，r)表示博弈方對(duì)第i種武器單元的決策，用mi×n階矩陣表示為

滿足式(3) ～(5)的策略組合為可行策略組合，所有可行策略組合s的集合等價(jià)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的可行域。

2)收益函數(shù)。 為了統(tǒng)一博弈方收益的優(yōu)化方向，令U1＝f1，U2＝-f2。

3)納什均衡。 在博弈G＝{P，V；S1，S2；U1，U2}中，如果對(duì)任一博弈方K(K＝1，2)，策略組合滿足

基于地對(duì)空防御火力分配問(wèn)題非合作博弈模型，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為滿足式(7)的納什均衡的求解。

3 改進(jìn)遺傳算法求解納什均衡

當(dāng)來(lái)襲目標(biāo)和防御武器數(shù)量較多時(shí)，由于解空間較大，根據(jù)式(7)利用定義求解納什均衡比較困難。 遺傳算法(GA)以其全局尋優(yōu)、魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，但在進(jìn)化后期，收斂速度較慢，容易陷入局部最優(yōu)。 而禁忌搜索的核心思想是標(biāo)記對(duì)應(yīng)已搜索的局部最優(yōu)解的對(duì)象，并在以后的迭代搜索中盡量避開(kāi)，從而保證多樣化的有效搜索[19]。 因此，本文結(jié)合禁忌搜索技術(shù)設(shè)計(jì)基于納什均衡的改進(jìn)遺傳算法NE-IGA 求解火力分配問(wèn)題的博弈模型，從而避免算法早熟收斂，優(yōu)化算法性能。

3.1 編碼與解碼

針對(duì)地對(duì)空防御火力分配問(wèn)題，采用實(shí)數(shù)編碼表示待優(yōu)化問(wèn)題的解。 將各武器按照武器單元順序編號(hào)，設(shè)武器總數(shù)為m，來(lái)襲目標(biāo)總數(shù)為n，用(c1，c2，…，cm)表示火力分配問(wèn)題的一個(gè)方案。其中ck(k＝1，2，…，m)為0 ～n的整數(shù)，ck＝0 表示第k個(gè)武器不攻打，ck＝j(luò)(j＝1，2，…，n)表示第k個(gè)武器攻打第j個(gè)來(lái)襲目標(biāo)。 如有兩個(gè)武器單元，共有6 個(gè)武器，武器數(shù)量分別為2 和4，則個(gè)體編碼(2，3，0，1，4，3)中的基因“2”表示武器單元1中的第1 個(gè)武器攻打第2 個(gè)來(lái)襲目標(biāo)；基因“0”表示武器單元2 中的第1 個(gè)武器不攻打任何來(lái)襲目標(biāo)。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

多目標(biāo)博弈中的納什均衡，每一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的決策都是給出其他優(yōu)化目標(biāo)策略后的最佳策略。 納什均衡求解算法的主要目的是使各優(yōu)化目標(biāo)盡可能地逼近自己的最優(yōu)解，并且不損害其他優(yōu)化目標(biāo)的利益。 為求解博弈模型的納什均衡，定義NJ為

式中:NJ為判斷第J個(gè)個(gè)體是否為納什均衡的指標(biāo)和分別為當(dāng)前種群中個(gè)體J的毀傷概率和武器價(jià)值；maxf1和minf2分別為各單目標(biāo)下的最優(yōu)毀傷概率及最優(yōu)武器價(jià)值。 當(dāng)越接近越接近minf2時(shí)，第J個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的NJ就會(huì)越小。 此時(shí)，每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都在試圖逼近其最優(yōu)值，并且任一目標(biāo)函數(shù)都不能單獨(dú)決定多目標(biāo)問(wèn)題的解。 尋求NJ的最小值，就等價(jià)于尋求納什均衡。

3.3 NE-IGA 基本流程

3.3.1初始化參數(shù)

初始化問(wèn)題及算法參數(shù)，其中火力分配問(wèn)題參數(shù):武器個(gè)數(shù)m，來(lái)襲目標(biāo)數(shù)n，優(yōu)化目標(biāo)f1和f2；遺傳算法參數(shù):種群大小Pos，最大迭代次數(shù)MI，交叉概率Pc，相似度t，納什均衡因子ε。 按照編碼規(guī)則隨機(jī)生成Pos個(gè)初始個(gè)體。

3.3.2選擇算子

采用二元錦標(biāo)賽選擇操作，在當(dāng)前種群中隨機(jī)選擇兩個(gè)個(gè)體，將適應(yīng)度值大的個(gè)體放入下一代種群，較小的放回原種群，以參加下一次選擇。

3.3.3交叉算子

為避免基本遺傳算法容易早熟的缺點(diǎn)，采用兩點(diǎn)交叉方式，并利用禁忌搜索技術(shù)改進(jìn)交叉操作，產(chǎn)生子代個(gè)體。

1)在0 和1 之間生成隨機(jī)數(shù)rand(0，1)，若rand(0，1)小于交叉概率Pc，進(jìn)行兩點(diǎn)交叉，即隨機(jī)選擇兩個(gè)交叉點(diǎn)，交換兩個(gè)父代個(gè)體中位于交叉點(diǎn)之間的部分基因，生成兩個(gè)子代個(gè)體；否則不進(jìn)行。

