軌道角動(dòng)量指向可控的緊聚焦時(shí)空波包（特邀）

莫德威，曾永西，陳國(guó)梁，滕厚安，陳建，2，3，詹其文，2，3

（1 上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

（2 上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200093）

（3 張江實(shí)驗(yàn)室，上海 201204）

0 引言

光子不僅攜帶沿著傳播方向的線性動(dòng)量，也攜帶與圓偏振相關(guān)的自旋角動(dòng)量（Spin Angular Momentum， SAM）和與光束螺旋相位相關(guān)的軌道角動(dòng)量（Orbital Angular Momentum， OAM）。1992 年，ALLEN L 等［1］證明了拉蓋爾-高斯光束中存在OAM，這種中心具有相位奇點(diǎn)和零強(qiáng)度的渦旋光束，其螺旋相位可以用exp(ilφ)來(lái)表示，其中l(wèi)為拓?fù)浜桑諡榉轿唤?。OAM 可以極大地?cái)U(kuò)展光的自由度，在光鑷［2］、量子信息［3］、光通信［4］、粒子捕獲［5］和超分辨顯微成像［6］等方面都有著很廣泛的應(yīng)用。

早期，對(duì)渦旋光束的研究主要集中于空間域中的縱向OAM，其方向平行于光束的傳播方向［7］。VISWANATHAN N K 等［8］提出了一種基于雙模光纖的光束轉(zhuǎn)換器來(lái)生成矢量光束，對(duì)輸出光束的偏振分析展示了產(chǎn)生的不同模式的光束中縱向光渦旋的存在。HERNANDEZ-GARCIA C 等［9］通過(guò)理論計(jì)算，揭示了極紫外諧波渦旋的產(chǎn)生以及其受傳播效應(yīng)的影響，并展示了結(jié)合OAM 和高次諧波鎖相產(chǎn)生阿秒極紫外光渦旋的可能性。GARCIA-GARCIA J 等［10］提出了一種簡(jiǎn)單且高質(zhì)量產(chǎn)生完美光渦旋的改進(jìn)技術(shù)，并用光學(xué)捕獲微小粒子的應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明了該技術(shù)的有效性。LI Xinzhong 等［11］基于相位乘法和任意?？丶夹g(shù)生成了高階光渦旋晶格，晶格中每個(gè)光渦旋的拓?fù)浜蓴?shù)可控，最高可達(dá)51，為操縱微納粒子提供了足夠的OAM；此外晶格可被調(diào)制為期望的任意模式。

