2轉(zhuǎn)動高精度重載并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合

杜小強 趙世豪 賀磊盈

摘 要： 采用一種基于支鏈分析法的并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法，綜合出了具有解耦特性的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)。首先，對2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點進行分析，得到2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的最簡結(jié)構(gòu)形式，并基于空間無約束的Kutzbach-Grübler公式對各支鏈的自由度組合方式進行分類，得到所有支鏈組合形式。其次，提出了一種并聯(lián)機構(gòu)初步篩選原則，并考慮球副、萬向副的加工難度和成本對并聯(lián)機構(gòu)進行優(yōu)選。最后，由于優(yōu)選出的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)存在局部自由度，對具有局部自由度的并聯(lián)機構(gòu)支鏈進行降自由度處理，得到6種解耦性好、承載能力高、精度高、結(jié)構(gòu)簡單的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)。采用螺旋理論對U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)進行自由度分析，建立了逆運動學模型，并進行了驗證。結(jié)果表明，所構(gòu)建的并聯(lián)機構(gòu)可以實現(xiàn)2轉(zhuǎn)動自由度的運動，并且具有很好的運動解耦特性。所綜合出的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)彌補了現(xiàn)有機構(gòu)的不足，可作為光伏跟蹤尤其是聚光光伏跟蹤機構(gòu)。

關(guān)鍵詞： 并聯(lián)機構(gòu)；構(gòu)型綜合；螺旋理論；自由度分析；轉(zhuǎn)動解耦；逆運動學

中圖分類號： TH112

文獻標志碼： A

文章編號： 1673-3851 （2023） 01-0115-09

引文格式：杜小強，趙世豪，賀磊盈. 2轉(zhuǎn)動高精度重載并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合［J］. 浙江理工大學學報（自然科學），2023，49（1）：115-123.

Reference Format： DU Xiaoqiang， ZHAO Shihao， HE Leiying. Configuration synthesis of 2-rotation high-precision and heavy-duty parallel mechanisms［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（1）：115-123.

Configuration synthesis of 2-rotation high-precision and heavy-duty parallel mechanisms

DU Xiaoqianga，b， ZHAO Shihaoa， HE Leiyinga，b

（a.Faculty of Mechanical Engineering & Automation; b.Key Laboratory of Transplanting Equipment and Technology of Zhejiang Province， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract：? Based on a configuration synthesis method of parallel mechanisms of branch chain analysis， 2-rotational parallel mechanisms with decoupling characteristics were synthesized. Firstly， the structural characteristics of the 2-rotational parallel mechanisms were analyzed， and the simplest structural form of the 2-rotational parallel mechanisms was obtained. Based on the spatially unconstrained Kutzbach-Grübler formula， the combination modes of the degree of freedom of each branch chain were classified， and all branch chain combinations were obtained. Secondly， a preliminary screening principle of parallel mechanisms was proposed， and the parallel mechanisms were optimized considering the processing difficulty and cost of spherical joints and cardan joints. Then， considering that the optimized 2-rotational parallel mechanisms had passive degrees of freedom， the degrees of freedom for branch chains of parallel mechanisms with local degrees of freedom were reduced， and six kinds of 2-rotational parallel mechanisms with good decoupling， high bearing capacity， high precision and simple structure were obtained. Finally， the degrees of freedom of the U-RPU-UPS parallel mechanisms were analyzed by using the screw theory， and the inverse kinematics model was established and verified. The results show that the constructed parallel mechanisms can realize the movement of 2-rotational degrees of freedom， and have excellent motion decoupling characteristics. The synthesized 2-rotation parallel mechanism makes up for the shortcomings of the existing mechanisms， and can be used as a photovoltaic tracking mechanism， especially a concentrating photovoltaic tracking mechanism.

