二維單向強(qiáng)退化拋物型方程的參數(shù)識(shí)別反問題

洪宇翔 王澤文 徐定華

摘 要： 針對(duì)矩形區(qū)域內(nèi)兩種形式的強(qiáng)退化擴(kuò)散系數(shù)，研究了二維單向強(qiáng)退化拋物型方程中擴(kuò)散項(xiàng)的參數(shù)識(shí)別反問題。首先，利用H?lder不等式等證明了擴(kuò)散項(xiàng)參數(shù)識(shí)別的唯一性和條件穩(wěn)定性；然后，給出了數(shù)值計(jì)算強(qiáng)退化拋物型方程正問題的一種交替方向有限差分隱格式；最后，通過將退化擴(kuò)散項(xiàng)的參數(shù)識(shí)別反問題歸結(jié)為泛函優(yōu)化問題，提出了基于遺傳算法的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別方法。計(jì)算模擬結(jié)果表明，退化項(xiàng)參數(shù)能被附加的測(cè)量數(shù)據(jù)有效識(shí)別出來，且提出的基于遺傳算法的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別方法具有很強(qiáng)的魯棒性。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)退化；拋物型方程；參數(shù)識(shí)別；有限差分；遺傳算法

中圖分類號(hào)：O175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1673-3851 （2023） 05-0388-08

引文格式：洪宇翔，王澤文，徐定華. 二維單向強(qiáng)退化拋物型方程的參數(shù)識(shí)別反問題［J］. 浙江理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2023，49（3）：388-395.

Reference Format： HONG Yuxiang， WANG Zewen， XU Dinghua. Inverse problems of the parameter identification for two dimensional one-way strongly degenerate parabolic equations［J］. Journal of Zhejiang Sci-Tech University，2023，49（3）：388-395.

Inverse problems of the parameter identification for two dimensionalone-way strongly degenerate parabolic equations

HONG Yuxiang¹， WANG Zewen¹， XU Dinghua²

（1.School of Science， East China University of Technology， Nanchang 330013， China; 2.School of Science， Zhejiang Sci-Tech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： The inverse problems of the parameter identification of diffusion terms in two-dimensional unidirectional strongly degenerate parabolic equation were studied for two forms of strongly degenerate diffusion coefficients in the rectangular domain. Firstly， the uniqueness and conditional stability of the parameter identification of the diffusion terms were proved by using such mathematical tools as H?lder inequality. Then， an alternating direction finite difference implicit scheme was proposed for the numerical calculation of the forward problem of strongly degenerate parabolic equations. Finally， a parameter identification method of degenerate terms based on genetic algorithm was proposed by reducing the inverse problems of the parameter identification of degenerate diffusion terms to a functional optimization problem. The simulation results show that the degenerate parameters can be effectively identified by the additional measurement data， and the proposed method based on genetic algorithm has strong robustness.

Key words：strongly degenerate; parabolic equation; parameter identification; finite difference; genetic algorithm

0 引 言

本文主要考慮帶強(qiáng)退化擴(kuò)散系數(shù)拋物型方程的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別問題，此類問題在金融數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、車輛工程等許多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域有重要意義。Rao等^［1］研究了一維退化拋物型方程源項(xiàng)反問題，證明了該反問題的唯一性，同時(shí)給出了正問題的有限體積計(jì)算方法，然后利用Landweber迭代方法重建源項(xiàng)。類似地，Yang等^［2］研究了重建退化拋物型方程初始分布的反問題，其中正問題采用有限差分方法計(jì)算；相關(guān)方法被作者推廣到二維退化拋物型方程初始分布的反演問題上^［3］。Kamynin^［4］研究了非局部附加數(shù)據(jù)下源項(xiàng)系數(shù)的反演問題，證明了反問題解的唯一性和穩(wěn)定性。Kawamoto^［5］研究了多維線性退化拋物方程和強(qiáng)耦合系統(tǒng)的反問題，通過適當(dāng)子邊界上的測(cè)量數(shù)據(jù)和任意固定時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)來確定源項(xiàng)，并基于Carleman估計(jì)討論了反源問題的Lipschitz類型的穩(wěn)定性結(jié)果。Ivanchov等^［6］研究了一類二維矩形域內(nèi)退化項(xiàng)系數(shù)與時(shí)間變量有關(guān)的強(qiáng)退化拋物方程，通過將反問題歸結(jié)為關(guān)于退化系數(shù)的方程，應(yīng)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了反問題解的存在性，同時(shí)給出了唯一性的證明。近期，Cannarsa等^［7］研究了一維拋物方程中識(shí)別退化項(xiàng)參數(shù)的反問題，證明了反問題的唯一性和Lipschitz穩(wěn)定性。關(guān)于非退化拋物型方程反問題受到了眾多學(xué)者的關(guān)注和研究，相關(guān)研究參見文獻(xiàn)［8-12］及其參考文獻(xiàn)。

