探索運算本質(zhì) 提高學(xué)生簡便運算能力

☉金小英

“數(shù)與運算”作為“數(shù)與代數(shù)”最基本的一項內(nèi)容，貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個階段。在中高年級中，又加入了加法和乘法的運算定律。教育部發(fā)布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 版）》將運算能力定義為：能根據(jù)法則和運算律進(jìn)行正確運算的能力［1］。這里包含了兩個不同的層次需求：一是根據(jù)法則正確地運算；二是根據(jù)運算律正確運算。第二個層次不應(yīng)簡單地理解為按簡便運算的運算律進(jìn)行計算，而是自覺地根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇方法進(jìn)行計算，解決相關(guān)的簡單實際問題，形成運算能力。這反映出的是關(guān)于運算方法選擇的策略水平［2］。但在實際教學(xué)中，一方面教師往往主要關(guān)注學(xué)生的計算過程、計算結(jié)果以及計算技巧的熟練程度，忽視了對運算模型的建構(gòu)；另一方面，學(xué)生思維簡單化，只是機(jī)械重復(fù)，出現(xiàn)了“三亂”，即亂用、亂造、亂搭配。

一、理解本質(zhì) 關(guān)注學(xué)生高階思維的培養(yǎng)

（一）培養(yǎng)符號意識，注重學(xué)生對算理的理解

怎么看待2 ＋3 ＝5 這個算式?“在數(shù)學(xué)上，這是一個完美的句子，有名詞、連詞和動詞?！保?］教育部發(fā)布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022 年版》將符號意識的培養(yǎng)與數(shù)感、量感三者共同歸為“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力。符號意識可以分為符號理解、符號表示、符號運算、符號推理四個維度［4］。教師在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識符號，理解符號語言。

以四年級下冊《乘法分配律》為例。

1.結(jié)合具體情境，加深對符號的理解

教材通過生活情境和學(xué)生已有經(jīng)驗，采取情境呈現(xiàn)、解答列式、比較發(fā)現(xiàn)、舉例驗證、概括總結(jié)這幾個環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過邏輯推理得到規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和應(yīng)用意識。

2.重視語言文字與符號語言之間的聯(lián)系

在這個環(huán)節(jié)教學(xué)中，教師除了要注重運算律的推導(dǎo)、總結(jié)以及符號化展示外，還要把著力點放在幫助學(xué)生理解運算符號表示的意義上，推進(jìn)學(xué)生對符號運算和符號推理的思考。要在學(xué)生充分體驗、深刻感知的基礎(chǔ)上，抽象和概括出乘法分配律，將淺層學(xué)習(xí)認(rèn)知水平推進(jìn)到深層學(xué)習(xí)認(rèn)知水平。如褚明月老師在講座“‘以學(xué)習(xí)為中心’的數(shù)學(xué)課堂改進(jìn)”中就提到，可以在之后加入一個環(huán)節(jié)：讓學(xué)生說說為什么（即對算理的理解）。引導(dǎo)學(xué)生從不同方面闡述——從生活現(xiàn)象中，實際舉例說明；從原有學(xué)習(xí)經(jīng)驗中，用幾何意義解釋；從列式解答上，用算理推導(dǎo)解釋……從簡單的討論發(fā)現(xiàn)上升到高階的邏輯演繹推理。

（二）加強認(rèn)知，注重學(xué)生對運算規(guī)則本質(zhì)的建模

張苾菁老師在《加法運算律》這節(jié)課上，為了讓學(xué)生理解加法交換律和加法結(jié)合律的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在完成例題教學(xué)之后，并沒有匆匆進(jìn)入探究規(guī)律環(huán)節(jié)，而是采用不同形式繼續(xù)探究，讓人耳目一新。

環(huán)節(jié)一：根據(jù)例題條件提出問題，解決問題。初步感知兩個算式的特點。

環(huán)節(jié)二：模型支撐 溝通建構(gòu)

①舉例子?！跋荣I3 元的尺，再買1 元的橡皮”和“先買1 元的橡皮，再買3 元的尺”付的錢是一樣，讓學(xué)生理解加法交換律的意義。

②數(shù)小棒。例如12 ＋8 和8 ＋12，讓學(xué)生通過數(shù)小棒后發(fā)現(xiàn)，這兩個算式的結(jié)果是相同的，加深對加法交換律的理解。