Key words： parallel mechanism; configuration synthesis; screw theory; analysis of degree of freedom; rotational decoupling; inverse kinematics

0 引 言

相較于串聯(lián)機構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)具有剛度高、精度高、承載能力強的特點［1-2］。因此，國內(nèi)外學者對并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合方法進行了大量的研究?，F(xiàn)有的構(gòu)型綜合方法主要有基于螺旋理論［3-6］、方位特征集（POC集）［7-8］、幾何代數(shù)［9-11］和位移群論［12-14］等。但一般的并聯(lián)機構(gòu)具有較強的耦合性［15］，即并聯(lián)機構(gòu)的一個方向上的自由度依賴于多個驅(qū)動關(guān)節(jié)。較強的耦合性導(dǎo)致并聯(lián)機構(gòu)的運動學、動力學模型復(fù)雜化，不利于機構(gòu)控制。因此，研制具有解耦性的并聯(lián)機構(gòu)至關(guān)重要。

關(guān)于2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合研究，一些學者采用不同的構(gòu)型綜合方法得到了多種機構(gòu)形式。Gogu［16］基于線性變換理論提出了多種具有各向同性的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，但該并聯(lián)機構(gòu)僅有2個支鏈構(gòu)成，因此該機構(gòu)的承載能力較弱，且其中一條支鏈為4/5桿支鏈，支鏈較長將導(dǎo)致較大的末端誤差。Fan等［17］基于李群理論綜合出多種2平移2轉(zhuǎn)動、1平移2轉(zhuǎn)動和2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，其中2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)有3種，但都采用圓柱副，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且兩條控制支鏈采用不同的驅(qū)動方式，增加了控制難度。Song等［18］基于李群理論綜合出2種用于驅(qū)動衛(wèi)星間鏈路天線的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)由4條支鏈組成，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且支鏈耦合性較強，不便于控制。王森等［19］基于螺旋理論提出了一種兼具冗余驅(qū)動特點和解耦特性的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合方法，但冗余驅(qū)動需要更多的動力源，并且使機構(gòu)更加復(fù)雜。張彥斌等［20］基于螺旋理論綜合出幾種無耦合2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，雖然僅需兩條支鏈，但該并聯(lián)機構(gòu)中一條水平放置的控制支鏈將受到較大的垂直力，會產(chǎn)生較大的變形，且另一條控制支鏈為4桿支鏈。

上述構(gòu)型綜合方法所綜合出的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)普遍存在承載能力低、不便于控制、精度低、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的問題。為解決該問題，本文受上述方法的啟發(fā)，基于一種支鏈分析法綜合出多種具有解耦特性的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)。相較于其他綜合方法，支鏈分析法更加易于理解，且不需要復(fù)雜的理論知識，如螺旋理論、李群理論等。本文對2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的基本構(gòu)型要求進行分析，在支鏈自由度數(shù)目的約束下，研究了各支鏈的自由度組合和支鏈形式，并通過引入初步篩選原則、加工成本約束條件，綜合出具有承載能力高、精度高且易于控制的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)。所綜合出的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)彌補了現(xiàn)有機構(gòu)的不足，可作為機構(gòu)承載能力、精度要求較高的光伏跟蹤尤其是聚光光伏跟蹤等機構(gòu)。

1 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)分析與構(gòu)型綜合

1.1 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的支鏈組合方法分析

對于無約束的并聯(lián)機構(gòu)，其自由度數(shù)目可以采用Kutzbach-Grübler公式［21］進行求解，即：

M=6（n-g-1）+∑gi=1fi（1）

其中：M為并聯(lián)機構(gòu)的自由度數(shù)目，n表示包含機架的并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)件數(shù)，g為并聯(lián)機構(gòu)的運動副數(shù)目，fi為第i個運動副的自由度數(shù)目。

常用的并聯(lián)機構(gòu)運動副有萬向副（U）、球副（S）、移動副（P）、轉(zhuǎn)動副（R）和圓柱副（C），其中圓柱關(guān)節(jié)相當于共軸的移動副和轉(zhuǎn)動副。為了使綜合出的并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，本文不考慮使用圓柱副。