近期，研究表明可通過(guò)引入時(shí)間域內(nèi)的相位變化產(chǎn)生具有橫向OAM 的時(shí)空光渦旋（Spatiotemporal Optical Vortex， STOV），其OAM 軸線垂直于光束傳播方向。BLIOKH K Y 等［12］基于Klein-Gordon 波動(dòng)方程，構(gòu)造了時(shí)間衍射或非衍射時(shí)空貝塞爾光束族，可以攜帶具有任意指向的OAM。JHAJJ N 等［13］在空氣中光脈沖的非線性坍縮及成絲過(guò)程中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了STOV。HANCOCK S W 等［14］利用瞬態(tài)光柵單發(fā)超連續(xù)光譜干涉法來(lái)測(cè)量STOV 的振幅和相位，演示了攜帶STOV 的脈沖在自由空間中的傳播。ZHAN Qiwen 等［15］基于空間頻域到時(shí)空域的二維傅里葉變換，利用4f脈沖整形器實(shí)驗(yàn)生成了具有可控橫向OAM 的STOV。WAN Chenhao 等［16］利用空間縱向OAM 與時(shí)空橫向OAM 進(jìn)行時(shí)空間交互，實(shí)驗(yàn)生成了傾斜的OAM，其相對(duì)于光軸傾斜并可由不同分量的拓?fù)浜瑟?dú)立控制。GUI Guan等［17］演示了STOV 脈沖的二次諧波生成，證明了此過(guò)程中橫向OAM 的守恒；此外，發(fā)現(xiàn)了二次諧波STOV 中OAM 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)受復(fù)雜的時(shí)空像散影響，在空間和時(shí)間上產(chǎn)生分離的多個(gè)相位奇點(diǎn)。CHEN Jian 等［18］實(shí)驗(yàn)生成了柱矢量STOV，證明了橫向OAM 奇點(diǎn)與空間偏振奇點(diǎn)可以共存。在STOV 的緊聚焦特性研究方面，CHEN Jian 等［19］提出了一種對(duì)入射時(shí)空波包進(jìn)行預(yù)處理的方法，克服了高數(shù)值孔徑透鏡的時(shí)空像散效應(yīng)對(duì)緊聚焦后的時(shí)空螺旋相位的影響，在焦平面上生成了具有亞波長(zhǎng)尺寸的攜帶純橫向OAM 的STOV。KUAI Siyu 等［20］提出了一種動(dòng)態(tài)調(diào)制高度局域STOV 中橫向OAM的方法，以拓?fù)浜蔀?2 的緊聚焦STOV 為例，數(shù)值模擬表明當(dāng)入射波包的束腰半徑大于聚焦透鏡半徑的40%時(shí)，聚焦場(chǎng)中的二階STOV 將分裂為兩個(gè)一階STOV，改變束腰半徑的大小可以調(diào)節(jié)兩個(gè)一階STOV 之間的距離。上述研究均未涉及在緊聚焦情況下調(diào)控OAM 在三維時(shí)空間內(nèi)的指向，本文研究了攜帶兩個(gè)正交的橫向OAM 和一個(gè)縱向OAM 的入射波包經(jīng)過(guò)緊聚焦后的時(shí)空結(jié)構(gòu)特征，分析了波包內(nèi)部縱向OAM 與橫向OAM之間的相互耦合現(xiàn)象，并通過(guò)調(diào)整縱向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)來(lái)調(diào)節(jié)聚焦波包總的OAM 在三維時(shí)空間內(nèi)的指向。

1 理論方法

不失一般性，在x-t面上具有拓?fù)浜蔀?1 的橫向OAM 的一維標(biāo)量STOV 可以表示為

式中，ω為空間域高斯束腰半徑，ωt為時(shí)域內(nèi)波包在最大強(qiáng)度1/e2處的脈沖半寬。在此基礎(chǔ)上，在x-t面和y-t面內(nèi)分別具有拓?fù)浜蔀?1 的橫向OAM，以及拓?fù)浜蔀閘的縱向OAM 的入射時(shí)空波包可以表示為

式中，φ=arctan(y/x)。前期研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)STOV 通過(guò)高數(shù)值孔徑（Numerical Aperture， NA）透鏡進(jìn)行緊聚焦后，由于時(shí)空像散效應(yīng)，STOV 波包在焦平面上將會(huì)發(fā)生劈裂，從而使焦平面上的波包不再具有橫向OAM。為了防止螺旋相位消失這一現(xiàn)象，基于柱透鏡的模式轉(zhuǎn)換器原理，對(duì)入射時(shí)空波包進(jìn)行預(yù)處理［1］。經(jīng)過(guò)預(yù)處理之后的入射時(shí)空波包可以表示為

式（3）中取縱向OAM 的拓?fù)浜蔀閘=+1，得到經(jīng)預(yù)處理后的入射時(shí)空波包輪廓及相位如圖1 所示。從圖1（a）中可以看到，整個(gè)入射波包被分割成兩個(gè)獨(dú)立的部分，其強(qiáng)度主要分布在x-t面和y-t面，x-y面的強(qiáng)度則較弱。從圖1（b）可以看出，經(jīng)預(yù)處理過(guò)后，相位分布在x-t面和y-t面為離散分布，螺旋相位消失；而x-y面，相位變化范圍為[-π，π]，但并不是嚴(yán)格的連續(xù)螺旋相位分布。根據(jù)式（3）可知，在x-y主平面（即t=0 時(shí)），當(dāng)x與y取異號(hào)時(shí)（即在第二、四象限時(shí)），其產(chǎn)生了π 的相位突變，且(1+i)2也同時(shí)給予x-y主平面附加了π/2 的初始相位，導(dǎo)致在[-π，π]的相位變化范圍內(nèi)，x-y主平面內(nèi)第一象限相位變化為、第二象限為、第三象限為、第四象限為，故其相位分布并沒(méi)有在[-π，π]內(nèi)嚴(yán)格的連續(xù)變化。

