BFSK 信號循環(huán)平穩(wěn)特性分析

王 召，劉大偉

（中國民用航空飛行學(xué)院洛陽分院，河南 洛陽 471000）

在通信、遙測、雷達和聲吶系統(tǒng)中，一些人工信號是一類特殊的非平穩(wěn)信號，它們的非平穩(wěn)特性表現(xiàn)為周期平穩(wěn)[1]。以雷達回波為例，若天線指向不變，則地雜波的回波等于照射區(qū)域所有散射體的子回波之和，雖然有隨機起伏，但整體是平穩(wěn)的。若天線隨時間作勻速轉(zhuǎn)動，則在一個掃描周期內(nèi)，地雜波的回波是非平穩(wěn)的，但是每經(jīng)過一個掃描周期后，天線又指向原處，則回波的非平穩(wěn)性表現(xiàn)為周期平穩(wěn)，此時平穩(wěn)過程模型將不再適用于此類信號，因此，引入循環(huán)平穩(wěn)信號的概念[2]。

1 BFSK 信號循環(huán)平穩(wěn)特性

1.1 循環(huán)平穩(wěn)過程定義

通常把統(tǒng)計特性呈周期或多周期（各周期不能通約）平穩(wěn)變化的信號統(tǒng)稱為循環(huán)平穩(wěn)或周期平穩(wěn)，循環(huán)平穩(wěn)信號可進一步分為一階（均值）、二階（相關(guān)函數(shù)）和高階（高階累積量）循環(huán)平穩(wěn)[3]，信號的循環(huán)平穩(wěn)特性通常表現(xiàn)在信號的二階統(tǒng)計量上，即信號的自相關(guān)特性。

一個隨機過程x（t），如果其均值Ex（t）和自相關(guān)函數(shù)Rx（t，τ）均具有周期性（周期均為T），即滿足

那么這個隨機過程稱為廣義的循環(huán)平穩(wěn)過程[3]，對應(yīng)的信號稱為循環(huán)平穩(wěn)信號。

1.2 BFSK 信號模型

頻移鍵控信號（FSK），其實質(zhì)是利用載波頻率來傳送數(shù)字信息，即利用所傳送的數(shù)字信息來控制載波頻率。BFSK 信號為二進制頻移鍵控信號，其具體形式數(shù)字符號“0”對應(yīng)載波頻率f1，符號“1”對應(yīng)載波頻率f2，即其信號模型為

式中：f1、f2為載波頻率，θ1、θ2為初始相位，g（t）為矩形脈沖（開關(guān)信號），Ts為矩形脈沖的寬度，aˉn與an互為反碼。

1.3 BFSK 信號循環(huán)平穩(wěn)特性分析

要證明BFSK 信號具有循環(huán)平穩(wěn)特性，應(yīng)證明其均值和自相關(guān)函數(shù)是具有相同周期的周期函數(shù)[4]。

BFSK 信號x（t）的均值表示為

由式（5）可得，BFSK 信號x（t）是關(guān)于時間t 的周期為T0=1/f1或T0=1/f2的周期函數(shù)。

由時變自相關(guān)函數(shù)的定義式可得，BFSK 信號的時變自相關(guān)函數(shù)（對稱形式）為

由式（6）可得，BFSK 信號x（t）的時變自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于時間t 的周期為T0=1/f1或T0=1/f2的周期函數(shù)。

綜上可得，BFSK 信號x（t）的期望與時變自相關(guān)函數(shù)為具有相同周期T0的周期函數(shù)，即有BFSK 信號是循環(huán)平穩(wěn)信號。

1.4 BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜

結(jié)合式（6），由循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的定義式可得，BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)（對稱形式）為

由式（7）可得，循環(huán)自相關(guān)函數(shù)Rαx（τ）是關(guān)于時延τ 和循環(huán)頻率α 的二元函數(shù)。信號x（t）的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)中存在非零的α 頻率的譜線（α=±2f1、α=±2f2），使得Rαx（τ）≠0，由二階循環(huán)平穩(wěn)的判定依據(jù)可得，BFSK信號是二階循環(huán)平穩(wěn)信號。

由循環(huán)維納-辛欽關(guān)系可得，BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)的表達式為

由式（8）可得，BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)在平面（α，f）上共存在8 個譜峰，其位置分別如下：點（±2f1，0）、（±2f2，0）、（0，±f1）和（0，±f2），具體的仿真驗證見下文。

2 數(shù)值仿真結(jié)果

為驗證本文推導(dǎo)出的BFSK 信號具有循環(huán)自相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜的正確性，根據(jù)BFSK 信號模型，分別給出循環(huán)自相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜的仿真結(jié)果。