并聯(lián)機構(gòu)一般由以下結(jié)構(gòu)組成：動平臺、定平臺、支鏈。其中支鏈的上下兩端通過運動副與動平臺和定平臺相連。在幾何上要使一個平面處于穩(wěn)定狀態(tài)至少需要3個支撐點。因此，應(yīng)用于并聯(lián)機構(gòu)，與動平臺相連接的關(guān)節(jié)至少要有3個，即與動平臺相連的支鏈至少有3個。為了提高并聯(lián)機構(gòu)的承載能力，可選擇3個以上的支鏈，但支鏈個數(shù)的增加必然會增加機構(gòu)的制造成本和機構(gòu)的復(fù)雜性，而且支鏈個數(shù)越多，并聯(lián)機構(gòu)的耦合性越強，控制難度越大。對于需要構(gòu)型的2轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)，為使其結(jié)構(gòu)簡單、解耦性好、易于控制，僅需2個驅(qū)動器即可。

因此，所構(gòu)型的并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)具有以下結(jié)構(gòu)特點：a）具有3個支鏈；b）其中1個支鏈為固定支鏈，通過運動副與動平臺相固定，該支鏈起到支撐動平臺和限制動平臺的3個移動自由度的作用；c）另外兩個支鏈為控制支鏈，分別具有1個驅(qū)動器、2個構(gòu)件和3個運動副。

因此，所構(gòu)型的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的階數(shù)應(yīng)λ=6，構(gòu)件數(shù)n=6件，運動副數(shù)g=7個，將上述參數(shù)代入式（1）有：

2=6×（6-7-1）+∑7i=1fi。

可以求得：∑7i=1fi=14。通過對并聯(lián)機構(gòu)的自由度進行分析可以發(fā)現(xiàn)，固定支鏈的自由度不能為1，即固定支鏈與動平臺相連的運動副不能為轉(zhuǎn)動副或移動副，如果為1將導(dǎo)致并聯(lián)機構(gòu)只有1個轉(zhuǎn)動自由度或移動自由度。又由于該支鏈的移動自由度已被限制，因此固定支鏈的自由度只能為2或3，即與動平臺相連的運動副為萬向副或球副。在自由度約束下，2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)3條支鏈的組合類型如表1所示。

1.2 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)支鏈各關(guān)節(jié)分析與設(shè)計

通過上述對2旋轉(zhuǎn)并聯(lián)機構(gòu)的支鏈組合方式進行分析可知，并聯(lián)機構(gòu)的支鏈組合形式有4種類型，但各支鏈在自由度的約束下各關(guān)節(jié)的運動副形式未? 知。由上述并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析可知，除固定支鏈外，其余2個支鏈都有3個運動副，3個運動副的相對自由度數(shù)相加應(yīng)等于支鏈所要求的自由度數(shù)，萬向副（U）、球副（S）、轉(zhuǎn)動副（R）和移動副（P）的自由度數(shù)分別為2、3、1、1。

4種類型的支鏈組合形式如表2所示，支鏈形式按順序依次為近定平臺關(guān)節(jié)、中間關(guān)節(jié)、近動平臺關(guān)節(jié)。在支鏈組合類型Ⅰ和類型Ⅲ中，控制支鏈有自由度數(shù)為6的情況，由于在三維空間中只有6個自由度，因此添加1個自由度不會影響該支鏈的運動形式，但將產(chǎn)生1個局部自由度。

2 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)篩選

2.1 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)初步篩選

本文基于支鏈自由度的分配方式不同將支鏈分為4種類型，并歸納了所有的運動副組合形式，但這些支鏈組合中有些并不能滿足并聯(lián)機構(gòu)的基本設(shè)計要求，因此，要對上述支鏈組合形成的并聯(lián)機構(gòu)進行初步篩選和分類。

在需要2轉(zhuǎn)動自由度的高精度跟蹤或控制作業(yè)場景下，如聚光光伏跟蹤。由于很小的跟蹤誤差就將導(dǎo)致太陽能收集率急劇下降［22-23］，因此，對并聯(lián)機構(gòu)的承載能力和控制性能要求較高?；谏鲜鰬?yīng)用場景，規(guī)定以下篩選原則：

a）驅(qū)動方式相同，即兩控制支鏈同為線性驅(qū)動或轉(zhuǎn)動驅(qū)動；

b）驅(qū)動器所處位置相同；

c）為提高機構(gòu)的穩(wěn)定性和降低機構(gòu)負載，驅(qū)動器不應(yīng)安裝在近動平臺端；

d）若驅(qū)動關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動副，為便于安裝并降低近定平臺端桿件的負載，驅(qū)動器只能安裝在近定平臺端。