本文在Cannarsa等^［7］的啟發(fā)下，在矩形區(qū)域內(nèi)考慮二維單向強(qiáng)退化拋物型方程的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題，針對(duì)兩種形式的強(qiáng)退化擴(kuò)散系數(shù)，研究了在適當(dāng)?shù)臏y(cè)量數(shù)據(jù)下退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題的唯一性和條件穩(wěn)定性。然后，針對(duì)考慮的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題，提出了基于遺傳算法的參數(shù)識(shí)別方法，即將參數(shù)識(shí)別歸結(jié)為泛函優(yōu)化問題，并利用遺傳算法求解該優(yōu)化問題。本文將退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別相關(guān)研究結(jié)果推廣到二維強(qiáng)化退化拋物型方程的情形，為強(qiáng)退化拋物型方程退化擴(kuò)散項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題相關(guān)研究提供參考。

1 問題描述

本文考慮二維單向強(qiáng)退化拋物型方程定解問題Ⅰ（簡(jiǎn)稱退化問題Ⅰ）和其定解問題Ⅱ（簡(jiǎn)稱退化問題Ⅱ）：

上述兩個(gè)定解問題之所以稱為是強(qiáng)退化的，是因?yàn)樵趚=0處擴(kuò)散系數(shù)的值為0，且當(dāng)x→0時(shí)擴(kuò)散系數(shù)趨于0的速度大于或等于x趨于0的速度。

本文考慮的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題是：

a）參數(shù)識(shí)別反問題Ⅰ。已知初始分布u₀（x，y），給定附加的測(cè)量數(shù)據(jù)?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀），識(shí)別退化擴(kuò)散項(xiàng)中的參數(shù)a，其中：（x，y）∈（0，l）×（0，l），t₀∈（0，T］是某個(gè)固定時(shí)刻。

b）參數(shù)識(shí)別反問題Ⅱ。已知初始分布u₀（x，y），給定附加數(shù)據(jù)?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀），識(shí)別退化擴(kuò)散項(xiàng)中的參數(shù)γ，其中：（x，y）∈（0，l）×（0，l），t₀∈（0，T］是某個(gè)固定時(shí)刻。

本文主要研究在二維矩形區(qū)域內(nèi)上述兩個(gè)參數(shù)識(shí)別反問題的唯一性和條件穩(wěn)定性，以及能有效識(shí)別參數(shù)a和γ的反演方法。

2 參數(shù)識(shí)別的理論分析

對(duì)任意l>0，（x，y）∈（0，l）×（0，l），記H=L²（（0，l）×（0，l））。對(duì)于γ∈［1，2），記函數(shù)空間

2.1 參數(shù)識(shí)別反問題Ⅰ的唯一性和穩(wěn)定性

定理1 設(shè)u₀（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別對(duì)應(yīng)退化問題Ⅰ中01<∞和02<∞的解，且存在μ>0使得

2.2 參數(shù)識(shí)別反問題Ⅱ的唯一性和穩(wěn)定性

定理2 設(shè)00（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別對(duì)應(yīng)退化問題Ⅱ中γ₁和γ₂的解，且存在μ>0使得

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu_i（x，y，t）|²dxdy≥μ，i=1，2（12）

對(duì)t₀∈（0，T］，若?_tu₁（x，y，t₀）=?_tu₂（x，y，t₀）、?_xu₁（x，y，t₀）=?_xu₂（x，y，t₀）、?_yu₁（x，y，t₀）=?_yu₂（x，y，t₀）對(duì)所有（x，y）∈（0，l）×（0，l）成立，則γ₁=γ₂。

證明 不失一般性，假設(shè)γ₁<γ₂，令w（x，y，t）=u₂（x，y，t）-u₁（x，y，t），則有

?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw）=?_x（（x^γ₂-x^γ₁）?_xu₁）。

上式等號(hào)兩邊分別乘以u(píng)₁后在區(qū)域（0，l）×（0，l）上積分，注意到邊界條件，經(jīng)分部積分得

∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy=∫^l₀∫^l₀?_twu₁dxdy+∫^l₀∫^l₀x^γ₂?_xw?_xu₁dxdy+∫^l₀∫^l₀?_yw?_yu₁dxdy（13）

∫^l₀∫^l₀?_x（（x^γ₂-x^γ₁）?_xu₁）u₁dxdy=∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy（14）