③畫圖。讓學(xué)生畫圖解釋這種等量關(guān)系。例如：

在不斷推導(dǎo)下，得到等式a＋b ＝b ＋a，等號兩邊兩個算式的相同點是：兩個加數(shù)沒有變，都是加法運算，得數(shù)一樣；不同點是：左右兩邊的算式中兩個加數(shù)的位置交換了位置。因此，加法交換律可以表述為：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

1.結(jié)合經(jīng)驗去理解

在這個環(huán)節(jié)中，張老師先通過展示情境，利用學(xué)生已有經(jīng)驗列出兩種算式，從計算結(jié)果去進(jìn)行觀察歸納，讓學(xué)生從算式層面理解，初步感知了算理。

“學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者因經(jīng)驗而引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化?！保?］學(xué)習(xí)是始于經(jīng)驗，要求經(jīng)驗的。數(shù)學(xué)知識是有承接性的，一個知識的學(xué)習(xí)必定會有相應(yīng)的前期知識的鋪墊。教師在教學(xué)中，要充分發(fā)掘?qū)W生的舊有知識儲備，然后去引導(dǎo)學(xué)生完成知識的正遷移、深拓展以及資源再整合。

2.結(jié)合數(shù)形去理解

“數(shù)”是抽象的，“形”是具體的，數(shù)形結(jié)合就可以把抽象思維和具體化內(nèi)容相轉(zhuǎn)化。培養(yǎng)學(xué)生模型意識、建立模型觀念可以加強學(xué)生對運算律的理解，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的發(fā)展。在這個環(huán)節(jié)的第3 步中，張老師通過畫圖的形式，引導(dǎo)學(xué)生建模，加深對加法交換律算理的理解。在接下來教學(xué)中，學(xué)生運用了這種思維方式得到并理解了加法結(jié)合律過程：

加法結(jié)合律就是三個數(shù)相加可以用兩種不同的運算順序計算，且得數(shù)保持不變。如：計算23 ＋36 ＋45 的兩種方法的原理是這樣的：

所以，可以寫成23 ＋36 ＋45 ＝23 ＋（36 ＋45），比較這個等式兩邊的算式，相同點是：三個加數(shù)沒有變化，都是連加運算，得數(shù)一樣；不同點是：左邊是先把前兩個數(shù)23 和36 相加，再加第三個數(shù)45，右邊是先把后兩個數(shù)36 和45 相加，再與第一個數(shù)23 相加。因此，加法結(jié)合律的定義是：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，和不變。

二、多樣化形式與過程，提高學(xué)生在實際問題中的簡便運算能力

（一）呈現(xiàn)形式多樣化

運算能力重點在于理解算理、掌握算法，經(jīng)歷探索過程，它是運算技能和數(shù)學(xué)思維能力的共同產(chǎn)物。為進(jìn)一步提高運算技能，簡便運算形式應(yīng)提倡多樣化，幫助學(xué)生認(rèn)識簡便運算的實際意義。教學(xué)中，一方面可以適當(dāng)增加口算和估算，另一方面可以引導(dǎo)學(xué)生將簡便運算運用到實際生活，使之生活化、主動化、內(nèi)涵化。

（二）思維過程多樣化

單向思維是低端思維的外在，多向思維才是高質(zhì)量思維。在進(jìn)行數(shù)學(xué)簡便運算時，要盡可能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘多樣化算法，以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)思維。以下面的學(xué)生解答為例：

首先，教師應(yīng)讓學(xué)生準(zhǔn)確地描述想法，然后讓學(xué)生比較，通過“觀察、多樣化解決、擇優(yōu)、意識”幾個環(huán)節(jié)，進(jìn)一步分析算法的區(qū)別和聯(lián)系，達(dá)到簡算擇優(yōu)化和算理的理解。

（三）評價形式多樣化

在關(guān)注“四基”“四能”同時，教師要注意對學(xué)生核心素養(yǎng)的評價。在簡便運算教學(xué)中，一方面要注重運算技能和運算結(jié)果的評價，了解學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況；另一方面，要注重學(xué)生對自身思維方式、思維水平的評價和反思，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想分析、解決實際問題的能力，以促進(jìn)學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