基于上述篩選原則，可將并聯(lián)機構(gòu)的控制支鏈按驅(qū)動方式分為“P××”、“×P×”和“R××”3種形式。其中，“P××”形式的支鏈采用線性驅(qū)動，所組成并聯(lián)機構(gòu)的工作空間大小取決于驅(qū)動桿的行程；“×P×”形式的支鏈結(jié)構(gòu)簡單；“R××”形式的支鏈采用轉(zhuǎn)動驅(qū)動，由于電機具有兩種轉(zhuǎn)動形式（正轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)），因此，所組成并聯(lián)機構(gòu)的運動學逆解有多種形式，支鏈結(jié)構(gòu)如圖1所示?；?類支鏈組合形式并考慮上述篩選原則，得到了并聯(lián)機構(gòu)初選構(gòu)型，如圖2所示。

2.2 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)選

通過初步篩選得到了滿足基本工作要求的3類并聯(lián)機構(gòu)，其中“P××”形式為28種，“×P×”形式為22種，“R××”形式為28種，總計78種。在這些構(gòu)型中，支鏈自由度的不同分配方式、運動副的不同組合方式都會對并聯(lián)機構(gòu)的性能和自由度產(chǎn)生影響。在并聯(lián)機構(gòu)的實際應(yīng)用中，考慮加工精度和成本，應(yīng)盡可能減少球副和萬向副的使用，且當移動副不作為驅(qū)動副時，在重載下將被動的產(chǎn)生位移，為提高機構(gòu)的穩(wěn)定性并使結(jié)構(gòu)簡單，也應(yīng)避免使用。因此，在上述初選構(gòu)型中更符合要求的構(gòu)型有：

“P××”形式：U-PUS（PSU）-PUS（PSU）、U-PRS（PSR）-PSS、S-PRU（PUR）-PSS；

“×P×”形式：U-UPS（SPU）-UPS（SPU）、U-RPS（SPR）-SPS、S-RPU（UPR）-SPS；

“R××”形式：U-RUS（RSU）-RUS（RSU）、U-RRS（RSR）-RSS、S-RRU（RUR）-RSS。

其中：U-PUS-PUS、U-PSU-PSU、U-UPS-UPS、U-SPU-SPU、U-RUS-RUS、U-RSU-RSU為對稱式并聯(lián)機構(gòu)，具有更好的各向同性［21］。以“P××”形式為例，構(gòu)型U-PRS-PSS和S-PRU-PSS具有相同的結(jié)構(gòu)，僅在控制支鏈2的近動平臺關(guān)節(jié)處的運動副有所不同，但球副S相對于萬向副U僅引入了一個局部自由度，2種機構(gòu)在空間中的運動特性是相同的，為降低加工成本，并去除局部自由度，可將球副S替換為萬向副U，得到構(gòu)型U-PRU-PUS（PSU）。同理，可對“×P×”形式和“R××”形式中的構(gòu)型進行運動副的替換，可得到構(gòu)型U-RPU-UPS（SPU）和U-RRU-RUS（RSU）。這3種并聯(lián)機構(gòu)的具體形式如圖3所示。

這3種構(gòu)型各有其結(jié)構(gòu)特點。U-PRU-PUS（PSU）并聯(lián)機構(gòu)采用線性驅(qū)動器進行驅(qū)動，并安裝在定平臺上，該構(gòu)型具有結(jié)構(gòu)緊湊，工作空間大、承載能力高等特點，但由于采用線性驅(qū)動器，因此將導(dǎo)致該機構(gòu)的整體高度較高，不易承受水平向載荷。U-RPU-UPS（SPU）并聯(lián)機構(gòu)采用線性驅(qū)動器，并安裝在中間關(guān)節(jié)上，該構(gòu)型具有體積小、承載能力高，但由于萬向副和球副轉(zhuǎn)角的限制，受幾何條件約束，相較于其他兩種機構(gòu)工作空間較小。U-RRU-RUS（RSU）并聯(lián)機構(gòu)采用旋轉(zhuǎn)驅(qū)動，并安裝在定平臺上，該構(gòu)型具有承載能力高、工作空間大的特點。