圖1 入射時(shí)空波包的強(qiáng)度和相位分布Fig. 1 The intensity and phase distributions of the incident spatiotemporal wavepacket

預(yù)處理后的入射時(shí)空波包緊聚焦原理如圖2 所示。在焦場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，采用了簡(jiǎn)化的模型，即忽略時(shí)空耦合，同時(shí)也忽略了色差和其他像差，并假設(shè)入射時(shí)空波包的每個(gè)時(shí)間切片均聚焦于焦場(chǎng)的共軛時(shí)間位置。入射時(shí)空波包經(jīng)高NA 透鏡緊聚焦后，匯聚在焦距為f的焦平面上，利用Debye 積分來(lái)計(jì)算焦平面上的場(chǎng)分布，可表示為［21，22］

圖2 STOV 緊聚焦原理Fig.2 Schematic diagram of the tight focusing of STOV

式中，θ是由透鏡NA 所決定的會(huì)聚半角，，?=arctan(yf/xf)，EΩ(θ，φ，t)為入射光經(jīng)折射后在球面Ω上的復(fù)振幅分布，B(θ)為物鏡的切趾函數(shù)，模型使用符合正弦條件的消球差物鏡，其切趾函數(shù)為。結(jié)合從笛卡爾坐標(biāo)到球坐標(biāo)的變換關(guān)系，EΩ(θ，φ，t)可以寫(xiě)成

在對(duì)焦場(chǎng)的計(jì)算中，主要計(jì)算聚焦場(chǎng)在焦平面上的分布，即積分中的zf=0。此外，入射波包的空間尺寸由透鏡的NA 來(lái)歸一化，時(shí)間尺寸則由脈沖半寬歸一化。

聚焦波包總的OAM 計(jì)算公式為［23］

2 數(shù)值模擬

在STOV 緊聚焦的數(shù)值仿真中，透鏡NA=0.9，波包的空間域束腰半徑為ω=0.5，半脈沖寬度為ωt=0.5。為便于觀察橫縱向OAM 之間經(jīng)透鏡緊聚焦后發(fā)生相互耦合現(xiàn)象，圖3 先給出了僅在y-t面內(nèi)攜帶拓?fù)浜蔀?1 的純橫向OAM 的入射波包經(jīng)預(yù)處理后的聚焦結(jié)果以及僅在x-y面內(nèi)攜帶拓?fù)浜蔀?1 的純縱向OAM 的入射波包強(qiáng)聚焦后的結(jié)果。兩種情況下的入射波包表達(dá)式均可根據(jù)式（3）簡(jiǎn)化得來(lái)。

圖3 攜帶純橫向OAM 和純縱向OAM 的緊聚焦波包的強(qiáng)度和相位分布Fig.3 Intensity and phase distributions of tightly focused wavepackets with pure transverse OAM and pure longitudinal OAM

圖3（a）和（b）展示了在y-t面內(nèi)攜帶單個(gè)純橫向OAM 的緊聚焦時(shí)空波包的強(qiáng)度和相位的三維分布。由圖3（a）可以看到聚焦波包是一個(gè)甜甜圈形狀，其空心位于y-t面內(nèi)。圖3（b）在y-t面內(nèi)的相位沿逆時(shí)針在[-π，π]內(nèi)連續(xù)變化，說(shuō)明在該平面具有拓?fù)浜蔀?1 的橫向OAM。y-t面上的相位變化線出現(xiàn)彎曲是由于其緊聚焦物鏡的NA 有限所導(dǎo)致，其它兩個(gè)平面的相位則表現(xiàn)出不同的二值化分布。類似地，由圖3（c）可以看到聚焦波包也是甜甜圈形狀，不過(guò)其空心位于x-y面內(nèi)。圖3（d）在x-y面內(nèi)的相位分布在[-π，π]內(nèi)亦沿逆時(shí)針連續(xù)變化，表明在這個(gè)平面內(nèi)具有拓?fù)浜蔀?1 的縱向OAM。與純橫向OAM 不同的是，純縱向OAM 光場(chǎng)緊聚焦后的相位變化線不受物鏡NA 有限的影響，沒(méi)有出現(xiàn)圖3（b）中的彎曲現(xiàn)象。