已知?_tu₁（x，y，t₀）=?_tu₂（x，y，t₀）、?_xu₁（x，y，t₀）=?_xu₂（x，y，t₀）、?_yu₁（x，y，t₀）=?_yu₂（x，y，t₀）對(duì)所有（x，y）∈（0，l）×（0，l）成立，即得

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁（x，y，t₀）|²dxdy=0。

又因x^γ₁>x^γ₂，x∈（0，l），故有

?_xu₁（x，y，t₀）=0，

從而

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu₁（x，y，t₀）|²dxdy=0。

這與定理的假設(shè)條件相矛盾，故γ₁=γ₂，即唯一性得證。

定理3 設(shè)00（x，y）∈L²（（0，l）×（0，l））且u₀（x，y）≠0，u₁∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））和u₂∈H¹_γ（（0，l）×（0，l））分別是對(duì)應(yīng)于退化問題Ⅱ中γ₁和γ₂的解，且存在μ>0使得

∫^l₀∫^l₀x^γ_i|?_xu_i（x，y，t）|²dxdy≥μ，i=1，2（15）

則存在大于0的常數(shù)C使得

|γ₂-γ₁|≤C∫^l₀∫^l₀|?_tu₁（x，y，t₀）-?_tu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²+

∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁（x，y，t₀）-?_xu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²+

∫^l₀∫^l₀|?_yu₁（x，y，t₀）-?_yu₂（x，y，t₀）|²dxdy¹²（16）

證明 不失一般性，不妨設(shè)1≤γ₁<γ₂<2，并令

w（x，y，t）=u₂（x，y，t）-u₁（x，y，t）。

于是，由定理2中的證明及l(fā)<1，即知

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀（1-x^γ₂^-γ₁）x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≥（1-l^γ₂^-γ₁）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy。

注意到1≤γ₁<γ₂<2和0

1-l^γ₂^-γ₁=∫¹_lddss^γ₂^-γ₁ds=（γ₂-γ₁）∫¹_ls^γ₂^-γ₁^-1ds≥（γ₂-γ₁）l（1-l）。

于是，有

（γ₂-γ₁）l（1-l）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≤∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy。

另一方面，由式（13）和H?lder不等式，得

∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy≤∫^l₀∫^l₀|?_tw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|u₁|²dxdy¹²+∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁|²dxdy¹²+∫^l₀∫^l₀|?_yω|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|?_yu₁|²dxdy¹²。

注意到

∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀x^γ₂^-γ₁^+γ₁|?_xu₁|²dxdy≤l^γ₂^-γ₁∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy

和

∫^l₀∫^l₀（x^γ₁-x^γ₂）|?_xu₁|²dxdy=∫^l₀∫^l₀（?_tw-?_x（x^γ₂?_xw）-?_y（?_yw））u₁dxdy，

易知

（γ₂-γ₁）l（1-l）∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy≤∫^l₀∫^l₀|?_tw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|u₁|²dxdy¹²+l^γ₂^-γ₁₂∫^l₀∫^l₀x^γ₂|?_xw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀x^γ₁|?_xu₁|²dxdy¹²

+∫^l₀∫^l₀|?_yw|²dxdy¹²∫^l₀∫^l₀|?_yu₁|²dxdy¹²。

由u₁∈H¹_γ，結(jié)合條件（15）可知式（16）成立。定理3得證。

3 強(qiáng)退化方程正問題的數(shù)值方法

綜上，即得到強(qiáng)退化方程正問題數(shù)值求解的交替方向隱格式。

4 基于遺傳算法的參數(shù)識(shí)別方法

遺傳算法^［14-16］源于對(duì)生物系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬研究，是一種隨機(jī)搜索全局最優(yōu)解的方法。它的基本步驟可以概括為：從任意初始種群出發(fā)，設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)，設(shè)定控制參數(shù)；通過隨機(jī)選擇、交叉和變異操作，產(chǎn)生更適合環(huán)境的個(gè)體；數(shù)代進(jìn)化繁衍，直至收斂到問題的最優(yōu)解。與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，其不依賴于步長(zhǎng)信息，對(duì)參數(shù)的初始解不敏感，而且無需計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而某種程度上避免了數(shù)值求解的不穩(wěn)定性。利用遺傳算法識(shí)別退化項(xiàng)參數(shù)的步驟如下：

第一步，將退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別反問題歸結(jié)為函數(shù)優(yōu)化問題（20）。

第二步，將J（θ）作為適應(yīng)度函數(shù)，利用遺傳算法求解優(yōu)化問題（20）。其中，J（θ）中的?_tu（x，y，t₀;θ），?_xu（x，y，t₀;θ），?_yu（x，y，t₀;θ）是待識(shí)別參數(shù)取遺傳算法迭代值θ后，由正問題的有限差分格式（17）—（18）計(jì)算得到。