3 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)自由度驗證

為驗證所構(gòu)型的并聯(lián)機構(gòu)是否正確，選取U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)進行自由度分析。U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖和運動螺旋分布如圖4所示，該機構(gòu)由定平臺（B1B2B3）、動平臺（A1A2A3）和U支鏈（A1B1）、RPU支鏈（B2C2A2）、UPS支鏈（B3C3A3）3條支鏈組成，且動平臺和定平臺都為直角三角形，3條支鏈通過運動副分別與動平臺、定平臺的3個角相連，固定支鏈一端固定于定平臺的直角點B1，一端通過萬向副與動平臺相連。

在固定支鏈中，萬向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺的直角邊B1B3平行，動旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺的直角邊B1B2位于同一平面。在RPU支鏈中，萬向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與靜平臺的直角邊B1B3平行，且轉(zhuǎn)動副（R）的旋轉(zhuǎn)軸線與萬向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線相互平行。在UPS支鏈中，萬向副（U）的靜旋轉(zhuǎn)軸線與定平臺的直角邊B1B2平行。

在定平臺直角點B1和動平臺直角點A1分別建立系統(tǒng)坐標系o-xyz和動坐標系o′-uvw。在系統(tǒng)坐標系o-xyz下，固定支鏈U的運動螺旋系可表示為

$11=（S11;r11×S11）=（0 1 0; -zA1 0 0），

$12=（S12;r12×S12）=（l12 0 h12; 0 zA1l12 0）（2）

其中：Sij為螺旋軸線方向的單位矢量；rij為螺旋軸線上任意一點相對系統(tǒng)坐標原點的位置矢量；lij為第i條支鏈第j個運動副的軸線在坐標軸x上的方向余弦；hij為第i條支鏈第j個運動副的軸線在坐標軸z上的方向余弦。

對式（2）求互易積，可得反螺旋系：

$r11=（1 0 0; 0 -zA1 0），

$r12=（0 1 0; -zA1 0 0），

$r13=（0 0 1; 0 0 0），

$r14=（0 0 0; -h12 0 l12）（3）

其中：$r11為過A1點并沿x軸方向的約束力，$r12為過A1點并沿y軸方向的約束力，$r13為過系統(tǒng)坐標系原點o并沿z軸方向的約束力，$r14為垂直于$12和y軸的約束力偶。因此，固定支鏈繞z方向的轉(zhuǎn)動和沿x、y、z方向的移動被限制。