2)禁忌搜索獲取子代個(gè)體。 以父代個(gè)體的平均適應(yīng)度值作為期望水平，將父代個(gè)體的適應(yīng)度值作為禁忌對(duì)象存在禁忌表中。 若子代個(gè)體的適應(yīng)度值大于期望水平，則保留該子代個(gè)體；若小于期望水平，查看禁忌表中是否有此適應(yīng)度值，如沒(méi)有，保留該子代個(gè)體，否則選擇適應(yīng)度值高的父代個(gè)體替代該子代個(gè)體。

3.3.4變異算子

采用均勻變異方式。 應(yīng)用相似度在個(gè)體長(zhǎng)度中的占比判斷是否進(jìn)行變異操作。 相似度是指兩個(gè)個(gè)體相同位置處編碼相同的個(gè)數(shù)，若相似度在整個(gè)編碼中占比大于t，則隨機(jī)生成需變異的個(gè)體位置進(jìn)行變異操作。

NE-IGA 流程如圖1 所示，其中I為當(dāng)前迭代次數(shù)。

圖1 NE-IGA 流程圖

4 實(shí)驗(yàn)仿真

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境及參數(shù)設(shè)置

本節(jié)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證求解火力分配問(wèn)題的博弈建模方法及NE-IGA 的可行性和有效性。 實(shí)驗(yàn)采用Windows 10 操作系統(tǒng)、PyCharm Community Edition 2020.3 x64 編譯環(huán)境、Python 3.8 語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)我方有5 種武器單元，包括:GPS/毫米波W1，誘餌彈/箔條W2，煙霧彈W3，防空導(dǎo)彈W4以及高炮W5，各武器單元的武器價(jià)值和數(shù)量如表2 所示。 有10 個(gè)敵方來(lái)襲目標(biāo)，包括兩枚BGM-109C“戰(zhàn)斧”式巡航導(dǎo)彈T1、T2，兩臺(tái)F-16C 戰(zhàn)斗機(jī)T3、T4，1 枚AGM-86 巡航導(dǎo)彈T5，1 架MQ-9“死神”無(wú)人機(jī)T6，兩架AH-64A“阿帕奇”直升機(jī)T7、T8，1 架F-22 隱形戰(zhàn)斗機(jī)T9和1 架B-52H 戰(zhàn)略轟炸機(jī)T10，敵方來(lái)襲目標(biāo)的威脅度如表3 所示，各武器對(duì)不同來(lái)襲目標(biāo)的毀傷概率如表4 所示。

表2 我方武器價(jià)值及數(shù)量

表3 敵方來(lái)襲目標(biāo)的威脅度

表4 各武器對(duì)各來(lái)襲目標(biāo)的毀傷概率

本例中，設(shè)置參數(shù)Pos ＝30、MI＝60、Pc＝0.9、t＝0.94、ε＝0.01；結(jié)合武器單元種類及數(shù)量，設(shè)置毀傷概率下限p＝0.9。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為驗(yàn)證本文提出算法NE-IGA 的有效性，將多目標(biāo)優(yōu)化模型中目標(biāo)函數(shù)f1和f2采用線性加權(quán)方式變?yōu)閱文繕?biāo)，由于兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)化方向不同，將其權(quán)重分別取相反數(shù)，并將加權(quán)后的單目標(biāo)作為適應(yīng)度函數(shù)，比較基于禁忌搜索改進(jìn)的遺傳算法(TSGA)及基本遺傳算法(GA)求解結(jié)果。 其中TSGA 是在GA 的基礎(chǔ)上，利用禁忌搜索技術(shù)改進(jìn)交叉算子，改進(jìn)方法同NE-IGA。 TSGA 及GA 的選擇算子及變異算子以及算法其他參數(shù)設(shè)置同NE-IGA。 得到的火力分配方案如表5所示。

表5 三種算法獲得的火力分配方案

三種算法得到的火力分配方案的目標(biāo)函數(shù)值及武器總數(shù)如表6 所示。

表6 三種算法獲得方案的目標(biāo)函數(shù)值及武器總數(shù)

由表6 可知，與TSGA 及GA 求解多目標(biāo)優(yōu)化模型相比，本文提出的NE-IGA 求解博弈模型得到的分配方案效果較好，總體毀傷概率較高，武器價(jià)值和使用武器數(shù)量均最低。 與TSGA 相比，雖然NE-IGA 毀傷概率優(yōu)勢(shì)較小，但武器價(jià)值降低了13.2%；與GA 相比，NE-IGA 毀傷概率提高0.6%，武器價(jià)值降低了17.7%。 此外，由TSGA得到的分配方案中各目標(biāo)函數(shù)值均優(yōu)于GA。

5 結(jié)論

本文利用非合作博弈理論研究地對(duì)空防御的火力分配問(wèn)題。 針對(duì)以最大化毀傷概率和最小化武器價(jià)值作為優(yōu)化目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)將目標(biāo)函數(shù)映射為博弈方，以對(duì)各武器的決策作為策略建立非合作博弈模型。 在遺傳算法的基礎(chǔ)上，為提高遺傳算法的尋優(yōu)能力，加入禁忌搜索技術(shù)，設(shè)計(jì)了算法NE-IGA 以尋求博弈模型的納什均衡。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文模型及算法的可行性和有效性。 未來(lái)將應(yīng)用博弈理論對(duì)來(lái)襲目標(biāo)動(dòng)態(tài)到達(dá)、威脅度動(dòng)態(tài)變化等更為復(fù)雜的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)更加高效的納什均衡求解算法。