不同于僅具有純橫向OAM 或純縱向OAM 光場(chǎng)聚焦的情形，當(dāng)入射波包同時(shí)具有兩種不同的OAM時(shí)，經(jīng)過(guò)高NA 透鏡進(jìn)行緊聚焦后在焦場(chǎng)波包內(nèi)會(huì)出現(xiàn)一種復(fù)雜的時(shí)空耦合現(xiàn)象。假定入射STOV 在x-y面、x-t面和y-t面攜帶的OAM 的拓?fù)浜删鶠?1，根據(jù)式（5）可得到預(yù)處理后的入射波包，將其代入式（4）中可以得到同時(shí)攜帶橫縱向OAM 的入射STOV 經(jīng)預(yù)處理后的緊聚焦結(jié)果，如圖4 所示。

圖4 同時(shí)攜帶橫縱向OAM 的緊聚焦時(shí)空波包的強(qiáng)度和相位分布Fig.4 The intensity and phase distributions of the tightly focused spatiotemporal wavepacket with both transverse and longitudinal OAM

圖4（a）為聚焦波包的強(qiáng)度分布輪廓，可以看到經(jīng)透鏡緊聚焦后的時(shí)空波包，其強(qiáng)度在x-t和y-t這兩個(gè)面內(nèi)呈現(xiàn)橢圓環(huán)狀分布，在x-y面內(nèi)則有多個(gè)強(qiáng)度接近0 的凹陷區(qū)域。由圖4（b）可見(jiàn)，x-t面和y-t面內(nèi)的橫向OAM 的螺旋相位經(jīng)緊聚焦后重新顯現(xiàn)，且相位在[-π，π]內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化，說(shuō)明在這兩個(gè)平面內(nèi)橫向OAM 的拓?fù)浜删鶠?1，而在x-y面內(nèi)出現(xiàn)了5 個(gè)相位奇點(diǎn)，圍繞中心相位奇點(diǎn)，相位在[-π，π]內(nèi)沿順時(shí)針?lè)较蜻B續(xù)變化，而對(duì)于另外4 個(gè)相位奇點(diǎn)，相位圍繞相應(yīng)的相位奇點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛟赱-π，π]內(nèi)連續(xù)變化。因此中心渦旋攜帶拓?fù)浜蔀?1的OAM，四個(gè)外圍渦旋均攜帶拓?fù)浜蔀?1的OAM。聚焦波包正中間的x-y面切片內(nèi)這5 個(gè)渦旋是由于時(shí)空耦合導(dǎo)致，入射光場(chǎng)經(jīng)高NA 透鏡聚焦的過(guò)程可以看作是對(duì)入射場(chǎng)進(jìn)行傅里葉變換，在計(jì)算聚焦波包中x-y主平面的場(chǎng)分布時(shí)，可令t=0，由式（3）可知，此時(shí)入射場(chǎng)退化為