三、掌握規(guī)律，鞏固意識，讓各種形式的運算有機(jī)融合

（一）通過對比，梳理溝通。例如125×8÷125×8 這種算式，很多學(xué)生會第一時間認(rèn)為答案是1。究其原因，可能是與（125×8）÷（125×8）、125×8÷125÷8這些類型混淆。教師可以將多種類型放在一起，讓學(xué)生通過對比后知道它們的異同之處，理解這些算式的意義，進(jìn)而得到正確的運算順序。

（二）透過現(xiàn)象，嘗試感悟。在四則運算中，減和除、加和乘的計算是存在聯(lián)系的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，對加法的描述是“兩個數(shù)合在一起是加法”，對乘法的描述是“兩個自然數(shù)A×B，表示A 個B 相加，自然數(shù)乘法可以看作相同加數(shù)求和的簡便運算”。例如103×5，可以看成103 個5相加。

（三）通過聯(lián)結(jié)，構(gòu)建知識網(wǎng)。在教材中，數(shù)的運算被平鋪到每個年級段。例如乘法：

按口訣表計算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)三位數(shù)乘兩位數(shù)小數(shù)乘法分?jǐn)?shù)乘法二年級下冊三年級上冊三年級下冊四年級（整數(shù)的簡便運算）五年級上冊（小數(shù)的簡便運算）六年級上冊（分?jǐn)?shù)的簡便運算）

可以看出，各個年級段的乘法螺旋遞進(jìn)上升，知識點之間的聯(lián)系非常緊密。只有讓學(xué)生理解乘法的意義、計算的方法、過程中每一步計算的意義，才能在原有基礎(chǔ)上拓展提高，真正地掌握乘法計算，構(gòu)建完整的知識體系。

例如103×5，從形式上看，學(xué)生大部分會作為三位數(shù)乘一位數(shù)口算或者筆算。但是從算理上理解，可以引導(dǎo)學(xué)生把算式理解成103 個相加5，進(jìn)一步理解為（100 ＋3）個5，即100×5 ＋3×5。既體現(xiàn)了簡算的運用，也進(jìn)一步解釋了乘法筆算的算理。

四、注重學(xué)生計算習(xí)慣的養(yǎng)成

葉圣陶先生說：“教育就是培養(yǎng)習(xí)慣，把良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的需要或傾向，那就是教育的成功?！绷己玫倪\算能力有助于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的思考意識。

（一）注重觀察（審題）。審題作為數(shù)學(xué)解題中的第一步，是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。如何“審”？是否有一個共性的流程與標(biāo)準(zhǔn)？學(xué)生在簡便運算中，既要審具體情境和數(shù)量關(guān)系，又要觀察運算符號和數(shù)字符號，審時度勢地選擇最優(yōu)解答思維和正確的運算定律。

（二）注重驗算。驗算作為數(shù)學(xué)運算中最后一步，近年來教材逐步加強了學(xué)生驗算意識方面的引導(dǎo)。在實際操作中，應(yīng)要求學(xué)生做到“四查”——查運算符號、查數(shù)字、查順序、查結(jié)果。

（三）注重錯誤反思。在實際教學(xué)中，書面作業(yè)作為衡量學(xué)生掌握情況和鞏固知識點的重要工具，處于比較尷尬的地位，有足夠高的關(guān)注度，但也存在放大化的評價作用。教師在面對作業(yè)中的錯誤時，不要簡單地以“批改、講解、訂正”為整個過程，而應(yīng)讓學(xué)生自我反思錯誤原因：算理不清、技能不熟、基礎(chǔ)不牢還是不良習(xí)慣？找到了問題所在，才能有針對性地進(jìn)行糾錯。

對小學(xué)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)運算是最核心、最關(guān)鍵的內(nèi)容之一。簡便運算意識作為一種優(yōu)化意識，反映出學(xué)生深層次的學(xué)習(xí)水平。教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)識到學(xué)生對數(shù)的簡便運算的感悟是一個循序漸進(jìn)的過程，要注重溝通聯(lián)結(jié)，引發(fā)深度思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展。