RPU支鏈的運動螺旋系可以表示為：

$21=（S21;r21×S21）=（0 1 0; -zB2 0 xB2），

$22=（S22;r22×S22）=（0 0 0; xC2 0 zC2），

$23=（S23;r23×S23）=（0 1 0; -zA2 0 xA2），

$24=S24;r24×S24）=（l24 0 h24; 0 l24zA2-?? h24xA2 0）（4）

可得其反螺旋系：

$r21=（0 0 0; h24 0 -l24），

$r22=（0 -l24 0; l24zA2-h24xA2 0 0）（5）

其中：$r21為垂直于$23和y軸的約束力偶；$r22為過C2點并與y軸平行的約束力。因此，RPU支鏈繞z軸的轉(zhuǎn)動和沿y軸的移動被限制。

UPS支鏈的運動螺旋系可以表示為：

$31=（S31;r31×S31）=（1 0 0; 0 zB3-yB3），

$32=（S32;r32×S32）=（0 m32 h32; h32yB3 0 0），

$33=（S33;r33×S33）=（0 0 0; xC3 yC3 zC3），

$34=（S34;r34×S34）=（1 0 0; 0 zA3 -yA3），

$35=（S35;r35×S35）=（0 1 0; -zA3 0 xA3），

$36=（S36;r36×S36）=（0 0 1; yA3 -xA3 0）（6）

其中：mij為第i條支鏈第j個運動副的軸線在坐標軸y上的方向余弦。

對式（6）等號兩邊做互易積，得到UPS支鏈的運動螺旋系組成的矩陣為滿秩矩陣R（$）=6，因此，UPS支鏈在空間中具有6個獨立自由度。

結(jié)合式（3）、式（5）可建立U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋系：

$r11=（1 0 0; 0 zA1 0），

$r12=（0 1 0; -zA1 0 0），

$r13=（0 0 1; 0 0 0），

$r14=（0 0 0; -h12 0 l12），

$r15=（0 0 0; h24 0 -l24），

$r16=（0 -l24 0; l24zA2-h24xA2 0 0）（7）

由固定支鏈與RPU支鏈的幾何關(guān)系和相對運動可以看出，在系統(tǒng)坐標系o-xyz下，多邊形A1A2C2B2B1始終在xoz平面內(nèi)，因此，動平臺的關(guān)節(jié)點A2也始終在xoz平面內(nèi)運動。多邊形A1A2C2B2B1各關(guān)節(jié)點的位置關(guān)系如圖5所示。

基于固定支鏈和RPU支鏈的幾何關(guān)系可得：

（zA2-zA1）cosβ=xA2sinβ（8）

其中：β表示動坐標系u軸與系統(tǒng)坐標系x軸的夾角。

同時，系統(tǒng)在運動過程中，螺旋$12和螺旋$24始終共軸線，即兩螺旋線沿x軸和z軸的余弦分量為：

sinβ=n12=n24，

cosβ=l12=l24（9）

根據(jù)固定支鏈和RPU支鏈的幾何位置關(guān)系，并考慮運動副的相對位姿，結(jié)合式（8）—（9），對式（7）進行分析，可以看到約束螺旋$r12和$r22線性相關(guān)，約束螺旋$r14和$r21線性相關(guān)，求式（7）的反螺旋，可得U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的運動螺旋系為：

$m1=（0 1 0; -zA1 0 0），

$m2=（l12 0 h12; 0 l12zA1 0）（10）

運動螺旋$m1為一個繞平行于y軸并過A1點的旋轉(zhuǎn)運動，即并聯(lián)機構(gòu)具有一個繞系統(tǒng)坐標系y軸轉(zhuǎn)動自由度；運動螺旋$m2為一個繞平行于u軸并過A1點的旋轉(zhuǎn)運動，即并聯(lián)機構(gòu)具有一個繞動坐標系u軸的轉(zhuǎn)動自由度。

由U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋系可知，2個約束力偶具有相同的方向，因此為并聯(lián)機構(gòu)添加了一個公共約束，即λ=1，可得并聯(lián)機構(gòu)的階數(shù)為d=6-λ=5。2個約束力偶相當于一個約束力偶，并限制了并聯(lián)機構(gòu)在z方向上的轉(zhuǎn)動?；谧杂啥刃拚鼼-K公式可得：

M=d（n-g-1）+∑gi=1fi+v（11）

其中：d為并聯(lián)機構(gòu)的階數(shù)，v為并聯(lián)機構(gòu)的冗余約束個數(shù)。

對于非對稱并聯(lián)機構(gòu)，冗余約束可由以下公式計算求得

v=∑p1qi-λp-k（12）

其中：qi為第i個支鏈的獨立反螺旋數(shù)，p為支鏈個數(shù)，k為除公共約束外剩余的獨立約束數(shù)。

基于上述螺旋理論分析，并結(jié)合式（11）—（12），可得U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的自由度為

M=5×（6-7-1）+12+0=2（13）

由式（13）可得U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的自由度數(shù)為2，與所構(gòu)型的并聯(lián)機構(gòu)的自由度相符，驗證了所述構(gòu)型的正確性。通過螺旋分析可知，RPU支鏈與固定支鏈處于同一平面，因此驅(qū)動桿件B2C2只會改變動平臺繞y軸的轉(zhuǎn)角，該機構(gòu)為解耦機構(gòu)［24］。同理，也可證明U-PRU-PUS（PSU）和U-RRU-RUS（RSU）并聯(lián)機構(gòu)為解耦機構(gòu)。

4 2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)逆運動學分析

由上述自由度分析可知，U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)在空間中擁有2個旋轉(zhuǎn)自由度，即動平臺相對于定平臺繞系統(tǒng)坐標系o-xyz的y軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角為-β，繞動坐標系o′-uvw的u軸旋轉(zhuǎn)的歐拉角為α，于是可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

