神機(jī)妙算破解腳印命案

王杰

巴黎郊外有一座中世紀(jì)留下的古老城堡，其年代幾乎與著名的巴黎圣母院同樣久遠(yuǎn)，因而成了旅游觀光的勝地，吸引了來(lái)自世界各地的游客。

古堡的頂層有一座塵封的鐘樓，里面住著一個(gè)怪人，唯一對(duì)外的通道是個(gè)走起來(lái)嘎嘎響、陡峭異常的木質(zhì)樓梯，大約有幾十級(jí)，但肯定不到一百級(jí)。

某日黃昏，怪人的四位互不相識(shí)的朋友阿列克賽、巴頓、克林、杜邦，幾乎在同一時(shí)間先后來(lái)訪。他們發(fā)現(xiàn)怪人已經(jīng)被人殺害了，房間里面看起來(lái)很恐怖。當(dāng)下四人大驚失色，爭(zhēng)先恐后地拼命逃走。從臟亂不堪的狹窄樓梯（一次只能通過(guò)一人）跑下來(lái)，阿列克賽一步下2級(jí)臺(tái)階，巴頓一步下3級(jí)臺(tái)階，克林一步下4級(jí)臺(tái)階，而杜邦的本事最大，竟然一步能下5級(jí)臺(tái)階。

出事以后，俠盜亞森·羅賓喬裝成一名體面的上流社會(huì)紳士，自告奮勇地前來(lái)偵破此案。他發(fā)現(xiàn)，同時(shí)印下四個(gè)人腳印的臺(tái)階僅在最高處和最低處。

為了追查兇手，腳印混亂了就不好辦，于是亞森·羅賓特別重視只留有一個(gè)人腳印的臺(tái)階。后來(lái)的結(jié)果充分證明他的看法是正確無(wú)誤的，最后終于抓獲兇手，把他繩之以法。

現(xiàn)在請(qǐng)回答，通向鐘樓的木樓梯上有多少級(jí)臺(tái)階只印下了一個(gè)人（不管是誰(shuí)的）的腳?。?/p>

解密

由于4的倍數(shù)肯定是2的倍數(shù)，所以克林的情況可以不必考慮，這就省掉了一個(gè)人。2，3，4，5的最小公倍數(shù)是60，而60又小于100，所以鐘樓的木樓梯共有60級(jí)臺(tái)階。

阿列克賽的腳印落在第2，4，6，8，l0，12，……，58，60級(jí)臺(tái)階上，但應(yīng)排除2×3及其倍數(shù)的各級(jí)階梯。同理，還需要排除4的倍數(shù)的各級(jí)階梯和5的倍數(shù)的各級(jí)階梯。于是剩下第2，14，22，26，34，38，46，58共八級(jí)。其一般形式為2×p（其中p=1，以及除去2、3、5以外的素?cái)?shù)）。

巴頓的腳印落在第3，6，9，12，……，60級(jí)階梯上，但應(yīng)排除混有別人腳印的第6，12，15，18，……級(jí)階梯，剩下第3，9，21，27，33，39，51，57，共八級(jí)。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)克林的情況可以不考慮了，最后再來(lái)看一下杜邦的情況。很明顯，只留下他一個(gè)人腳印的階梯是第5，25，35，55級(jí)，共四級(jí)。

所以，問(wèn)題的答案是8+8+4=20級(jí)。