式（7）中的入射場(chǎng)可分解為三部分，即x、y和，對(duì)x的傅里葉變換會(huì)在焦平面上產(chǎn)生沿x軸的兩個(gè)復(fù)振幅脈沖，對(duì)y的傅里葉變換會(huì)在焦平面上產(chǎn)生沿y軸的兩個(gè)復(fù)振幅脈沖，對(duì)的傅里葉變換會(huì)在焦平面上產(chǎn)生攜帶拓?fù)浜蔀?1 的OAM 的光場(chǎng)。三個(gè)函數(shù)乘積的傅里葉變換等于各自傅里葉變換的卷積，因此，三個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分布的卷積導(dǎo)致焦平面上的光場(chǎng)出現(xiàn)了5 個(gè)渦旋，并且中心渦旋的極性與外圍渦旋相反。為進(jìn)一步了解聚焦波包內(nèi)部復(fù)雜的時(shí)空相位分布，提取了波包內(nèi)部由相位奇點(diǎn)導(dǎo)致的空心結(jié)構(gòu)來(lái)演示相位奇點(diǎn)在三維時(shí)空間的演化軌跡，如圖5 所示，可見(jiàn)在聚焦波包的中心處，橫縱向OAM 會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的相互耦合作用，相位奇點(diǎn)軌跡在三維時(shí)空間內(nèi)纏繞成一個(gè)閉環(huán)結(jié)構(gòu)。若在t軸中心（即t=0）處對(duì)波包的相位進(jìn)行切片，即可得到如圖4（b）中x-y主平面內(nèi)的相位分布。隨著切片位置從中心向兩側(cè)的延伸，切片內(nèi)相位奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)也會(huì)隨之減少。

圖5 緊聚焦時(shí)空波包的相位奇點(diǎn)軌跡Fig.5 Phase singularity track of tightly focused spatiotemporal wavepacket

為了更直觀地觀察到聚焦波包不同時(shí)間點(diǎn)處橫向平面內(nèi)相位奇點(diǎn)個(gè)數(shù)變化情況，沿著t軸取4 個(gè)典型位置對(duì)波包的相位進(jìn)行切片，結(jié)果如圖6 所示。從圖6（b）和（d）可以發(fā)現(xiàn)，切片位置延伸到t=±0.15 時(shí)，相位奇點(diǎn)個(gè)數(shù)減少到了3 個(gè)；進(jìn)一步地，由圖6（a）和（c）可知，當(dāng)切片位置再往外延伸到t=±0.5 時(shí)，螺旋相位則減少至1 個(gè)。由于離聚焦波包中心位置越遠(yuǎn)，橫縱向OAM 的時(shí)空耦合作用越弱，故x-y面內(nèi)相位奇點(diǎn)個(gè)數(shù)越少。從圖5 中也可看出，靠近聚焦波包頭部或尾部的時(shí)候，相位奇點(diǎn)的軌跡簡(jiǎn)單許多，在x-y面內(nèi)投影基本只有一個(gè)點(diǎn)，表明此時(shí)橫縱向OAM 的時(shí)空耦合基本消失。整個(gè)聚焦波包內(nèi)沿t軸切片的相位演變?cè)斍檎?qǐng)查看動(dòng)畫(huà)演示（https：//doi.org/10.57760/sciencedb.j00218.00001）。

圖6 緊聚焦波包沿t 軸在不同位置的x-y 平面相位分布Fig.6 The phase distributions of tightly focused wavepacket in the x-y planes at different positions along the t-axis

為定量分析時(shí)空耦合對(duì)聚焦波包不同切片內(nèi)OAM 的影響，設(shè)脈沖半寬為20 fs，根據(jù)式（6）計(jì)算了聚焦波包不同平面切片的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)，結(jié)果如圖7 所示。圖7（a）為不同y-t切面的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)，反映聚焦波包的OAM 在x方向的分量沿x軸的變化；圖7（b）為不同x-t切面的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)，反映聚焦波包的OAM 在y方向的分量沿y軸的變化；圖7（c）為不同x-y切面的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)，反映聚焦波包的OAM 在z方向的分量沿t軸的變化。從圖7（a）和（b）中可以看到，兩個(gè)正交的橫向OAM 的變化相同，橫向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)除了取決于脈沖半寬之外，也受時(shí)空耦合影響，導(dǎo)致其值在不同位置的切片內(nèi)出現(xiàn)起伏波動(dòng)的現(xiàn)象，且不同切片的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)關(guān)于波包中心呈對(duì)稱分布。從圖7（c）中可以看到，在波包兩側(cè)縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)的變化相對(duì)平緩，切片接近波包中心時(shí)縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)略有減小，但變化很微小，不同切平面的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)均在+1 左右，與入射波包的縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)相等。聚焦波包整體表現(xiàn)出來(lái)的OAM 分別為8.601 0、8.601 0、0.997 4。說(shuō)明了緊聚焦過(guò)程中時(shí)空耦合對(duì)聚焦波包的總縱向OAM 影響較小，為通過(guò)調(diào)節(jié)入射波包中縱向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)來(lái)控制聚焦波包的OAM 指向提供了可能。需要注意的是，聚焦波包整體表現(xiàn)出來(lái)的OAM 不等同于各個(gè)分量在不同切片處的拓?fù)浜蓴?shù)的均值。