眾所周知，當(dāng)搜索種群足夠大、繁衍代數(shù)足夠多時(shí)，理論上遺傳算法可以收斂到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此，只要優(yōu)化問題（20）存在唯一的極小元，則上述方法是收斂的。顯然，優(yōu)化問題（20）極小元的存在唯一性蘊(yùn)含在定理1—定理3的結(jié)論中。但是，因參數(shù)識(shí)別反問題的強(qiáng)非線性性，本文未能給出優(yōu)化問題（20）極小元的存在唯一性的嚴(yán)格證明。

另一方面，本文對(duì)基于遺傳算法的退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別進(jìn)行計(jì)算模擬實(shí)驗(yàn)，以此來驗(yàn)證方法的收斂性和穩(wěn)定性。在計(jì)算模擬中，空間區(qū)域?yàn)椋?，1］×［0，1］，內(nèi)部某一測(cè)量時(shí)刻t₀=0.1。取a或γ的精確值，由差分格式（17）—（18）求解正問題。加上隨機(jī)噪聲后得到符合式（19）的測(cè)量數(shù)據(jù)β^δ（x，y）、ζ^δ（x，y）和η^δ（x，y），其中帶噪聲的測(cè)量數(shù)據(jù)描述為β^δ（x，y）=β（x，y）（1+εr（x，y）），r（x，y）是一個(gè)服從均值為0，方差為1的Gauss隨機(jī)噪聲，噪聲水平?_tu（x，y，t₀）分別取0.10、0.05、0.01、0.005和0.001進(jìn)行計(jì)算。參數(shù)識(shí)別時(shí)，設(shè)置遺傳算法的進(jìn)化代數(shù)為100，重復(fù)計(jì)算5次取平均作為參數(shù)識(shí)別反問題的解。

算例1 參數(shù)識(shí)別反問題Ⅰ。取精確值a=0.2， 1.0， 1.7，不同噪聲水平下的識(shí)別結(jié)果見表1。從表1的計(jì)算結(jié)果可以看出：由?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）的測(cè)量數(shù)據(jù)能有效識(shí)別出退化擴(kuò)散項(xiàng)中的參數(shù)a，且識(shí)別結(jié)果的相對(duì)誤差均小于數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差水平。

算例2 參數(shù)識(shí)別反問題Ⅱ。取精確值γ=1.1， 1.6， 1.9，不同噪聲水平下的識(shí)別結(jié)果見表2。從表2的計(jì)算結(jié)果可以看出：由?_tu（x，y，t₀）、?_xu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）的測(cè)量數(shù)據(jù)能有效識(shí)別出退化擴(kuò)散項(xiàng)中的參數(shù)?_yu（x，y，t₀），且所有情形的識(shí)別結(jié)果的平均相對(duì)誤差為0.7078%，故該識(shí)別結(jié)果的總體精度要比算例1的要高些。

5 結(jié) 論

本文研究了一類矩形區(qū)域內(nèi)二維強(qiáng)退化拋物型方程中兩種退化擴(kuò)散項(xiàng)的參數(shù)識(shí)別反問題。首先，利用H?lder不等式等數(shù)學(xué)工具分析了兩個(gè)參數(shù)識(shí)別反問題解的唯一性和條件穩(wěn)定性；然后，將參數(shù)識(shí)別反問題歸結(jié)泛函優(yōu)化問題，利用遺傳算法求解該優(yōu)化問題，結(jié)合退化拋物型方程正問題的有限差分格式，給出退化擴(kuò)散項(xiàng)參數(shù)識(shí)別的方法；最后，通過計(jì)算模擬實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提出的參數(shù)識(shí)別方法的有效性。本文的研究結(jié)果表明，某個(gè)時(shí)刻空間域上的數(shù)據(jù)?_yu（x，y，t₀）、?_yu（x，y，t₀）和?_yu（x，y，t₀）可以唯一識(shí)別退化擴(kuò)散項(xiàng)ax中的未知參數(shù)a，而在邊長(zhǎng)小于等于1的矩形域中這些數(shù)據(jù)可以唯一識(shí)別退化擴(kuò)散項(xiàng)x^γ中的未知參數(shù)γ；計(jì)算模擬結(jié)果表明，基于遺傳算法的參數(shù)識(shí)別方法具有很強(qiáng)的魯棒性和識(shí)別精度。本文考慮的是退化項(xiàng)中的單個(gè)參數(shù)識(shí)別的反問題；對(duì)于多個(gè)參數(shù)同時(shí)識(shí)別的反問題以及非單側(cè)退化的拋物型方程退化項(xiàng)參數(shù)識(shí)別的反問題等，有待后續(xù)研究。

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（責(zé)任編輯：康 鋒）