2.1 仿真參數(shù)設(shè)置

表1 給出了BFSK 信號循環(huán)平穩(wěn)特性仿真環(huán)境的主要技術(shù)參數(shù)。

表1 仿真參數(shù)

2.2 仿真結(jié)果

圖1 為BFSK 信號的時域波形圖。由圖1 中可得，BFSK 信號中載波頻率隨數(shù)字信息0 或1 變化：數(shù)字符號“0”對應(yīng)載波頻率f1，數(shù)字符號“1”對應(yīng)載波頻率f2。

圖1 BFSK 信號的時域波形

圖2 為BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)（CAF）三維圖，圖中X 軸表示時延，Y 軸表示循環(huán)頻率α，Z 軸表示循環(huán)自相關(guān)函數(shù)Rαx（τ）的幅值。由圖2 可得：BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)在X-Y 平面上存在5 處譜峰，譜峰位置如圖2 所示，與理論推導(dǎo)公式（7）整體相一致。

圖2 BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)（CAF）三維圖

圖3 為BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)等高線圖（俯視圖），圖中X 軸表示循環(huán)頻率α，Y 軸表示時延。由圖3 可得：在（α=0、α=±800 Hz、α=±1 600 Hz）處存在5 處譜峰，與式（7）理論整體相吻合。

圖3 BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)俯視圖

綜上仿真結(jié)果可得，對于BFSK 信號，其循環(huán)自相關(guān)函數(shù)在非零頻率（α=±2f1、α=±2f2）處出現(xiàn)明顯的峰值，即滿足Rαx（τ）≠0，由二階循環(huán)平穩(wěn)的判定依據(jù)可得，BFSK 信號是二階循環(huán)平穩(wěn)信號。

圖4 為BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)圖，圖中X軸表示譜頻率f，Y 軸表示循環(huán)頻率α，Z 軸表示循環(huán)譜的幅值。由圖4 可得：BFSK 信號的循環(huán)譜在X-Y 平面上有8 個譜峰，譜峰位置如圖4 所示，與理論推導(dǎo)公式（8）整體相一致。

圖4 BFSK 信號循環(huán)譜密度函數(shù)（CSD）三維圖

BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)在平面（α，f）上共存在8 個譜峰，其位置分別如下：點（±2f1，0）、（±2f2，0）（0，±f1）和（0，±f2）。

圖5 為BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)沿α=0 的切面圖，圖中X 軸表示譜頻率f，Y 軸表示循環(huán)譜密度函數(shù)Sαx（f）的幅值。由圖5 可得：循環(huán)譜密度函數(shù)在α=0 處有4 處譜峰，位置分別為（0，±f1）和（0，±f2），印證了載波的頻譜搬移的作用，與理論推導(dǎo)公式（8）整體相一致。

圖6 為BFSK 信號的循環(huán)譜密度函數(shù)沿f=0 的切面圖，圖中X 軸表示循環(huán)頻率α，Y 軸表示循環(huán)譜密度函數(shù)Sαx（f）的幅值。由圖6 可得：循環(huán)譜密度函數(shù)在f=0處有4 處譜峰，位置分別為（±2f1，0）、（±2f2，0），與理論推導(dǎo)公式（8）整體相一致。

圖6 循環(huán)譜密度函數(shù)沿f=0 的切面圖

圖7 為BFSK 信號功率譜密度函數(shù)圖，圖中X 軸表示頻率f，Y 軸表示功率譜的幅值。與圖5 的結(jié)果相吻合，進一步驗證了循環(huán)譜密度函數(shù)理論分析的正確性。

圖7 BFSK 信號功率譜密度函數(shù)

綜上仿真結(jié)果可得，對于BFSK 信號，在（±2f1，0）和（±2f2，0）處存在譜峰，即有α1=±2f1和α2=±2f2處表現(xiàn)出譜相關(guān)特征；f=0 截面上的譜峰間距比α=0（功率譜）截面上譜峰間距大，且為2 倍關(guān)系，即有α2-α1=2（f2－f1）。

3 結(jié)論

本文證明了BFSK 信號具有循環(huán)平穩(wěn)特性，推導(dǎo)了BFSK 信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜密度表達式，結(jié)果表明，BFSK 信號的循環(huán)譜位置與2 個載波頻率有關(guān)，計算機仿真驗證了理論分析的正確性，為測距儀信號的循環(huán)平穩(wěn)特性分析提供了參考借鑒。