R=R（y，-β）R（u，α）=

cosβ0-sinβ

010

sinβ0cosβ100

0cosα-sinα

0sinαcosα（14）

在系統(tǒng)坐標系o-xyz下，由并聯(lián)機構(gòu)的幾何關(guān)系可知：

‖AiCi‖2=‖oAi-oCi‖2=Li2，i=2，3（15）

將旋轉(zhuǎn)矩陣和各關(guān)節(jié)的位置矢量代入式（15），可得U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的運動學逆解公式：

l1=（acosβ-b）2+（L1+asinβ）2

l2=（-asinαsinβ）2+（acosα-b）2+? （L1+asinαcosβ）2（16）

其中：li、L1、a、b分別表示并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動桿AiBi、固定桿oA1、動平臺直角邊A1Ai、定平臺直角邊oBi。

給定并聯(lián)機構(gòu)的尺寸參數(shù)：a=320 mm、b=320 mm、L1=440 mm，動平臺的運動軌跡為：

β=35sin（πt）

α=-40sin（πt）（17）

將尺寸參數(shù)和動平臺運動軌跡代入運動學逆解公式，采用Matlab對運動學逆解公式進行求解可得驅(qū)動桿長，并將Solidworks中建立的U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的模型導(dǎo)入Adams中進行逆運動學仿真。U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的仿真模型如圖6所示，驅(qū)動桿長2 s內(nèi)的變化曲線如圖7和圖8所示。

由圖7和圖8可見，通過運動學逆解公式求得的U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)的驅(qū)動桿長變化曲線與Adams軟件仿真得到的基本一致，表明該運動學逆解模型的正確性。

5 結(jié) 論

為得到結(jié)構(gòu)簡單、便于控制、承載能力高、精度高的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，本文基于一種支鏈分析法進行了2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合，核心思想是基于2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的最簡結(jié)構(gòu)，通過對各支鏈的自由度組合和支鏈形式進行研究，在篩選原則下進行構(gòu)型優(yōu)選。所綜合出的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)彌補了現(xiàn)有2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的不足，并可作為聚光光伏等系統(tǒng)的跟蹤機構(gòu)，為后續(xù)進行并聯(lián)機構(gòu)誤差補償研究奠定了基礎(chǔ)。主要結(jié)論如下：

a）通過無約束條件下的Kutzbach-Grübler公式對并聯(lián)機構(gòu)各支鏈的自由度組合和支鏈形式進行了分類，發(fā)現(xiàn)對于具有6個自由度的支鏈，添加1個自由度不會影響支鏈的運動特性，基于此對2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的支鏈形式進行了擴充，然后基于不同運動副組合得到了4類構(gòu)型，分別為324、96、288種和60種，共計768種構(gòu)型。

b）通過對初步篩選得到的2轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)進行分析發(fā)現(xiàn)，一些構(gòu)型具有較好的各向同性，一些構(gòu)型雖然運動副組合不同，但具有相同的運動特性。并發(fā)現(xiàn)一些構(gòu)型存在局部自由度，通過進行降自由度處理（去除局部自由度），得到6種具有解耦特性的構(gòu)型U-PRU-PUS（PSU）、U-RPU-UPS（SPU）、U-RRU-RUS（RSU）。

c）通過對U-RPU-UPS并聯(lián)機構(gòu)進行自由度分析和逆運動學分析，驗證了并聯(lián)機構(gòu)的解耦性和運動特性。研究結(jié)果表明，所綜合出的并聯(lián)機構(gòu)可實現(xiàn)2轉(zhuǎn)動運動，具有解耦特性，并且逆運動學控制簡單。

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（責任編輯：康 鋒）

收稿日期： 2022-07-29? 網(wǎng)絡(luò)出版日期：2022-10-09網(wǎng)絡(luò)出版日期

基金項目： 國家自然科學基金項目（31971798）；浙江省“領(lǐng)雁”研發(fā)攻關(guān)計劃項目（2022C02057）

作者簡介： 杜小強（1978- ），男，福建福清人，教授，博士，主要從事機械設(shè)計及理論的研究。