圖7 緊聚焦時(shí)空波包不同平面切片的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)Fig.7 The OAM value of different slices of the tightly focused spatiotemporal wavepacket

為分析縱向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)l對(duì)聚焦波包的OAM 在三維時(shí)空間內(nèi)整體指向的影響，縱向OAM 的拓?fù)浜煞謩e取l=-2，-1，0，1，2，仿真得到每種情況下聚焦波包的三維時(shí)空分布。假設(shè)波包中心波長(zhǎng)為1 μm，脈沖半寬也為20 fs，根據(jù)式（6）計(jì)算聚焦波包的OAM，得到入射波包的縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)與聚焦波包總的OAM 拓?fù)浜蓴?shù)的關(guān)系曲線如 圖8 所示，其中OAMx、OAMy、OAMz分別代表聚焦波包OAM的x分量、y分量和z分量的拓?fù)浜蓴?shù)。由于兩個(gè)橫向OAM 的變化曲線有重疊，為便于呈現(xiàn)，圖8 中將OAMy分量的曲線向下平移了0.5。從圖8 可以發(fā)現(xiàn)，隨著入射波包縱向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)增大，聚焦波包的橫向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)基本呈直線狀態(tài)，故緊聚焦波包整體的橫向OAM 不受入射波包縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)影響；而聚焦波包的縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)則隨著入射波包縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)的增大而增大，變化曲線呈線性相關(guān)。因此，在保持橫向OAM 不變的情況下，可以通過(guò)調(diào)整入射波包的縱向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)來(lái)調(diào)控聚焦波包的縱向OAM，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)聚焦波包總的OAM 指向的控制。

圖8 聚焦波包OAM 拓?fù)浜蓴?shù)與入射波包縱向OAM 拓?fù)浜蓴?shù)的關(guān)系Fig.8 The relationship between the OAM of the focused wavepacket and longitudinal OAM topological charge of the incident wavepacket

3 結(jié)論

研究了攜帶兩個(gè)相互正交的橫向OAM，并嵌入縱向OAM 的標(biāo)量入射時(shí)空波包經(jīng)高NA 透鏡緊聚焦的特性。為了防止入射波包經(jīng)緊聚焦后在焦平面上受透鏡時(shí)空像散效應(yīng)的影響，導(dǎo)致時(shí)空螺旋相位出現(xiàn)坍縮現(xiàn)象，對(duì)入射波包進(jìn)行了預(yù)處理。攜帶拓?fù)浜删鶠?1 的兩個(gè)橫向OAM 與縱向OAM 的入射波包經(jīng)預(yù)處理后的緊聚焦特征分析結(jié)果表明，在聚焦波包的中心位置附近，由于三個(gè)OAM 發(fā)生了復(fù)雜的時(shí)空耦合現(xiàn)象，出現(xiàn)了復(fù)雜的閉合時(shí)空相位奇點(diǎn)軌跡。越接近聚焦波包中心，其時(shí)空耦合的作用越強(qiáng)，逐漸遠(yuǎn)離聚焦波包中心，其時(shí)空耦合越弱，直至消失。緊聚焦波包OAM 拓?fù)浜蓴?shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，改變?nèi)肷洳ò目v向OAM 的拓?fù)浜蓴?shù)可以在三維時(shí)空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)緊聚焦時(shí)空波包整體OAM 指向的可控。這種可控性進(jìn)一步豐富了光學(xué)OAM 的調(diào)控手段，可用于光鑷、自旋-軌道角動(dòng)量相互作用、微納加工等應(yīng)用。